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将多项式$4x^2+1$加上一项，使它能分解因式成$(a+b)^2$的形式，以下是四名学生所加的项，其中错误的是()
A.$2x$
B.$-4x$
C.$4x^4$
D.$4x$
A.$2x$
B.$-4x$
C.$4x^4$
D.$4x$
答案
A
解析
【分析】解题时先明确完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，即完全平方式包含两个平方项，以及两个底数乘积的2倍项（可正可负）。我们可以将已知的$4x^2$和$1$看作完全平方式的两个平方项，也可以将$4x^2$看作中间的2倍乘积项，分别计算需要添加的项后，再对比选项判断正误即可。
【解析】根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，分情况验证各选项：
1. 若将$4x^2=(2x)^2$、$1=1^2$看作两个平方项，则需要添加的中间项为$\pm2×2x×1=\pm4x$：
加$-4x$时，$4x^2-4x+1=(2x-1)^2$，选项B正确；
加$4x$时，$4x^2+4x+1=(2x+1)^2$，选项D正确。
2. 若将$4x^2$看作中间的2倍乘积项，其中一个平方项为$1=1^2$，则另一个平方项为$(2x^2)^2=4x^4$：
加$4x^4$时，$4x^4+4x^2+1=(2x^2+1)^2$，选项C正确。
3. 加$2x$时，多项式为$4x^2+2x+1$，不符合完全平方公式的结构，无法分解为$(a+b)^2$的形式，选项A错误。
【答案】A
【知识点】完全平方公式、因式分解
【点评】本题核心是考查对完全平方公式结构的掌握，解题时需要考虑两种不同的项的对应情况，避免遗漏将已知项作为中间项的情况，熟记公式结构是解题的关键。
【难度系数】0.7
【解析】根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，分情况验证各选项：
1. 若将$4x^2=(2x)^2$、$1=1^2$看作两个平方项，则需要添加的中间项为$\pm2×2x×1=\pm4x$：
加$-4x$时，$4x^2-4x+1=(2x-1)^2$，选项B正确；
加$4x$时，$4x^2+4x+1=(2x+1)^2$，选项D正确。
2. 若将$4x^2$看作中间的2倍乘积项，其中一个平方项为$1=1^2$，则另一个平方项为$(2x^2)^2=4x^4$：
加$4x^4$时，$4x^4+4x^2+1=(2x^2+1)^2$，选项C正确。
3. 加$2x$时，多项式为$4x^2+2x+1$，不符合完全平方公式的结构，无法分解为$(a+b)^2$的形式，选项A错误。
【答案】A
【知识点】完全平方公式、因式分解
【点评】本题核心是考查对完全平方公式结构的掌握，解题时需要考虑两种不同的项的对应情况，避免遗漏将已知项作为中间项的情况，熟记公式结构是解题的关键。
【难度系数】0.7
1.分解因式：
(1)$3x^2 - 18x + 27 = \_\_\_\_\_\_$；
(2)$2x^2 - 8xy + 8y^2 = \_\_\_\_\_\_$。
(1)$3x^2 - 18x + 27 = \_\_\_\_\_\_$；
(2)$2x^2 - 8xy + 8y^2 = \_\_\_\_\_\_$。
答案
(1) $\boldsymbol{3(x-3)^2}$；(2) $\boldsymbol{2(x-2y)^2}$
解析
【分析】
分解因式需遵循“一提二套三查”的步骤思考：第一步先观察多项式是否含有公因式，若有则先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的多项式，判断是否符合平方差公式或完全平方公式的结构特征，若符合则套用对应公式继续分解；第三步检查分解结果是否已经不能再分解，确保分解彻底。本题两个小题都存在公因式，提取后剩余的多项式都符合完全平方公式的形式，按步骤分解即可。
【解析】
(1) 先提取公因式3：
$3x^2 - 18x + 27 = 3(x^2 - 6x + 9)$
观察$x^2 -6x +9$，符合完全平方公式$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$，其中$a=x$，$b=3$，因此：
$3(x^2 -6x +9)=3(x-3)^2$
(2) 先提取公因式2：
$2x^2 - 8xy + 8y^2 = 2(x^2 -4xy +4y^2)$
