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1. 如图,抛物线$y=x^2-2ax+1(a＞1)$与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C.若$∠ ACB=45°$,求a的值.
答案
过点A作AF⊥AC交BC于点F,过点F作FG⊥x轴于点G.
∴ ∠AGF=∠COA=90°,
∴ ∠OAC+∠GAF=90°,∠OCA+∠OAC=90°,
∴ ∠OCA = ∠GAF.
∵ ∠ACB = 45°,
∴ AF=CA,设A(t,0),在△OCA 和△GAF 中,
$\begin{cases} ∠OCA=∠GAF, \\ ∠COA=∠AGF, \\ CA=AF, \end{cases}$
∴ △OCA≌△GAF(AAS),
∴ OC=AG,OA=GF=t,当x=0时,y=1,
∴ 点C(0,1),
∴ OC=AG=1,
∴ 点F(t+1,t).设直线BC的表达式为y=kx+1,则k(t+1)+1=t,
∴ $k=\frac{t-1}{t+1}$,
∴ 直线BC的表达式为$y=\frac{t-1}{t+1}x+1$.
∵ 抛物线与x轴的交点为A,B,
∴ $x_Ax_B=1$,
∴ $x_B=\frac{1}{t}$,
将点$B(\frac{1}{t},0)$代入$y=\frac{t-1}{t+1}x+1$,得$\frac{t-1}{t+1}·\frac{1}{t}+1=0$,解得$t=-1±\sqrt{2}$,
经检验:$t=-1±\sqrt{2}$是此方程的根.
∵ t＞0,
∴ $t=\sqrt{2}-1$.
∵ $-\frac{2a}{2}=\frac{1}{2}(x_A+x_B)$,
∴ $2a=(\sqrt{2}-1)+\frac{1}{\sqrt{2}-1}$,
∴ $a=\sqrt{2}$.
解析
【分析】
已知∠ACB=45°，我们可以通过构造等腰直角三角形转化条件：过点A作AF⊥AC交BC于F，再过F作FG⊥x轴，即可证得△OCA≌△GAF，从而用点A的坐标表示点F的坐标；接着结合点C的坐标求出直线BC的解析式，利用二次函数与x轴交点的横坐标的乘积（韦达定理）得到点B的坐标，将其代入直线BC解析式求出点A的横坐标，最后根据二次函数根与系数的关系即可求出a的值。
【解析】
过点A作AF⊥AC交BC于点F,过点F作FG⊥x轴于点G.
∴ ∠AGF=∠COA=90°,
∴ ∠OAC+∠GAF=90°,∠OCA+∠OAC=90°,
∴ ∠OCA = ∠GAF.
∵ ∠ACB = 45°,
∴ AF=CA,设A(t,0),在△OCA 和△GAF 中,
$\begin{cases} ∠OCA=∠GAF, \\ ∠COA=∠AGF, \\ CA=AF, \end{cases}$
∴ △OCA≌△GAF(AAS),
∴ OC=AG,OA=GF=t,当x=0时,y=1,
∴ 点C(0,1),
∴ OC=AG=1,
∴ 点F(t+1,t).设直线BC的表达式为y=kx+1,则k(t+1)+1=t,
∴ $k=\frac{t-1}{t+1}$,
∴ 直线BC的表达式为$y=\frac{t-1}{t+1}x+1$.
∵ 抛物线与x轴的交点为A,B,
∴ $x_Ax_B=1$,
∴ $x_B=\frac{1}{t}$,
将点$B(\frac{1}{t},0)$代入$y=\frac{t-1}{t+1}x+1$,得$\frac{t-1}{t+1}·\frac{1}{t}+1=0$,解得$t=-1±\sqrt{2}$,
经检验:$t=-1±\sqrt{2}$是此方程的根.
∵ t＞0,
∴ $t=\sqrt{2}-1$.
