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10.若关于$x$的方程$\frac{2x+a}{x-3}=1$的解是正数，则$a$的取值范围是（）
A.$a＞-3$
B.$a＜-3$
C.$a＜0$且$a≠3$
D.$a＜-3$且$a≠-6$
A.$a＞-3$
B.$a＜-3$
C.$a＜0$且$a≠3$
D.$a＜-3$且$a≠-6$
答案
D
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要将分式方程化为整式方程，用含a的代数式表示出方程的解x，再结合两个限制条件列不等式：一是方程的解为正数，二是分式方程的分母不能为0（保证分式有意义），最后综合两个不等式的解就能得到a的取值范围。
【解析】
1. 去分母：方程两边同时乘最简公分母$(x-3)$（注意$x≠3$），得
$2x+a = x-3$
2. 求解整式方程：移项、合并同类项得
$x = -3 - a$
3. 根据“解是正数”列不等式：
$x＞0$，即$-3 - a ＞ 0$，解得$a ＜ -3$
4. 根据“分式有意义”列不等式：
分母$x-3≠0$，即$x≠3$，代入$x=-3 -a$得
$-3 -a ≠ 3$，解得$a≠ -6$
5. 综合两个限制条件，可得$a$的取值范围是$a ＜ -3$且$a≠ -6$。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程求参数范围的典型题型，最容易出错的地方是遗漏“分母不为0”的隐含条件，解题时要同时兼顾解的限制要求和分式有意义的要求，两个条件缺一不可。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需要将分式方程化为整式方程，用含a的代数式表示出方程的解x，再结合两个限制条件列不等式：一是方程的解为正数，二是分式方程的分母不能为0（保证分式有意义），最后综合两个不等式的解就能得到a的取值范围。
【解析】
1. 去分母：方程两边同时乘最简公分母$(x-3)$（注意$x≠3$），得
$2x+a = x-3$
2. 求解整式方程：移项、合并同类项得
$x = -3 - a$
3. 根据“解是正数”列不等式：
$x＞0$，即$-3 - a ＞ 0$，解得$a ＜ -3$
4. 根据“分式有意义”列不等式：
分母$x-3≠0$，即$x≠3$，代入$x=-3 -a$得
$-3 -a ≠ 3$，解得$a≠ -6$
5. 综合两个限制条件，可得$a$的取值范围是$a ＜ -3$且$a≠ -6$。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程求参数范围的典型题型，最容易出错的地方是遗漏“分母不为0”的隐含条件，解题时要同时兼顾解的限制要求和分式有意义的要求，两个条件缺一不可。
【难度系数】
0.6
11. 解下列分式方程：
(1) $\frac{2}{x} = \frac{1}{2x - 1}$；
(2) $\frac{1 - x}{x - 3} - \frac{2}{3 - x} = -2$。
(1) $\frac{2}{x} = \frac{1}{2x - 1}$；
(2) $\frac{1 - x}{x - 3} - \frac{2}{3 - x} = -2$。
答案
解：
(1) 方程两边同乘$x(2x-1)$，得
$2(2x-1)=x$
去括号，得$4x-2=x$
移项、合并同类项，得$3x=2$
系数化为1，得$x=\dfrac{2}{3}$
检验：当$x=\dfrac{2}{3}$时，$x(2x-1)≠0$，
所以$x=\dfrac{2}{3}$是原分式方程的解。
(2) 原方程可变形为$\dfrac{1-x}{x-3}+\dfrac{2}{x-3}=-2$，
方程两边同乘$(x-3)$，得
$1-x+2=-2(x-3)$
化简，得$3-x=-2x+6$
移项、合并同类项，得$x=3$
检验：当$x=3$时，$x-3=0$，$x=3$是增根，
所以原分式方程无解。
(1) 方程两边同乘$x(2x-1)$，得
$2(2x-1)=x$
去括号，得$4x-2=x$
移项、合并同类项，得$3x=2$
系数化为1，得$x=\dfrac{2}{3}$
检验：当$x=\dfrac{2}{3}$时，$x(2x-1)≠0$，