观察$x^2 -4xy +4y^2$，符合完全平方公式$a^2 -2ab +b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=2y$，因此：
$2(x^2 -4xy +4y^2)=2(x-2y)^2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{3(x-3)^2}$；(2) $\boldsymbol{2(x-2y)^2}$
【知识点】
1.提公因式法分解因式 2.完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要牢记“一提二套三查”的原则，先提取公因式再套用公式，同时要注意分解结果必须是整式乘积的形式且分解到不能再分解为止，是因式分解部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.85
分解因式需遵循“一提二套三查”的步骤思考：第一步先观察多项式是否含有公因式，若有则先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的多项式，判断是否符合平方差公式或完全平方公式的结构特征，若符合则套用对应公式继续分解；第三步检查分解结果是否已经不能再分解，确保分解彻底。本题两个小题都存在公因式，提取后剩余的多项式都符合完全平方公式的形式，按步骤分解即可。
【解析】
(1) 先提取公因式3：
$3x^2 - 18x + 27 = 3(x^2 - 6x + 9)$
观察$x^2 -6x +9$，符合完全平方公式$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$，其中$a=x$，$b=3$，因此：
$3(x^2 -6x +9)=3(x-3)^2$
(2) 先提取公因式2：
$2x^2 - 8xy + 8y^2 = 2(x^2 -4xy +4y^2)$
观察$x^2 -4xy +4y^2$，符合完全平方公式$a^2 -2ab +b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=2y$，因此：
$2(x^2 -4xy +4y^2)=2(x-2y)^2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{3(x-3)^2}$；(2) $\boldsymbol{2(x-2y)^2}$
【知识点】
1.提公因式法分解因式 2.完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要牢记“一提二套三查”的原则，先提取公因式再套用公式，同时要注意分解结果必须是整式乘积的形式且分解到不能再分解为止，是因式分解部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.85
2.分解因式：
(1)$ab^2 - 2ab + a = \underline{\hspace{10cm}}$；
(2)$(a+b)^2 - 6(a+b) + 9 = \underline{\hspace{8cm}}$。
(1)$ab^2 - 2ab + a = \underline{\hspace{10cm}}$；
(2)$(a+b)^2 - 6(a+b) + 9 = \underline{\hspace{8cm}}$。
答案
解：
(1)
$ab^2 - 2ab + a$
$=a(b^2 - 2b + 1)$
$=a(b-1)^2$
(2)
$(a+b)^2 - 6(a+b) + 9$
$=(a+b)^2 - 2·(a+b)·3 + 3^2$
$=(a+b-3)^2$
(1)
$ab^2 - 2ab + a$
$=a(b^2 - 2b + 1)$
$=a(b-1)^2$
(2)
$(a+b)^2 - 6(a+b) + 9$
$=(a+b)^2 - 2·(a+b)·3 + 3^2$
$=(a+b-3)^2$
解析
【分析】
因式分解遵循“一提、二套、三检查”的解题步骤。第(1)题先观察多项式各项，可发现所有项都含有公因式a，第一步先提取公因式a，再判断剩余的多项式是否符合乘法公式结构，提取公因式后得到的$b^2-2b+1$是完全平方式，直接套用完全平方公式即可分解彻底。第(2)题可将$(a+b)$看作一个整体，观察多项式符合“首平方、尾平方，乘积两倍在中央”的完全平方公式结构，直接套用公式就能完成分解。
【解析】
(1) 分解$ab^2 - 2ab + a$：