∵ $-\frac{2a}{2}=\frac{1}{2}(x_A+x_B)$,
∴ $2a=(\sqrt{2}-1)+\frac{1}{\sqrt{2}-1}$,
∴ $a=\sqrt{2}$.
【答案】
$a=\sqrt{2}$
【知识点】
二次函数的图象与性质；全等三角形的判定与性质；一次函数解析式的确定
【点评】
本题是二次函数与几何角度的综合题，解题核心是利用45°角构造等腰直角三角形，通过全等三角形实现线段到坐标的转化，再结合二次函数与一元二次方程的关系求解参数，对几何辅助线构造能力和代数运算能力都有一定考查。
【难度系数】
0.3
已知∠ACB=45°，我们可以通过构造等腰直角三角形转化条件：过点A作AF⊥AC交BC于F，再过F作FG⊥x轴，即可证得△OCA≌△GAF，从而用点A的坐标表示点F的坐标；接着结合点C的坐标求出直线BC的解析式，利用二次函数与x轴交点的横坐标的乘积（韦达定理）得到点B的坐标，将其代入直线BC解析式求出点A的横坐标，最后根据二次函数根与系数的关系即可求出a的值。
【解析】
过点A作AF⊥AC交BC于点F,过点F作FG⊥x轴于点G.
∴ ∠AGF=∠COA=90°,
∴ ∠OAC+∠GAF=90°,∠OCA+∠OAC=90°,
∴ ∠OCA = ∠GAF.
∵ ∠ACB = 45°,
∴ AF=CA,设A(t,0),在△OCA 和△GAF 中,
$\begin{cases} ∠OCA=∠GAF, \\ ∠COA=∠AGF, \\ CA=AF, \end{cases}$
∴ △OCA≌△GAF(AAS),
∴ OC=AG,OA=GF=t,当x=0时,y=1,
∴ 点C(0,1),
∴ OC=AG=1,
∴ 点F(t+1,t).设直线BC的表达式为y=kx+1,则k(t+1)+1=t,
∴ $k=\frac{t-1}{t+1}$,
∴ 直线BC的表达式为$y=\frac{t-1}{t+1}x+1$.
∵ 抛物线与x轴的交点为A,B,
∴ $x_Ax_B=1$,
∴ $x_B=\frac{1}{t}$,
将点$B(\frac{1}{t},0)$代入$y=\frac{t-1}{t+1}x+1$,得$\frac{t-1}{t+1}·\frac{1}{t}+1=0$,解得$t=-1±\sqrt{2}$,
经检验:$t=-1±\sqrt{2}$是此方程的根.
∵ t＞0,
∴ $t=\sqrt{2}-1$.
∵ $-\frac{2a}{2}=\frac{1}{2}(x_A+x_B)$,
∴ $2a=(\sqrt{2}-1)+\frac{1}{\sqrt{2}-1}$,
∴ $a=\sqrt{2}$.
【答案】
$a=\sqrt{2}$
【知识点】
二次函数的图象与性质；全等三角形的判定与性质；一次函数解析式的确定
【点评】
本题是二次函数与几何角度的综合题，解题核心是利用45°角构造等腰直角三角形，通过全等三角形实现线段到坐标的转化，再结合二次函数与一元二次方程的关系求解参数，对几何辅助线构造能力和代数运算能力都有一定考查。
【难度系数】
0.3
2. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,将抛物线 $ G_1: y=mx^2 + 2\sqrt{3} (m≠0) $ 向右平移 $ \sqrt{3} $ 个单位长度后得到抛物线 $ G_2 $,点 $ A $ 是抛物线 $ G_2 $ 的顶点.
(1)直接写出点 $ A $ 的坐标.
(2)过点 $ (0, \sqrt{3}) $ 且平行于 $ x $ 轴的直线 $ l $ 与抛物线 $ G_2 $ 交于 $ B,C $ 两点.
