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1. 如图，抛物线$y=\frac{1}{5}x^2 - \frac{16}{5}$经过$P(1,-3)$，$B(4,0)$两点，若$D$是抛物线上的一点，满足$∠ DPO = ∠ POB$，求点$D$的坐标.
答案
1. 当点 D 在 OP 左侧时,由∠DPO=∠POB,得 DP//OB,点 D 与点 P 关于 y 轴对称,由点 P(1,-3),得点 D(-1,-3);当点 D 在 OP 右侧时,延长 PD 交 x 轴于点 G.
作 PH⊥OB 于点 H,则 OH=1,PH=3.
∵ ∠DPO=∠POB,
∴ PG=OG.
设 OG=x,则 PG=x,HG=x-1.在 Rt△PGH 中,由 x²=(x-1)²+3²,得x=5,
∴ 点 G(5,0),设直线 PG 的表达式为 y=kx+n,将点 P(1,-3),G(5,0)代入,得$\begin{cases}-3=k+n,\\0=5k+n,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{3}{4},\\n=-\frac{15}{4},\end{cases}$
∴ 直线 PG 的表达式为 y=$\frac{3}{4}x-\frac{15}{4}$,解方程组$\begin{cases}y=\frac{3}{4}x-\frac{15}{4},\\y=\frac{1}{5}x^2-\frac{16}{5},\end{cases}$得$\begin{cases}x=1,\\y=-3\end{cases}$或$\begin{cases}x=\frac{11}{4},\\y=-\frac{27}{16}.\end{cases}$
∵ P(1,-3),
∴ $D(\frac{11}{4},-\frac{27}{16})$,
∴ 点 D 的坐标为(-1,-3)或$(\frac{11}{4},-\frac{27}{16})$.
解析
【分析】
遇到∠DPO=∠POB这类角度相等的条件，需分两种情况讨论：①当点D在OP左侧时，相等的角为内错角，可推出DP平行于x轴，结合点P坐标即可求D点坐标；②当点D在OP右侧时，相等的角可推出△OPG为等腰三角形（OG=PG），通过设未知数用勾股定理求出G点坐标，再求直线PG与抛物线的交点，排除P点即为所求D点，解题时注意不要漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点D在OP左侧时：
由∠DPO=∠POB，根据内错角相等，两直线平行，可得DP//OB（x轴），因此点D与点P纵坐标相同，且关于y轴对称。
已知P(1,-3)，故D点横坐标为-1，纵坐标为-3，即D(-1,-3)。
2. 当点D在OP右侧时：
延长PD交x轴于点G，作PH⊥OB于点H，则OH=1，PH=3。
∵∠DPO=∠POB，
∴PG=OG，△OPG为等腰三角形。
设OG=x，则PG=x，HG=x-1，在Rt△PGH中，由勾股定理得：
$PG^2=PH^2+HG^2$，即$x^2=(x-1)^2+3^2$，
展开计算得$x^2=x^2-2x+1+9$，解得x=5，故G(5,0)。
设直线PG的表达式为y=kx+n，将P(1,-3)、G(5,0)代入得：
$\begin{cases}-3=k+n\\0=5k+n\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{3}{4}\\n=-\frac{15}{4}\end{cases}$，
因此直线PG的表达式为$y=\frac{3}{4}x-\frac{15}{4}$。
联立直线PG与抛物线解析式得方程组：
$\begin{cases}y=\frac{3}{4}x-\frac{15}{4}\\y=\frac{1}{5}x^2-\frac{16}{5}\end{cases}$，
求解得：$\begin{cases}x=1\\y=-3\end{cases}$（对应点P，舍去）或$\begin{cases}x=\frac{11}{4}\\y=-\frac{27}{16}\end{cases}$，即此时D($\frac{11}{4},-\frac{27}{16}$)。
【答案】
点D的坐标为$\boldsymbol{(-1,-3)}$或$\boldsymbol{(\frac{11}{4},-\frac{27}{16})}$
【知识点】
二次函数的性质，平行线的判定，函数交点求解
【点评】
本题属于二次函数与角度的综合题，解题核心是将角度相等的条件转化为熟悉的几何性质（平行线、等腰三角形），通过分情况讨论避免漏解，再结合函数解析式联立求解交点，是二次函数综合题的常见考法。
【难度系数】
0.6