第一步提取公因式$a$：
$ab^2 - 2ab + a = a(b^2 - 2b + 1)$
第二步套用完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$（其中$m=b$，$n=1$）：
$a(b^2 - 2b + 1)=a(b-1)^2$
(2) 分解$(a+b)^2 - 6(a+b) + 9$：
将$(a+b)$看作整体，将原式整理为完全平方公式的标准形式：
$(a+b)^2 - 6(a+b) + 9=(a+b)^2 - 2·(a+b)·3 + 3^2$
套用完全平方公式得：
$(a+b)^2 - 2·(a+b)·3 + 3^2=(a+b-3)^2$
【答案】
(1)$a(b-1)^2$；(2)$(a+b-3)^2$
【知识点】
提公因式法、完全平方公式、整体思想
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，解题时牢记“先提公因式，再套公式”的顺序，对于含重复代数式的多项式，要学会将重复部分看作整体识别公式结构，最后注意检查分解是否彻底即可。
【难度系数】
0.8
因式分解遵循“一提、二套、三检查”的解题步骤。第(1)题先观察多项式各项，可发现所有项都含有公因式a，第一步先提取公因式a，再判断剩余的多项式是否符合乘法公式结构，提取公因式后得到的$b^2-2b+1$是完全平方式，直接套用完全平方公式即可分解彻底。第(2)题可将$(a+b)$看作一个整体，观察多项式符合“首平方、尾平方，乘积两倍在中央”的完全平方公式结构，直接套用公式就能完成分解。
【解析】
(1) 分解$ab^2 - 2ab + a$：
第一步提取公因式$a$：
$ab^2 - 2ab + a = a(b^2 - 2b + 1)$
第二步套用完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$（其中$m=b$，$n=1$）：
$a(b^2 - 2b + 1)=a(b-1)^2$
(2) 分解$(a+b)^2 - 6(a+b) + 9$：
将$(a+b)$看作整体，将原式整理为完全平方公式的标准形式：
$(a+b)^2 - 6(a+b) + 9=(a+b)^2 - 2·(a+b)·3 + 3^2$
套用完全平方公式得：
$(a+b)^2 - 2·(a+b)·3 + 3^2=(a+b-3)^2$
【答案】
(1)$a(b-1)^2$；(2)$(a+b-3)^2$
【知识点】
提公因式法、完全平方公式、整体思想
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，解题时牢记“先提公因式，再套公式”的顺序，对于含重复代数式的多项式，要学会将重复部分看作整体识别公式结构，最后注意检查分解是否彻底即可。
【难度系数】
0.8
3. 若 $ m^2 + km + 4 $ 是完全平方式，则 $ k = $ 。
答案
解：
根据完全平方公式 $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$，
对比 $m^2 + km + 4$，可得首项为 $m^2$，对应 $a=m$，末项为4，对应 $b^2=4$，即 $b=2$，
因此中间项满足 $km = \pm 2 · m · 2 = \pm4m$，
所以 $k = \pm4$。
根据完全平方公式 $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$，
对比 $m^2 + km + 4$，可得首项为 $m^2$，对应 $a=m$，末项为4，对应 $b^2=4$，即 $b=2$，
因此中间项满足 $km = \pm 2 · m · 2 = \pm4m$，
所以 $k = \pm4$。
解析
【分析】
解题时首先回忆完全平方式的结构：完全平方式可表示为$a^2\pm2ab+b^2$，包含两数和的平方、两数差的平方两种类型。先匹配题目中式子的首尾项，确定对应公式里的a和b，再根据中间项的两种可能情况计算k的值，注意不要遗漏负号的情况。
【解析】
根据完全平方公式$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$，
对比$m^2 + km + 4$，可得首项$m^2$对应$a=m$，末项为4，即$b^2=4$，得$b=2$，
因此中间项满足$km = \pm 2 · m · 2 = \pm4m$，
所以$k = \pm4$。
【答案】
$\pm4$
【知识点】
完全平方公式，完全平方式的特征