所以$x=\dfrac{2}{3}$是原分式方程的解。
(2) 原方程可变形为$\dfrac{1-x}{x-3}+\dfrac{2}{x-3}=-2$，
方程两边同乘$(x-3)$，得
$1-x+2=-2(x-3)$
化简，得$3-x=-2x+6$
移项、合并同类项，得$x=3$
检验：当$x=3$时，$x-3=0$，$x=3$是增根，
所以原分式方程无解。
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，具体分三步思考：第一步确定最简公分母，方程两边同乘最简公分母消去分母；第二步按照整式方程的解法求解；第三步必须检验，把所得的解代入最简公分母，若公分母不为0则是原方程的解，若公分母为0则是增根，原方程无解。
针对第(1)题，分母分别为$x$和$2x-1$，最简公分母为$x(2x-1)$，直接乘公分母去分母即可；针对第(2)题，分母$x-3$和$3-x$互为相反数，先将$\frac{2}{3-x}$变形为$\frac{2}{x-3}$统一分母，再取最简公分母$x-3$去分母求解即可。
【解析】
(1) 方程两边同乘$x(2x-1)$，得
$2(2x-1)=x$
去括号，得$4x-2=x$
移项、合并同类项，得$3x=2$
系数化为1，得$x=\dfrac{2}{3}$
检验：当$x=\dfrac{2}{3}$时，$x(2x-1)≠0$，
所以$x=\dfrac{2}{3}$是原分式方程的解。
(2) 原方程可变形为$\dfrac{1-x}{x-3}+\dfrac{2}{x-3}=-2$，
方程两边同乘$(x-3)$，得
$1-x+2=-2(x-3)$
化简，得$3-x=-2x+6$
移项、合并同类项，得$x=3$
检验：当$x=3$时，$x-3=0$，$x=3$是增根，
所以原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=\dfrac{2}{3}$；(2) 无解
【知识点】
分式方程的解法，增根的检验，分式符号变形
【点评】
本题是解分式方程的基础常规题，重点考查解分式方程的规范步骤，需注意互为相反数的分母变形时的符号处理，牢记检验是解分式方程必不可少的步骤，不可省略，避免误将增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，具体分三步思考：第一步确定最简公分母，方程两边同乘最简公分母消去分母；第二步按照整式方程的解法求解；第三步必须检验，把所得的解代入最简公分母，若公分母不为0则是原方程的解，若公分母为0则是增根，原方程无解。
针对第(1)题，分母分别为$x$和$2x-1$，最简公分母为$x(2x-1)$，直接乘公分母去分母即可；针对第(2)题，分母$x-3$和$3-x$互为相反数，先将$\frac{2}{3-x}$变形为$\frac{2}{x-3}$统一分母，再取最简公分母$x-3$去分母求解即可。
【解析】
(1) 方程两边同乘$x(2x-1)$，得
$2(2x-1)=x$
去括号，得$4x-2=x$
移项、合并同类项，得$3x=2$
系数化为1，得$x=\dfrac{2}{3}$
检验：当$x=\dfrac{2}{3}$时，$x(2x-1)≠0$，
所以$x=\dfrac{2}{3}$是原分式方程的解。
(2) 原方程可变形为$\dfrac{1-x}{x-3}+\dfrac{2}{x-3}=-2$，
方程两边同乘$(x-3)$，得
$1-x+2=-2(x-3)$
化简，得$3-x=-2x+6$
移项、合并同类项，得$x=3$
检验：当$x=3$时，$x-3=0$，$x=3$是增根，
所以原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=\dfrac{2}{3}$；(2) 无解
【知识点】
分式方程的解法，增根的检验，分式符号变形
【点评】
本题是解分式方程的基础常规题，重点考查解分式方程的规范步骤，需注意互为相反数的分母变形时的符号处理，牢记检验是解分式方程必不可少的步骤，不可省略，避免误将增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.7
12.已知关于$x$的分式方程$\frac{m+x-1}{x} - \frac{3m+1}{x+1}=1$.
(1)当$m=-1$时,请判断这个方程是否有解并说明理由.