遇到∠DPO=∠POB这类角度相等的条件，需分两种情况讨论：①当点D在OP左侧时，相等的角为内错角，可推出DP平行于x轴，结合点P坐标即可求D点坐标；②当点D在OP右侧时，相等的角可推出△OPG为等腰三角形（OG=PG），通过设未知数用勾股定理求出G点坐标，再求直线PG与抛物线的交点，排除P点即为所求D点，解题时注意不要漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点D在OP左侧时：
由∠DPO=∠POB，根据内错角相等，两直线平行，可得DP//OB（x轴），因此点D与点P纵坐标相同，且关于y轴对称。
已知P(1,-3)，故D点横坐标为-1，纵坐标为-3，即D(-1,-3)。
2. 当点D在OP右侧时：
延长PD交x轴于点G，作PH⊥OB于点H，则OH=1，PH=3。
∵∠DPO=∠POB，
∴PG=OG，△OPG为等腰三角形。
设OG=x，则PG=x，HG=x-1，在Rt△PGH中，由勾股定理得：
$PG^2=PH^2+HG^2$，即$x^2=(x-1)^2+3^2$，
展开计算得$x^2=x^2-2x+1+9$，解得x=5，故G(5,0)。
设直线PG的表达式为y=kx+n，将P(1,-3)、G(5,0)代入得：
$\begin{cases}-3=k+n\\0=5k+n\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{3}{4}\\n=-\frac{15}{4}\end{cases}$，
因此直线PG的表达式为$y=\frac{3}{4}x-\frac{15}{4}$。
联立直线PG与抛物线解析式得方程组：
$\begin{cases}y=\frac{3}{4}x-\frac{15}{4}\\y=\frac{1}{5}x^2-\frac{16}{5}\end{cases}$，
求解得：$\begin{cases}x=1\\y=-3\end{cases}$（对应点P，舍去）或$\begin{cases}x=\frac{11}{4}\\y=-\frac{27}{16}\end{cases}$，即此时D($\frac{11}{4},-\frac{27}{16}$)。
【答案】
点D的坐标为$\boldsymbol{(-1,-3)}$或$\boldsymbol{(\frac{11}{4},-\frac{27}{16})}$
【知识点】
二次函数的性质，平行线的判定，函数交点求解
【点评】
本题属于二次函数与角度的综合题，解题核心是将角度相等的条件转化为熟悉的几何性质（平行线、等腰三角形），通过分情况讨论避免漏解，再结合函数解析式联立求解交点，是二次函数综合题的常见考法。
【难度系数】
0.6
2. 如图，抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x+2$交x轴于A，B两点，交y轴正半轴于点C. 若P为第二象限抛物线上的一点，且$∠ ACP=2∠ BCO$，求点P的坐标.
答案
2. 令 y=0,则$-\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+2=0$,解得 x=1 或 x=-4,
∴ A(-4,0),B(1,0);令 x=0,则 y=2,
∴ C(0,2),
∴ $AC^2=AO^2+CO^2=4^2+2^2=20$,
$BC^2=BO^2+CO^2=1^2+2^2=5$,$AB^2=(AO+BO)^2=(4+1)^2=25$,
∴ $AC^2+BC^2=AB^2$,
∴ △ABC 是直角三角形,且∠ACB=90°,
∴ ∠ACO+∠BCO=∠ACO+∠CAB=90°,
∴ ∠BCO=∠CAB,取 AC 的中点 E,连结 OE,过 C,P 两点作直线,
∴ OE=AE=CE,
∴ ∠BAC=∠EOA,
∴ ∠OEC=∠BAC+∠EOA=2∠BAC.
∵ ∠ACP=2∠BCO,
∴ ∠OEC=∠ACP,
∴ OE//CP.
∵ A(-4,0),C(0,2),
∴ $E(\frac{-4+0}{2},\frac{0+2}{2})$,即 E(-2,1).设直线 OE 的表达式为 y=kx,
∴ -2k=1,
∴ $k=-\frac{1}{2}$,
∴ 直线 OE 的表达式为 $y=-\frac{1}{2}x$,
∴ 直线 CP 的表达式为 $y=-\frac{1}{2}x+2$,联立$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x+2,\\y=-\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=0,\\y=2\end{cases}$(舍去)或$\begin{cases}x=-2,\\y=3,\end{cases}$
∴ 点P 的坐标为(-2,3).