【点评】
本题重点考查对完全平方式结构的掌握，易错点是只考虑两数和的平方情况，漏掉差的平方对应的负的中间项，解题时要牢记完全平方式的两种形式，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆完全平方式的结构：完全平方式可表示为$a^2\pm2ab+b^2$，包含两数和的平方、两数差的平方两种类型。先匹配题目中式子的首尾项，确定对应公式里的a和b，再根据中间项的两种可能情况计算k的值，注意不要遗漏负号的情况。
【解析】
根据完全平方公式$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$，
对比$m^2 + km + 4$，可得首项$m^2$对应$a=m$，末项为4，即$b^2=4$，得$b=2$，
因此中间项满足$km = \pm 2 · m · 2 = \pm4m$，
所以$k = \pm4$。
【答案】
$\pm4$
【知识点】
完全平方公式，完全平方式的特征
【点评】
本题重点考查对完全平方式结构的掌握，易错点是只考虑两数和的平方情况，漏掉差的平方对应的负的中间项，解题时要牢记完全平方式的两种形式，避免漏解。
【难度系数】
0.7
4.将多项式$2mx^2 -8mx +8m$分解因式，正确的结果是()
A.$2(mx^2 -4mx +4m)$
B.$2m(x^2 -4x +4)$
C.$2m(x-2)^2$
D.$2m(x+2)(x-2)$
A.$2(mx^2 -4mx +4m)$
B.$2m(x^2 -4x +4)$
C.$2m(x-2)^2$
D.$2m(x+2)(x-2)$
答案
C
解析
【分析】
解决这道因式分解题，首先要牢记因式分解的核心要求：先提取公因式，再套用乘法公式分解，直到每个因式都不能再分解为止。首先观察多项式各项，确定公因式先提取，再判断剩余多项式的结构，选择对应的公式继续分解，同时注意排查分解不彻底、公式误用的错误选项。
【解析】
因式分解步骤如下：
1. 提取公因式：多项式$2mx^2 -8mx +8m$的各项都含有公因式$2m$，提取公因式后可得：
$2mx^2 -8mx +8m=2m(x^2-4x+4)$
2. 套用公式继续分解：观察括号内的$x^2-4x+4$，符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=2$，因此$x^2-4x+4=(x-2)^2$
3. 整理得最终结果：$2m(x-2)^2$
选项分析：
A选项未提取完公因式$m$，不符合要求，错误；
B选项括号内的多项式还可继续分解，分解不彻底，错误；
C选项符合分解结果，正确；
D选项混淆了完全平方公式和平方差公式，结果错误。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基础步骤，解题时遵循“一提二套三查”的原则即可：先提取公因式，再匹配对应的乘法公式，最后检查是否分解彻底、公式使用是否正确，避免出现分解不彻底或公式混淆的问题。
【难度系数】
0.8
解决这道因式分解题，首先要牢记因式分解的核心要求：先提取公因式，再套用乘法公式分解，直到每个因式都不能再分解为止。首先观察多项式各项，确定公因式先提取，再判断剩余多项式的结构，选择对应的公式继续分解，同时注意排查分解不彻底、公式误用的错误选项。
【解析】
因式分解步骤如下：
1. 提取公因式：多项式$2mx^2 -8mx +8m$的各项都含有公因式$2m$，提取公因式后可得：
$2mx^2 -8mx +8m=2m(x^2-4x+4)$
2. 套用公式继续分解：观察括号内的$x^2-4x+4$，符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=2$，因此$x^2-4x+4=(x-2)^2$
3. 整理得最终结果：$2m(x-2)^2$
选项分析：
A选项未提取完公因式$m$，不符合要求，错误；
B选项括号内的多项式还可继续分解，分解不彻底，错误；
C选项符合分解结果，正确；
D选项混淆了完全平方公式和平方差公式，结果错误。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基础步骤，解题时遵循“一提二套三查”的原则即可：先提取公因式，再匹配对应的乘法公式，最后检查是否分解彻底、公式使用是否正确，避免出现分解不彻底或公式混淆的问题。
【难度系数】
0.8
5.将下列多项式分解因式,结果中不含有因式$a+1$的是()
A.$a^2 -1$
B.$a^2 +a$
C.$a^2 +a -2$