(2)若这个分式方程有实数解,求$m$的取值范围.
(1)当$m=-1$时,请判断这个方程是否有解并说明理由.
(2)若这个分式方程有实数解,求$m$的取值范围.
答案
解：
(1) 当$m=-1$时，代入原方程得：
$\frac{x-2}{x} + \frac{2}{x+1} = 1$
方程两边同乘$x(x+1)$去分母，得：
$(x-2)(x+1) + 2x = x(x+1)$
展开整理得：$x^2 -x -2 +2x = x^2 +x$
化简后得$-2=0$，该等式不成立，
所以此时这个方程无解。
(2) 原方程两边同乘$x(x+1)$去分母，得：
$(m+x-1)(x+1) - (3m+1)x = x(x+1)$
展开并整理，消去二次项后得：
$2(m+1)x = m-1$
∵原分式方程有实数解，
首先整式方程要有解，即$m+1 ≠ 0$，得$m ≠ -1$，此时解为$x=\frac{m-1}{2(m+1)}$；
同时分式分母不能为0，即$x ≠ 0$且$x ≠ -1$：
若$x=0$，代入整式方程得$m-1=0$，即$m=1$，此时方程有增根$x=0$，不符合要求；
若$x=-1$，代入整式方程得$-2(m+1)=m-1$，解得$m=-\frac{1}{3}$，此时方程有增根$x=-1$，不符合要求。
综上，$m$的取值范围是$m ≠ \pm1$且$m ≠ -\frac{1}{3}$。
(1) 当$m=-1$时，代入原方程得：
$\frac{x-2}{x} + \frac{2}{x+1} = 1$
方程两边同乘$x(x+1)$去分母，得：
$(x-2)(x+1) + 2x = x(x+1)$
展开整理得：$x^2 -x -2 +2x = x^2 +x$
化简后得$-2=0$，该等式不成立，
所以此时这个方程无解。
(2) 原方程两边同乘$x(x+1)$去分母，得：
$(m+x-1)(x+1) - (3m+1)x = x(x+1)$
展开并整理，消去二次项后得：
$2(m+1)x = m-1$
∵原分式方程有实数解，
首先整式方程要有解，即$m+1 ≠ 0$，得$m ≠ -1$，此时解为$x=\frac{m-1}{2(m+1)}$；
同时分式分母不能为0，即$x ≠ 0$且$x ≠ -1$：
若$x=0$，代入整式方程得$m-1=0$，即$m=1$，此时方程有增根$x=0$，不符合要求；
若$x=-1$，代入整式方程得$-2(m+1)=m-1$，解得$m=-\frac{1}{3}$，此时方程有增根$x=-1$，不符合要求。
综上，$m$的取值范围是$m ≠ \pm1$且$m ≠ -\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
(1) 判定指定m值下分式方程是否有解，可先将m的值代入原方程，再通过去分母将分式方程转化为整式方程，若整式方程出现矛盾等式，或整式方程的解使原分式分母为0（即增根），则原分式方程无解。
(2) 分式方程有实数解需满足两个要求：一是去分母后得到的整式方程有解，二是整式方程的解不能使原分式的分母为0（无增根）。解题时先将原方程去分母化为整式方程，先根据整式方程有解得到m的第一个限制条件，再分别令原分母为0得到增根的可能取值，代入整式方程求出对应增根时的m值，排除这部分m值即可得到最终取值范围。
【解析】
(1) 当$m=-1$时，代入原方程得：
$\frac{x-2}{x} + \frac{2}{x+1} = 1$
方程两边同乘$x(x+1)$去分母，得：
$(x-2)(x+1) + 2x = x(x+1)$
展开整理得：$x^2 -x -2 +2x = x^2 +x$
化简后得$-2=0$，该等式不成立，
所以此时这个方程无解。
(2) 原方程两边同乘$x(x+1)$去分母，得：
$(m+x-1)(x+1) - (3m+1)x = x(x+1)$