①当 $ ∠BAC=90° $ 时,求抛物线 $ G_2 $ 的表达式;
②若 $ 60°＜∠BAC＜120° $,直接写出 $ m $ 的取值范围.
＞＞进一步挑战进阶专题:P32 专题 30
(1)直接写出点 $ A $ 的坐标.
(2)过点 $ (0, \sqrt{3}) $ 且平行于 $ x $ 轴的直线 $ l $ 与抛物线 $ G_2 $ 交于 $ B,C $ 两点.
①当 $ ∠BAC=90° $ 时,求抛物线 $ G_2 $ 的表达式;
②若 $ 60°＜∠BAC＜120° $,直接写出 $ m $ 的取值范围.
＞＞进一步挑战进阶专题:P32 专题 30
答案
(1)$(\sqrt{3},2\sqrt{3})$. 解析:
∵ 将抛物线 $ G_1:y=mx^2+2\sqrt{3}(m≠0) $ 向右平移$ \sqrt{3} $个单位长度后得到抛物线 $ G_2 $,
∴ 抛物线 $ G_2:y=m(x-\sqrt{3})^2+2\sqrt{3} $.
∵ 点A是抛物线$ G_2 $的顶点,
∴ 点A的坐标为$ (\sqrt{3},2\sqrt{3}) $.
(2)①设抛物线$ G_2 $的对称轴与直线l交于点D,如图①所示.
∵ 点A是抛物线顶点,
∴ AB=AC.
∵ $ ∠BAC=90° $,
∴ △ABC 为等腰直角三角形,
∴ CD=AD=$ \sqrt{3} $,
∴ 点C的坐标为$ (2\sqrt{3},\sqrt{3}) $.
∵ 点C在抛物线$ G_2 $上,
∴ $ \sqrt{3}=m(2\sqrt{3}-\sqrt{3})^2+2\sqrt{3} $,解得$ m=-\frac{\sqrt{3}}{3} $,
∴ 当$ ∠BAC=90° $时,抛物线$ G_2 $的表达式为$ y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-\sqrt{3})^2+2\sqrt{3} $.
②$ -\sqrt{3} ＜ m ＜ -\frac{\sqrt{3}}{9} $. 解析:依照题意画出图形,如图②所示.同理:当$ ∠BAC=60° $时,点C的坐标为$ (\sqrt{3}+1,\sqrt{3}) $;当$ ∠BAC=120° $时,点C的坐标为$ (\sqrt{3}+3,\sqrt{3}) $.
∵ $ 60°＜∠BAC＜120° $,
∴ 点$ (\sqrt{3}+1,\sqrt{3}) $在抛物线$ G_2 $下方,点$ (\sqrt{3}+3,\sqrt{3}) $在抛物线$ G_2 $上方,
∴ $\begin{cases} m(\sqrt{3}+1-\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}＞\sqrt{3}, \\ m(\sqrt{3}+3-\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}＜\sqrt{3}, \end{cases}$ 解得$ -\sqrt{3} ＜ m ＜ -\frac{\sqrt{3}}{9} $.