解析
【分析】
解决这道题可按以下思路逐步推导：
1. 首先求出抛物线与x轴、y轴的交点A、B、C的坐标，作为后续计算的基础；
2. 用勾股定理逆定理判断△ABC的形状，推导得出∠BCO=∠CAB，将∠ACP=2∠BCO转化为∠ACP=2∠CAB；
3. 构造辅助线：取AC中点E，连接OE，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到等腰△OEA，推出∠OEC=2∠CAB，进而得到∠OEC=∠ACP，即可推出OE//CP；
4. 求出直线OE的解析式，根据平行直线斜率相等得到直线CP的解析式，再将直线CP与抛物线解析式联立，求解得到第二象限内的点P坐标即可。
【解析】
解：先求抛物线与坐标轴的交点：
令$y=0$，则$-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x+2=0$，
化简得$x^2+3x-4=0$，解得$x=1$或$x=-4$，
∴ $A(-4,0)$，$B(1,0)$；
令$x=0$，则$y=2$，
∴ $C(0,2)$。
计算各边长度的平方：
$AC^2=AO^2+CO^2=4^2+2^2=20$，
$BC^2=BO^2+CO^2=1^2+2^2=5$，
$AB^2=(AO+BO)^2=(4+1)^2=25$，
∴ $AC^2+BC^2=AB^2$，
∴ △ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$，
∴ $∠ ACO+∠ BCO=∠ ACO+∠ CAB=90°$，
∴ $∠ BCO=∠ CAB$。
取AC的中点E，连结OE，过C、P两点作直线，
∵ 在Rt△AOC中，E是AC中点，
∴ $OE=AE=CE$，
∴ $∠ BAC=∠ EOA$，
∴ $∠ OEC=∠ BAC+∠ EOA=2∠ BAC$。
∵ $∠ ACP=2∠ BCO$，且$∠ BCO=∠ BAC$，
∴ $∠ OEC=∠ ACP$，
∴ $OE// CP$。
∵ $A(-4,0)$，$C(0,2)$，
∴ E点坐标为$(\dfrac{-4+0}{2},\dfrac{0+2}{2})$，即$E(-2,1)$。
设直线OE的表达式为$y=kx$，将$E(-2,1)$代入得：
$-2k=1$，解得$k=-\dfrac{1}{2}$，
∴ 直线OE的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x$。
∵ $OE// CP$，且CP过点$C(0,2)$，
∴ 直线CP的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x+2$。
联立直线CP与抛物线的解析式：
$\begin{cases}y=-\dfrac{1}{2}x+2\\y=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x+2\end{cases}$
消去y得：$-\dfrac{1}{2}x+2=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x+2$，
化简得$x^2+2x=0$，解得$x=0$或$x=-2$。
当$x=0$时，$y=2$，对应点C，舍去；
当$x=-2$时，$y=-\dfrac{1}{2}×(-2)+2=3$，符合P在第二象限的条件。
【答案】
点P的坐标为$\boldsymbol{(-2,3)}$
【知识点】
二次函数与坐标轴交点，直角三角形性质，函数交点求解
【点评】
本题将二次函数与角度数量关系相结合，解题的核心是通过角度等量替换，将二倍角关系转化为两直线平行的位置关系，再通过联立函数解析式求解交点。题目既考查了基础的代数计算能力，也考查了几何辅助线构造、角度转化的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.4
解决这道题可按以下思路逐步推导：
1. 首先求出抛物线与x轴、y轴的交点A、B、C的坐标，作为后续计算的基础；
2. 用勾股定理逆定理判断△ABC的形状，推导得出∠BCO=∠CAB，将∠ACP=2∠BCO转化为∠ACP=2∠CAB；
3. 构造辅助线：取AC中点E，连接OE，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到等腰△OEA，推出∠OEC=2∠CAB，进而得到∠OEC=∠ACP，即可推出OE//CP；
4. 求出直线OE的解析式，根据平行直线斜率相等得到直线CP的解析式，再将直线CP与抛物线解析式联立，求解得到第二象限内的点P坐标即可。
【解析】
解：先求抛物线与坐标轴的交点：
令$y=0$，则$-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x+2=0$，
化简得$x^2+3x-4=0$，解得$x=1$或$x=-4$，
∴ $A(-4,0)$，$B(1,0)$；
令$x=0$，则$y=2$，
∴ $C(0,2)$。
计算各边长度的平方：
$AC^2=AO^2+CO^2=4^2+2^2=20$，
$BC^2=BO^2+CO^2=1^2+2^2=5$，
$AB^2=(AO+BO)^2=(4+1)^2=25$，