D.$(a+2)^2 -2(a+2)+1$
A.$a^2 -1$
B.$a^2 +a$
C.$a^2 +a -2$
D.$(a+2)^2 -2(a+2)+1$
答案
C
解析
【分析】
这道题要求选出分解因式后不含因式$a+1$的选项，解题思路是将四个选项的多项式分别进行因式分解，再逐一检查分解结果中是否含有因式$a+1$，即可得出正确答案。
【解析】
我们对每个选项分别分解因式：
A选项：$a^2-1$是平方差形式，根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得$a^2-1=(a+1)(a-1)$，含有因式$a+1$，不符合要求；
B选项：$a^2+a$提取公因式$a$，可得$a^2+a=a(a+1)$，含有因式$a+1$，不符合要求；
C选项：对$a^2+a-2$用十字相乘法分解，常数项$-2$可拆为$2×(-1)$，且$2+(-1)=1$（一次项系数），因此$a^2+a-2=(a+2)(a-1)$，分解结果中不含因式$a+1$，符合要求；
D选项：把$(a+2)$看作整体，$(a+2)^2 -2(a+2)+1$符合完全平方公式$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，其中$x=a+2$，$y=1$，因此原式$=[(a+2)-1]^2=(a+1)^2$，含有因式$a+1$，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
因式分解，公式法分解因式，十字相乘法分解因式
【点评】
本题考查因式分解的常用方法，需要熟练掌握提公因式法、平方差公式、完全平方公式以及十字相乘法分解因式的规则，逐一验证选项即可得出结果。
【难度系数】
0.8
这道题要求选出分解因式后不含因式$a+1$的选项，解题思路是将四个选项的多项式分别进行因式分解，再逐一检查分解结果中是否含有因式$a+1$，即可得出正确答案。
【解析】
我们对每个选项分别分解因式：
A选项：$a^2-1$是平方差形式，根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得$a^2-1=(a+1)(a-1)$，含有因式$a+1$，不符合要求；
B选项：$a^2+a$提取公因式$a$，可得$a^2+a=a(a+1)$，含有因式$a+1$，不符合要求；
C选项：对$a^2+a-2$用十字相乘法分解，常数项$-2$可拆为$2×(-1)$，且$2+(-1)=1$（一次项系数），因此$a^2+a-2=(a+2)(a-1)$，分解结果中不含因式$a+1$，符合要求；
D选项：把$(a+2)$看作整体，$(a+2)^2 -2(a+2)+1$符合完全平方公式$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，其中$x=a+2$，$y=1$，因此原式$=[(a+2)-1]^2=(a+1)^2$，含有因式$a+1$，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
因式分解，公式法分解因式，十字相乘法分解因式
【点评】
本题考查因式分解的常用方法，需要熟练掌握提公因式法、平方差公式、完全平方公式以及十字相乘法分解因式的规则，逐一验证选项即可得出结果。
【难度系数】
0.8
6.如图是一个正方形，将它分成四部分，其面积分别是$a^2$，$ab$，$ab$，$b^2$，则原正方形的边长是（）
A.$a^2+b^2$
B.$a+b$
C.$a-b$
D.$a^2-b^2$
A.$a^2+b^2$
B.$a+b$
C.$a-b$
D.$a^2-b^2$
答案
B
解析
【分析】
要确定原正方形的边长，首先明确正方形的面积等于边长的平方，因此先计算四个小部分的面积之和得到大正方形的总面积，再对总面积的表达式进行因式分解，得到完全平方形式后，取正的平方根即可得到正方形的边长（边长为正数）。
【解析】
首先计算原正方形的总面积，将四部分面积相加：
$S = a^2 + ab + ab + b^2$
合并同类项可得：
$S = a^2 + 2ab + b^2$
根据完全平方和公式对多项式因式分解：
$S = (a + b)^2$
设正方形边长为$x$（$x＞0$），由正方形面积公式$S=x^2$，可得$x^2=(a+b)^2$，因此$x=a+b$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，正方形面积计算，整式加减
【点评】