展开并整理，消去二次项后得：
$2(m+1)x = m-1$
∵原分式方程有实数解，
首先整式方程要有解，即$m+1 ≠ 0$，得$m ≠ -1$，此时解为$x=\frac{m-1}{2(m+1)}$；
同时分式分母不能为0，即$x ≠ 0$且$x ≠ -1$：
若$x=0$，代入整式方程得$m-1=0$，即$m=1$，此时方程有增根$x=0$，不符合要求；
若$x=-1$，代入整式方程得$-2(m+1)=m-1$，解得$m=-\frac{1}{3}$，此时方程有增根$x=-1$，不符合要求。
综上，$m$的取值范围是$m ≠ \pm1$且$m ≠ -\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) 方程无解；(2) $m ≠ \pm1$且$m ≠ -\frac{1}{3}$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程有解的条件，增根的判定
【点评】
本题是分式方程的典型题型，解题时需注意分式方程和整式方程的区别，不能忽略分母不为0的隐含条件，避免因遗漏增根或整式方程无解的情况导致结果错误。
【难度系数】
0.6
(1) 判定指定m值下分式方程是否有解，可先将m的值代入原方程，再通过去分母将分式方程转化为整式方程，若整式方程出现矛盾等式，或整式方程的解使原分式分母为0（即增根），则原分式方程无解。
(2) 分式方程有实数解需满足两个要求：一是去分母后得到的整式方程有解，二是整式方程的解不能使原分式的分母为0（无增根）。解题时先将原方程去分母化为整式方程，先根据整式方程有解得到m的第一个限制条件，再分别令原分母为0得到增根的可能取值，代入整式方程求出对应增根时的m值，排除这部分m值即可得到最终取值范围。
【解析】
(1) 当$m=-1$时，代入原方程得：
$\frac{x-2}{x} + \frac{2}{x+1} = 1$
方程两边同乘$x(x+1)$去分母，得：
$(x-2)(x+1) + 2x = x(x+1)$
展开整理得：$x^2 -x -2 +2x = x^2 +x$
化简后得$-2=0$，该等式不成立，
所以此时这个方程无解。
(2) 原方程两边同乘$x(x+1)$去分母，得：
$(m+x-1)(x+1) - (3m+1)x = x(x+1)$
展开并整理，消去二次项后得：
$2(m+1)x = m-1$
∵原分式方程有实数解，
首先整式方程要有解，即$m+1 ≠ 0$，得$m ≠ -1$，此时解为$x=\frac{m-1}{2(m+1)}$；
同时分式分母不能为0，即$x ≠ 0$且$x ≠ -1$：
若$x=0$，代入整式方程得$m-1=0$，即$m=1$，此时方程有增根$x=0$，不符合要求；
若$x=-1$，代入整式方程得$-2(m+1)=m-1$，解得$m=-\frac{1}{3}$，此时方程有增根$x=-1$，不符合要求。
综上，$m$的取值范围是$m ≠ \pm1$且$m ≠ -\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) 方程无解；(2) $m ≠ \pm1$且$m ≠ -\frac{1}{3}$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程有解的条件，增根的判定
【点评】
本题是分式方程的典型题型，解题时需注意分式方程和整式方程的区别，不能忽略分母不为0的隐含条件，避免因遗漏增根或整式方程无解的情况导致结果错误。
【难度系数】
0.6
13.如果关于$x$的方程$1+\frac{x}{2-x}=\frac{2m}{x^2-4}$的解也是不等式组$\begin{cases}\frac{1-x}{2}＞x-2,\\2(x-3)≤ x-8\end{cases}$的解，求$m$的取值范围.