∴ $AC^2+BC^2=AB^2$，
∴ △ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$，
∴ $∠ ACO+∠ BCO=∠ ACO+∠ CAB=90°$，
∴ $∠ BCO=∠ CAB$。
取AC的中点E，连结OE，过C、P两点作直线，
∵ 在Rt△AOC中，E是AC中点，
∴ $OE=AE=CE$，
∴ $∠ BAC=∠ EOA$，
∴ $∠ OEC=∠ BAC+∠ EOA=2∠ BAC$。
∵ $∠ ACP=2∠ BCO$，且$∠ BCO=∠ BAC$，
∴ $∠ OEC=∠ ACP$，
∴ $OE// CP$。
∵ $A(-4,0)$，$C(0,2)$，
∴ E点坐标为$(\dfrac{-4+0}{2},\dfrac{0+2}{2})$，即$E(-2,1)$。
设直线OE的表达式为$y=kx$，将$E(-2,1)$代入得：
$-2k=1$，解得$k=-\dfrac{1}{2}$，
∴ 直线OE的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x$。
∵ $OE// CP$，且CP过点$C(0,2)$，
∴ 直线CP的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x+2$。
联立直线CP与抛物线的解析式：
$\begin{cases}y=-\dfrac{1}{2}x+2\\y=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x+2\end{cases}$
消去y得：$-\dfrac{1}{2}x+2=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x+2$，
化简得$x^2+2x=0$，解得$x=0$或$x=-2$。
当$x=0$时，$y=2$，对应点C，舍去；
当$x=-2$时，$y=-\dfrac{1}{2}×(-2)+2=3$，符合P在第二象限的条件。
【答案】
点P的坐标为$\boldsymbol{(-2,3)}$
【知识点】
二次函数与坐标轴交点，直角三角形性质，函数交点求解
【点评】
本题将二次函数与角度数量关系相结合，解题的核心是通过角度等量替换，将二倍角关系转化为两直线平行的位置关系，再通过联立函数解析式求解交点。题目既考查了基础的代数计算能力，也考查了几何辅助线构造、角度转化的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.4
3. 如图,抛物线$y=-x^2+2x+3$与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,P为第一象限内抛物线上一点.若点E的坐标为$(1,0)$,且$∠ POC+∠ OCE=45°$,求点P的坐标.
答案
3. 过点 C 作 CF//OP,过点 E 作 EF⊥CE,交 CF 于点 F,过点 F 作 FH⊥x 轴于点 H,
∴ ∠FCE=∠FCO+∠OCE=∠POC+∠OCE=45°,
∴ △FCE 为等腰直角三角形,
∴ CE=EF.当 x=0 时,y=3,
∴ OC=3.
∵ 点 E 的坐标为(1,0),
∴ OE=1.
∵ ∠CEO=90°-∠HEF=∠HFE,∠COE=∠FHE=90°,CE=EF,
∴ △COE≌△EHF(AAS),
∴ FH=OE=1,EH=CO=3,
∴ HO=2,
∴ 点 F(-2,-1).设直线 CF 的表达式为 y=kx+b,
∴ $\begin{cases}-2k+b=-1,\\b=3,\end{cases}$
∴ $\begin{cases}k=2,\\b=3,\end{cases}$
∴ 直线 CF 的表达式为 y=2x+3,
∴ 直线 OP 的表达式为 y=2x,联立$\begin{cases}y=2x,\\y=-x^2+2x+3,\end{cases}$解得$\begin{cases}x_1=-\sqrt{3},\\y_1=-2\sqrt{3},\end{cases}$$\begin{cases}x_2=\sqrt{3},\\y_2=2\sqrt{3}.\end{cases}$
∵ 点 P 在第一象限,
∴ 点 P 的坐标为 $(\sqrt{3},2\sqrt{3})$.
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据抛物线解析式先求出与y轴交点C的坐标，题目给出的∠POC+∠OCE=45°属于角度和条件，直接计算难度大，因此通过构造辅助线转化角度：作CF//OP，利用平行线内错角相等可得∠FCO=∠POC，即可推出∠FCE=45°，得到等腰直角△CEF；再作FH⊥x轴，证明△COE≌△EHF，求出点F的坐标后推导直线CF的解析式；由OP//CF可得直线OP的解析式，最后联立OP与抛物线的解析式，结合P在第一象限的取值要求，即可求出P点坐标。
【解析】
过点 C 作 CF//OP,过点 E 作 EF⊥CE,交 CF 于点 F,过点 F 作 FH⊥x 轴于点 H,
∴ ∠FCE=∠FCO+∠OCE=∠POC+∠OCE=45°,
∴ △FCE 为等腰直角三角形,
∴ CE=EF.