本题是数形结合的基础典型题，将几何图形的面积计算和代数因式分解知识结合，既考查对完全平方公式的掌握程度，也考查数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.8
要确定原正方形的边长，首先明确正方形的面积等于边长的平方，因此先计算四个小部分的面积之和得到大正方形的总面积，再对总面积的表达式进行因式分解，得到完全平方形式后，取正的平方根即可得到正方形的边长（边长为正数）。
【解析】
首先计算原正方形的总面积，将四部分面积相加：
$S = a^2 + ab + ab + b^2$
合并同类项可得：
$S = a^2 + 2ab + b^2$
根据完全平方和公式对多项式因式分解：
$S = (a + b)^2$
设正方形边长为$x$（$x＞0$），由正方形面积公式$S=x^2$，可得$x^2=(a+b)^2$，因此$x=a+b$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，正方形面积计算，整式加减
【点评】
本题是数形结合的基础典型题，将几何图形的面积计算和代数因式分解知识结合，既考查对完全平方公式的掌握程度，也考查数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.8
7.关于$x,y$的多项式$x^2 -4xy +5y^2 +8y +15$的最小值为()
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
答案
A
解析
【分析】
求含两个未知数的二次多项式的最小值，可利用配方法将多项式变形为几个完全平方式加常数的形式，再结合平方数的非负性求解。首先将含x的项与对应的y的项凑成关于x的完全平方式，再对剩余的含y的项继续凑完全平方，最后根据非负项的最小值为0，即可求出整个多项式的最小值。
【解析】
对多项式进行配方变形：
$\begin{aligned}&x^2 - 4xy + 5y^2 + 8y + 15\\=&(x^2 - 4xy + 4y^2) + y^2 + 8y + 15\\=&(x-2y)^2 + (y^2 + 8y + 16) - 16 + 15\\=&(x-2y)^2 + (y+4)^2 -1\end{aligned}$
根据平方的非负性可知：$(x-2y)^2≥0$，$(y+4)^2≥0$，因此$(x-2y)^2 + (y+4)^2≥0$。
当且仅当$x-2y=0$且$y+4=0$时，两个平方项均取0，此时多项式取得最小值，最小值为$0+0-1=-1$。
【答案】
A
【知识点】
配方法，平方的非负性，多项式最值求解
【点评】
本题是整式变形的典型题型，核心考查配方法的使用和平方非负性的应用，解题的关键是合理拆分多项式的项，依次凑出完全平方式，掌握配方技巧即可快速求解。
【难度系数】
0.7
求含两个未知数的二次多项式的最小值，可利用配方法将多项式变形为几个完全平方式加常数的形式，再结合平方数的非负性求解。首先将含x的项与对应的y的项凑成关于x的完全平方式，再对剩余的含y的项继续凑完全平方，最后根据非负项的最小值为0，即可求出整个多项式的最小值。
【解析】
对多项式进行配方变形：
$\begin{aligned}&x^2 - 4xy + 5y^2 + 8y + 15\\=&(x^2 - 4xy + 4y^2) + y^2 + 8y + 15\\=&(x-2y)^2 + (y^2 + 8y + 16) - 16 + 15\\=&(x-2y)^2 + (y+4)^2 -1\end{aligned}$
根据平方的非负性可知：$(x-2y)^2≥0$，$(y+4)^2≥0$，因此$(x-2y)^2 + (y+4)^2≥0$。
当且仅当$x-2y=0$且$y+4=0$时，两个平方项均取0，此时多项式取得最小值，最小值为$0+0-1=-1$。
【答案】
A
【知识点】
配方法，平方的非负性，多项式最值求解
【点评】
本题是整式变形的典型题型，核心考查配方法的使用和平方非负性的应用，解题的关键是合理拆分多项式的项，依次凑出完全平方式，掌握配方技巧即可快速求解。
【难度系数】
0.7
8.分解因式：
(1)$4x^2 - 20x + 25$；
(2)$ax^2 - 4ax + 4a$；
(3)$xy^3 - 2x^2y^2 + x^3y$；
(4)$(x^2 + y^2)^2 - 4x^2y^2$。
(1)$4x^2 - 20x + 25$；
(2)$ax^2 - 4ax + 4a$；
(3)$xy^3 - 2x^2y^2 + x^3y$；