答案
解：先解分式方程 $1+\frac{x}{2-x}=\frac{2m}{x^2-4}$
方程两边同乘最简公分母 $(x+2)(x-2)$，得：
$(x+2)(x-2) - x(x+2) = 2m$
化简得：
$x^2 -4 -x^2 -2x = 2m$
$-2x -4 = 2m$
解得 $x = -m -2$
由分式方程分母不为0，得 $x^2-4≠0$，即 $x≠\pm2$：
若 $x=2$，则 $-m-2=2$，得 $m=-4$；
若 $x=-2$，则 $-m-2=-2$，得 $m=0$，
即分式方程的有效解为 $x=-m-2$，且 $m≠-4$，$m≠0$。
再解不等式组 $\begin{cases}\frac{1-x}{2}＞x-2,\\2(x-3)≤ x-8\end{cases}$
解不等式 $\frac{1-x}{2} ＞ x-2$，两边同乘2得：
$1-x ＞ 2x -4$
移项合并得 $-3x ＞ -5$，即 $x ＜ \frac{5}{3}$
解不等式 $2(x-3) ≤ x-8$，展开得：
$2x -6 ≤ x -8$
移项合并得 $x ≤ -2$
因此不等式组的解集为 $x ≤ -2$。
由题意，分式方程的解满足不等式组的解集，因此：
$-m -2 ≤ -2$
解得 $m ≥ 0$
结合分式方程有解的条件 $m≠0$，且 $m=-4$ 不在 $m≥0$ 范围内，最终得$m$的取值范围是 $m＞0$。
方程两边同乘最简公分母 $(x+2)(x-2)$，得：
$(x+2)(x-2) - x(x+2) = 2m$
化简得：
$x^2 -4 -x^2 -2x = 2m$
$-2x -4 = 2m$
解得 $x = -m -2$
由分式方程分母不为0，得 $x^2-4≠0$，即 $x≠\pm2$：
若 $x=2$，则 $-m-2=2$，得 $m=-4$；
若 $x=-2$，则 $-m-2=-2$，得 $m=0$，
即分式方程的有效解为 $x=-m-2$，且 $m≠-4$，$m≠0$。
再解不等式组 $\begin{cases}\frac{1-x}{2}＞x-2,\\2(x-3)≤ x-8\end{cases}$
解不等式 $\frac{1-x}{2} ＞ x-2$，两边同乘2得：
$1-x ＞ 2x -4$
移项合并得 $-3x ＞ -5$，即 $x ＜ \frac{5}{3}$
解不等式 $2(x-3) ≤ x-8$，展开得：
$2x -6 ≤ x -8$
移项合并得 $x ≤ -2$
因此不等式组的解集为 $x ≤ -2$。
由题意，分式方程的解满足不等式组的解集，因此：
$-m -2 ≤ -2$
解得 $m ≥ 0$
结合分式方程有解的条件 $m≠0$，且 $m=-4$ 不在 $m≥0$ 范围内，最终得$m$的取值范围是 $m＞0$。
解析
【分析】
本题是分式方程与一元一次不等式组的综合题，解题思路可分为三步：①先求解分式方程：通过去分母将分式方程转化为整式方程，求出用参数m表示的解，再结合分式方程分母不为0的要求，排除会产生增根的m的取值，保证分式方程有有效解；②再求解不等式组：分别解出两个不等式的解集，取公共部分得到不等式组的解集；③最后结合题意列不等式：因为分式方程的解也是不等式组的解，所以将用m表示的x代入不等式组的解集，得到关于m的不等式，再结合之前排除的增根对应的m值，即可得到m的最终取值范围。
【解析】
第一步：解分式方程
原分式方程为 $1+\frac{x}{2-x}=\frac{2m}{x^2-4}$，先变形得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$2-x=-(x-2)$。
方程两边同乘最简公分母 $(x+2)(x-2)$ 去分母，得：
$(x+2)(x-2) - x(x+2) = 2m$
展开化简：
$x^2 -4 -x^2 -2x = 2m$
$-2x -4 = 2m$
解得：$x = -m -2$。
排除分式方程的增根：
分式方程分母不能为0，即 $x^2-4≠0$，也就是 $x≠2$ 且 $x≠-2$：
若 $x=2$，则 $-m-2=2$，解得 $m=-4$；
若 $x=-2$，则 $-m-2=-2$，解得 $m=0$。
因此分式方程的有效解为 $x=-m-2$，且 $m≠-4$，$m≠0$。
第二步：解一元一次不等式组
不等式组为 $\begin{cases}\frac{1-x}{2}＞x-2,\\2(x-3)≤ x-8\end{cases}$