当x=0时,代入抛物线解析式$y=-x^2+2x+3$得$y=3$,
∴ OC=3.
∵ 点 E 的坐标为$(1,0)$,
∴ OE=1.
∵ ∠CEO=90°-∠HEF=∠HFE,∠COE=∠FHE=90°,CE=EF,
∴ △COE≌△EHF(AAS),
∴ FH=OE=1,EH=CO=3,
∴ HO=2,
∴ 点 F 的坐标为$(-2,-1)$.
设直线 CF 的表达式为$y=kx+b$,
将C(0,3)、F(-2,-1)代入得$\begin{cases}-2k+b=-1,\\b=3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2,\\b=3,\end{cases}$
∴ 直线 CF 的表达式为$y=2x+3$,
∵ OP//CF，且OP过原点，
∴ 直线 OP 的表达式为$y=2x$,
联立$\begin{cases}y=2x,\\y=-x^2+2x+3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x_1=-\sqrt{3},\\y_1=-2\sqrt{3},\end{cases}$$\begin{cases}x_2=\sqrt{3},\\y_2=2\sqrt{3}.\end{cases}$
∵ 点 P 在第一象限,
∴ 舍去负根，取对应正根的解。
【答案】
点P的坐标为$\boldsymbol{(\sqrt{3},2\sqrt{3})}$
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是二次函数与角度关系的综合题型，核心在于通过构造平行线与等腰直角三角形，将抽象的角度和条件转化为可量化的几何关系，结合全等三角形求点坐标、函数解析式联立求交点的方法求解，对辅助线构造的逻辑思维能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
解题思路如下：首先根据抛物线解析式先求出与y轴交点C的坐标，题目给出的∠POC+∠OCE=45°属于角度和条件，直接计算难度大，因此通过构造辅助线转化角度：作CF//OP，利用平行线内错角相等可得∠FCO=∠POC，即可推出∠FCE=45°，得到等腰直角△CEF；再作FH⊥x轴，证明△COE≌△EHF，求出点F的坐标后推导直线CF的解析式；由OP//CF可得直线OP的解析式，最后联立OP与抛物线的解析式，结合P在第一象限的取值要求，即可求出P点坐标。
【解析】
过点 C 作 CF//OP,过点 E 作 EF⊥CE,交 CF 于点 F,过点 F 作 FH⊥x 轴于点 H,
∴ ∠FCE=∠FCO+∠OCE=∠POC+∠OCE=45°,
∴ △FCE 为等腰直角三角形,
∴ CE=EF.
当x=0时,代入抛物线解析式$y=-x^2+2x+3$得$y=3$,
∴ OC=3.
∵ 点 E 的坐标为$(1,0)$,
∴ OE=1.
∵ ∠CEO=90°-∠HEF=∠HFE,∠COE=∠FHE=90°,CE=EF,
∴ △COE≌△EHF(AAS),
∴ FH=OE=1,EH=CO=3,
∴ HO=2,
∴ 点 F 的坐标为$(-2,-1)$.
设直线 CF 的表达式为$y=kx+b$,
将C(0,3)、F(-2,-1)代入得$\begin{cases}-2k+b=-1,\\b=3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2,\\b=3,\end{cases}$
∴ 直线 CF 的表达式为$y=2x+3$,
∵ OP//CF，且OP过原点，
∴ 直线 OP 的表达式为$y=2x$,
联立$\begin{cases}y=2x,\\y=-x^2+2x+3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x_1=-\sqrt{3},\\y_1=-2\sqrt{3},\end{cases}$$\begin{cases}x_2=\sqrt{3},\\y_2=2\sqrt{3}.\end{cases}$
∵ 点 P 在第一象限,
∴ 舍去负根，取对应正根的解。
【答案】
点P的坐标为$\boldsymbol{(\sqrt{3},2\sqrt{3})}$
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是二次函数与角度关系的综合题型，核心在于通过构造平行线与等腰直角三角形，将抽象的角度和条件转化为可量化的几何关系，结合全等三角形求点坐标、函数解析式联立求交点的方法求解，对辅助线构造的逻辑思维能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