(4)$(x^2 + y^2)^2 - 4x^2y^2$。
答案
解：
(1) 原式$=(2x)^2 - 2· 2x· 5 + 5^2$
$=(2x-5)^2$
(2) 原式$=a(x^2 - 4x + 4)$
$=a(x-2)^2$
(3) 原式$=xy(y^2 - 2xy + x^2)$
$=xy(x-y)^2$
(4) 原式$=(x^2 + y^2 + 2xy)(x^2 + y^2 - 2xy)$
$=(x+y)^2(x-y)^2$
(1) 原式$=(2x)^2 - 2· 2x· 5 + 5^2$
$=(2x-5)^2$
(2) 原式$=a(x^2 - 4x + 4)$
$=a(x-2)^2$
(3) 原式$=xy(y^2 - 2xy + x^2)$
$=xy(x-y)^2$
(4) 原式$=(x^2 + y^2 + 2xy)(x^2 + y^2 - 2xy)$
$=(x+y)^2(x-y)^2$
解析
【分析】
解这类因式分解题要遵循“一提、二套、三查”的思路：第一步先观察式子是否有公因式，有公因式先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的式子结构，三项式考虑完全平方公式，两项式考虑平方差公式，套用对应公式分解；第三步检查分解后的每个因式是否还能继续分解，保证分解彻底。
(1)式是无公因式的三项式，符合完全平方差公式的结构特征，可直接套用公式；(2)(3)式都有公因式，先提公因式后剩余部分是完全平方式，再套用完全平方公式；(4)式整体是两项的平方差，先套用平方差公式，分解后得到的两个因式都是完全平方式，需继续分解到不能再分解为止。
【解析】
(1) 原式$=(2x)^2 - 2· 2x· 5 + 5^2$
$=(2x-5)^2$
(2) 先提取公因式$a$，原式$=a(x^2 - 4x + 4)$
再套用完全平方公式，$=a(x-2)^2$
(3) 先提取公因式$xy$，原式$=xy(y^2 - 2xy + x^2)$
再套用完全平方公式，$=xy(x-y)^2$
(4) 先将式子看作平方差结构，原式$=(x^2 + y^2)^2 - (2xy)^2$
套用平方差公式，$=(x^2 + y^2 + 2xy)(x^2 + y^2 - 2xy)$
两个因式分别为完全平方式，继续分解，$=(x+y)^2(x-y)^2$
【答案】
(1)$(2x-5)^2$；(2)$a(x-2)^2$；(3)$xy(x-y)^2$；(4)$(x+y)^2(x-y)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础常规题型，重点考查因式分解的基本步骤和乘法公式的应用，解题时要注意提取公因式要彻底，分解完成后需检查是否还有可分解的因式。
【难度系数】
0.8
解这类因式分解题要遵循“一提、二套、三查”的思路：第一步先观察式子是否有公因式，有公因式先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的式子结构，三项式考虑完全平方公式，两项式考虑平方差公式，套用对应公式分解；第三步检查分解后的每个因式是否还能继续分解，保证分解彻底。
(1)式是无公因式的三项式，符合完全平方差公式的结构特征，可直接套用公式；(2)(3)式都有公因式，先提公因式后剩余部分是完全平方式，再套用完全平方公式；(4)式整体是两项的平方差，先套用平方差公式，分解后得到的两个因式都是完全平方式，需继续分解到不能再分解为止。
【解析】
(1) 原式$=(2x)^2 - 2· 2x· 5 + 5^2$
$=(2x-5)^2$
(2) 先提取公因式$a$，原式$=a(x^2 - 4x + 4)$
再套用完全平方公式，$=a(x-2)^2$
(3) 先提取公因式$xy$，原式$=xy(y^2 - 2xy + x^2)$
再套用完全平方公式，$=xy(x-y)^2$
(4) 先将式子看作平方差结构，原式$=(x^2 + y^2)^2 - (2xy)^2$
套用平方差公式，$=(x^2 + y^2 + 2xy)(x^2 + y^2 - 2xy)$
两个因式分别为完全平方式，继续分解，$=(x+y)^2(x-y)^2$
【答案】
(1)$(2x-5)^2$；(2)$a(x-2)^2$；(3)$xy(x-y)^2$；(4)$(x+y)^2(x-y)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础常规题型，重点考查因式分解的基本步骤和乘法公式的应用，解题时要注意提取公因式要彻底，分解完成后需检查是否还有可分解的因式。
【难度系数】
0.8