解析
【分析】
(1) 求平移后抛物线的顶点坐标，根据抛物线平移“左加右减，上加下减”的规律，先写出平移后抛物线$G_2$的顶点式，即可直接得到顶点$A$的坐标。
(2) ① 抛物线是轴对称图形，顶点$A$在对称轴上，因此$AB=AC$，$△ ABC$是等腰三角形，结合$∠ BAC=90°$，可知$△ ABC$是等腰直角三角形。先求出顶点$A$到直线$l$的距离$AD$的长度，根据等腰直角三角形的性质可得$AD=CD$，从而得到点$C$的坐标，将点$C$代入$G_2$的解析式即可求出$m$的值，得到$G_2$的表达式。
② 分别求出$∠ BAC=60°$和$∠ BAC=120°$这两个边界情况对应的$m$值：当$∠ BAC=60°$时，$△ ABC$是等边三角形，利用三角函数求出$CD$的长度，得到对应点$C$坐标代入求$m$；当$∠ BAC=120°$时，等腰$△ ABC$的顶角为$120°$，同理求出对应点$C$坐标代入求$m$，再结合$60°＜∠ BAC＜120°$的条件，即可得到$m$的取值范围。
【解析】
(1) 抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规律，将抛物线$G_1:y=mx^2+2\sqrt{3}$向右平移$\sqrt{3}$个单位长度后，得到$G_2$的解析式为$y=m(x-\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}$，抛物线顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，因此点$A$的坐标为$(\sqrt{3},2\sqrt{3})$。
(2) ① 设抛物线$G_2$的对称轴与直线$l$交于点$D$，如图①所示：
∵ 点$A$是抛物线$G_2$的顶点，抛物线对称轴垂直平分$BC$，
∴ $AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形。
又
∵ $∠ BAC=90°$，
∴ $△ ABC$为等腰直角三角形。
∵ 直线$l$过点$(0,\sqrt{3})$且平行于$x$轴，
∴ 直线$l$的解析式为$y=\sqrt{3}$，
∴ 点$D$的坐标为$(\sqrt{3},\sqrt{3})$，则$AD=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
根据等腰直角三角形的性质，$AD=CD=\sqrt{3}$，
∴ 点$C$的横坐标为$\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，纵坐标为$\sqrt{3}$，即$C(2\sqrt{3},\sqrt{3})$。
将$C(2\sqrt{3},\sqrt{3})$代入$G_2$的解析式得：
$\sqrt{3}=m(2\sqrt{3}-\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}$，
整理得$\sqrt{3}=3m+2\sqrt{3}$，解得$m=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，
因此抛物线$G_2$的表达式为$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}$。
② 当$∠ BAC=60°$时，$AB=AC$，$△ ABC$为等边三角形，$∠ BAD=30°$，
在$Rt△ ABD$中，$BD=AD·\tan30°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=1$，
∴ 此时点$C$的坐标为$(\sqrt{3}+1,\sqrt{3})$，代入$G_2$解析式得：
$\sqrt{3}=m(\sqrt{3}+1-\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}$，解得$m=-\sqrt{3}$。
当$∠ BAC=120°$时，$∠ BAD=60°$，
在$Rt△ ABD$中，$BD=AD·\tan60°=\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$，
∴ 此时点$C$的坐标为$(\sqrt{3}+3,\sqrt{3})$，代入$G_2$解析式得：
$\sqrt{3}=m(\sqrt{3}+3-\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}$，解得$m=-\frac{\sqrt{3}}{9}$。
∵ $60°＜∠ BAC＜120°$，且抛物线开口向下$m＜0$，角度越大对应$BD$越长，$m$的绝对值越小，
因此$m$的取值范围是$-\sqrt{3}＜m＜-\frac{\sqrt{3}}{9}$。
【答案】
(1) $(\sqrt{3},2\sqrt{3})$
(2) ① $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}$；② $-\sqrt{3} ＜ m ＜ -\frac{\sqrt{3}}{9}$
【知识点】
二次函数的平移；二次函数的性质；特殊三角形边角关系
【点评】
本题综合考查二次函数的平移规律、图像性质与特殊三角形的边角关系，解题核心是利用抛物线的轴对称性，结合等腰、等腰直角、等边三角形的性质求出对应点的坐标，再代入解析式求解参数，体现了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.55