解第一个不等式 $\frac{1-x}{2} ＞ x-2$：
两边同乘2得：$1-x ＞ 2x -4$，
移项合并同类项得：$-3x ＞ -5$，
系数化为1得：$x ＜ \frac{5}{3}$。
解第二个不等式 $2(x-3) ≤ x-8$：
展开得：$2x -6 ≤ x -8$，
移项合并同类项得：$x ≤ -2$。
取两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为 $x ≤ -2$。
第三步：结合题意求m的取值范围
因为分式方程的解也是不等式组的解，所以 $x=-m-2$ 满足 $x ≤ -2$，即：
$-m -2 ≤ -2$
解得：$m ≥ 0$。
结合之前分式方程有有效解的条件 $m≠0$，且 $m=-4$ 不在 $m≥0$ 的范围内，因此最终m的取值范围是 $m＞0$。
【答案】
$m＞0$
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 一元一次不等式组的解法
3. 分式方程增根的判定
【点评】
本题属于方程与不等式的综合应用题，解题的关键是既要掌握分式方程和不等式组的常规解法，还要注意分式方程分母不为0的隐含条件，避免遗漏增根对应的参数限制，导致求出的取值范围出错。
【难度系数】
0.6
本题是分式方程与一元一次不等式组的综合题，解题思路可分为三步：①先求解分式方程：通过去分母将分式方程转化为整式方程，求出用参数m表示的解，再结合分式方程分母不为0的要求，排除会产生增根的m的取值，保证分式方程有有效解；②再求解不等式组：分别解出两个不等式的解集，取公共部分得到不等式组的解集；③最后结合题意列不等式：因为分式方程的解也是不等式组的解，所以将用m表示的x代入不等式组的解集，得到关于m的不等式，再结合之前排除的增根对应的m值，即可得到m的最终取值范围。
【解析】
第一步：解分式方程
原分式方程为 $1+\frac{x}{2-x}=\frac{2m}{x^2-4}$，先变形得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$2-x=-(x-2)$。
方程两边同乘最简公分母 $(x+2)(x-2)$ 去分母，得：
$(x+2)(x-2) - x(x+2) = 2m$
展开化简：
$x^2 -4 -x^2 -2x = 2m$
$-2x -4 = 2m$
解得：$x = -m -2$。
排除分式方程的增根：
分式方程分母不能为0，即 $x^2-4≠0$，也就是 $x≠2$ 且 $x≠-2$：
若 $x=2$，则 $-m-2=2$，解得 $m=-4$；
若 $x=-2$，则 $-m-2=-2$，解得 $m=0$。
因此分式方程的有效解为 $x=-m-2$，且 $m≠-4$，$m≠0$。
第二步：解一元一次不等式组
不等式组为 $\begin{cases}\frac{1-x}{2}＞x-2,\\2(x-3)≤ x-8\end{cases}$
解第一个不等式 $\frac{1-x}{2} ＞ x-2$：
两边同乘2得：$1-x ＞ 2x -4$，
移项合并同类项得：$-3x ＞ -5$，
系数化为1得：$x ＜ \frac{5}{3}$。
解第二个不等式 $2(x-3) ≤ x-8$：
展开得：$2x -6 ≤ x -8$，
移项合并同类项得：$x ≤ -2$。
取两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为 $x ≤ -2$。
第三步：结合题意求m的取值范围
因为分式方程的解也是不等式组的解，所以 $x=-m-2$ 满足 $x ≤ -2$，即：
$-m -2 ≤ -2$
解得：$m ≥ 0$。
结合之前分式方程有有效解的条件 $m≠0$，且 $m=-4$ 不在 $m≥0$ 的范围内，因此最终m的取值范围是 $m＞0$。
【答案】
$m＞0$
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 一元一次不等式组的解法
3. 分式方程增根的判定
【点评】
本题属于方程与不等式的综合应用题，解题的关键是既要掌握分式方程和不等式组的常规解法，还要注意分式方程分母不为0的隐含条件，避免遗漏增根对应的参数限制，导致求出的取值范围出错。
【难度系数】
0.6