(1) 求平移后抛物线的顶点坐标，根据抛物线平移“左加右减，上加下减”的规律，先写出平移后抛物线$G_2$的顶点式，即可直接得到顶点$A$的坐标。
(2) ① 抛物线是轴对称图形，顶点$A$在对称轴上，因此$AB=AC$，$△ ABC$是等腰三角形，结合$∠ BAC=90°$，可知$△ ABC$是等腰直角三角形。先求出顶点$A$到直线$l$的距离$AD$的长度，根据等腰直角三角形的性质可得$AD=CD$，从而得到点$C$的坐标，将点$C$代入$G_2$的解析式即可求出$m$的值，得到$G_2$的表达式。
② 分别求出$∠ BAC=60°$和$∠ BAC=120°$这两个边界情况对应的$m$值：当$∠ BAC=60°$时，$△ ABC$是等边三角形，利用三角函数求出$CD$的长度，得到对应点$C$坐标代入求$m$；当$∠ BAC=120°$时，等腰$△ ABC$的顶角为$120°$，同理求出对应点$C$坐标代入求$m$，再结合$60°＜∠ BAC＜120°$的条件，即可得到$m$的取值范围。
【解析】
(1) 抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规律，将抛物线$G_1:y=mx^2+2\sqrt{3}$向右平移$\sqrt{3}$个单位长度后，得到$G_2$的解析式为$y=m(x-\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}$，抛物线顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，因此点$A$的坐标为$(\sqrt{3},2\sqrt{3})$。
(2) ① 设抛物线$G_2$的对称轴与直线$l$交于点$D$，如图①所示：
∵ 点$A$是抛物线$G_2$的顶点，抛物线对称轴垂直平分$BC$，
∴ $AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形。
又
∵ $∠ BAC=90°$，
∴ $△ ABC$为等腰直角三角形。
∵ 直线$l$过点$(0,\sqrt{3})$且平行于$x$轴，
∴ 直线$l$的解析式为$y=\sqrt{3}$，
∴ 点$D$的坐标为$(\sqrt{3},\sqrt{3})$，则$AD=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
根据等腰直角三角形的性质，$AD=CD=\sqrt{3}$，
∴ 点$C$的横坐标为$\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，纵坐标为$\sqrt{3}$，即$C(2\sqrt{3},\sqrt{3})$。
将$C(2\sqrt{3},\sqrt{3})$代入$G_2$的解析式得：
$\sqrt{3}=m(2\sqrt{3}-\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}$，
整理得$\sqrt{3}=3m+2\sqrt{3}$，解得$m=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，
因此抛物线$G_2$的表达式为$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}$。
② 当$∠ BAC=60°$时，$AB=AC$，$△ ABC$为等边三角形，$∠ BAD=30°$，
在$Rt△ ABD$中，$BD=AD·\tan30°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=1$，
∴ 此时点$C$的坐标为$(\sqrt{3}+1,\sqrt{3})$，代入$G_2$解析式得：
$\sqrt{3}=m(\sqrt{3}+1-\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}$，解得$m=-\sqrt{3}$。
当$∠ BAC=120°$时，$∠ BAD=60°$，
在$Rt△ ABD$中，$BD=AD·\tan60°=\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$，
∴ 此时点$C$的坐标为$(\sqrt{3}+3,\sqrt{3})$，代入$G_2$解析式得：
$\sqrt{3}=m(\sqrt{3}+3-\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}$，解得$m=-\frac{\sqrt{3}}{9}$。
∵ $60°＜∠ BAC＜120°$，且抛物线开口向下$m＜0$，角度越大对应$BD$越长，$m$的绝对值越小，
因此$m$的取值范围是$-\sqrt{3}＜m＜-\frac{\sqrt{3}}{9}$。
【答案】
(1) $(\sqrt{3},2\sqrt{3})$
(2) ① $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}$；② $-\sqrt{3} ＜ m ＜ -\frac{\sqrt{3}}{9}$
【知识点】
二次函数的平移；二次函数的性质；特殊三角形边角关系
【点评】
本题综合考查二次函数的平移规律、图像性质与特殊三角形的边角关系，解题核心是利用抛物线的轴对称性，结合等腰、等腰直角、等边三角形的性质求出对应点的坐标，再代入解析式求解参数，体现了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.55
