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1. ★★★(2024·乐山中考)如图,在梯形ABCD中,AD//BC,对角线AC和BD交于点O,若$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ BCD}}=\frac{1}{3}$,则$\frac{S_{△ AOD}}{S_{△ BOC}}=$
$\frac{1}{9}$
。答案
1. $\frac{1}{9}$
解析
【分析】
首先观察已知的△ABD和△BCD，二者的高均为梯形两底AD、BC之间的距离，即高相等，根据同高三角形的面积比等于底边长的比，可求出AD与BC的比值。再由AD//BC，可判定△AOD与△BOC是平行“8”字型相似，相似比等于AD与BC的比，最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出两个三角形的面积比。
【解析】
解：
∵AD//BC，
∴△ABD中AD边上的高与△BCD中BC边上的高相等，都等于梯形ABCD的高，
∴$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ BCD}}=\frac{AD}{BC}=\frac{1}{3}$。
又
∵AD//BC，
∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，
∴△AOD∽△COB，相似比$k=\frac{AD}{BC}=\frac{1}{3}$。
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ AOD}}{S_{△ BOC}}=k^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
同高三角形面积比规律；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是梯形中相似模型的基础应用，解题的核心是先通过同高三角形的面积关系得到两底的长度比，再结合平行“8”字型相似的性质求解，熟练掌握三角形面积相关规律和相似三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
首先观察已知的△ABD和△BCD，二者的高均为梯形两底AD、BC之间的距离，即高相等，根据同高三角形的面积比等于底边长的比，可求出AD与BC的比值。再由AD//BC，可判定△AOD与△BOC是平行“8”字型相似，相似比等于AD与BC的比，最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出两个三角形的面积比。
【解析】
解：
∵AD//BC，
∴△ABD中AD边上的高与△BCD中BC边上的高相等，都等于梯形ABCD的高，
∴$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ BCD}}=\frac{AD}{BC}=\frac{1}{3}$。
又
∵AD//BC，
∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，
∴△AOD∽△COB，相似比$k=\frac{AD}{BC}=\frac{1}{3}$。
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ AOD}}{S_{△ BOC}}=k^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
同高三角形面积比规律；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是梯形中相似模型的基础应用，解题的核心是先通过同高三角形的面积关系得到两底的长度比，再结合平行“8”字型相似的性质求解，熟练掌握三角形面积相关规律和相似三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
2. ★★★(2025·本溪期中)如图,已知AB,CD,EF都与BD垂直,垂足分别是B,D,F,且AB=2,CD=5,那么EF的长是
$\frac{10}{7}$
.答案
2. $\frac{10}{7}$
解析
【分析】
首先观察到AB、CD、EF均与BD垂直，可推出三条直线互相平行，由此能得到两组相似三角形：△DEF∽△DAB、△BEF∽△BCD。根据相似三角形对应边成比例的性质，分别写出EF与AB、EF与CD的比例式，将两个比例式相加后，利用BF+DF=BD的线段和关系消去BD，即可得到只含EF的方程，代入已知数值求解即可。
【解析】
解：
∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，
∴AB//EF//CD，
∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{DF}{BD}$ ①，$\frac{EF}{CD}=\frac{BF}{BD}$ ②，
将①+②可得：$\frac{EF}{AB}+\frac{EF}{CD}=\frac{DF+BF}{BD}=\frac{BD}{BD}=1$，
把AB=2，CD=5代入上式得：$\frac{EF}{2}+\frac{EF}{5}=1$，
通分整理得：$5EF+2EF=10$，
解得：$EF=\frac{10}{7}$。
【答案】
$\frac{10}{7}$
【知识点】
相似三角形判定，相似三角形性质，比例运算
【点评】
本题是相似三角形的典型应用题型，核心是利用平行构造相似得到比例关系，通过比例求和建立等式求解，掌握该类“倒数和”相似模型可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6
首先观察到AB、CD、EF均与BD垂直，可推出三条直线互相平行，由此能得到两组相似三角形：△DEF∽△DAB、△BEF∽△BCD。根据相似三角形对应边成比例的性质，分别写出EF与AB、EF与CD的比例式，将两个比例式相加后，利用BF+DF=BD的线段和关系消去BD，即可得到只含EF的方程，代入已知数值求解即可。
【解析】
解：
∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，
∴AB//EF//CD，
∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{DF}{BD}$ ①，$\frac{EF}{CD}=\frac{BF}{BD}$ ②，
将①+②可得：$\frac{EF}{AB}+\frac{EF}{CD}=\frac{DF+BF}{BD}=\frac{BD}{BD}=1$，
把AB=2，CD=5代入上式得：$\frac{EF}{2}+\frac{EF}{5}=1$，
通分整理得：$5EF+2EF=10$，
解得：$EF=\frac{10}{7}$。
【答案】
$\frac{10}{7}$
【知识点】
相似三角形判定，相似三角形性质，比例运算
【点评】
本题是相似三角形的典型应用题型，核心是利用平行构造相似得到比例关系，通过比例求和建立等式求解，掌握该类“倒数和”相似模型可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6
3. 如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=120°，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连结AE分别交BD，CD于点F，G，则FG的长为
$\frac{4\sqrt{7}}{5}$
。答案
3. $\frac{4\sqrt{7}}{5}$
解析
【分析】首先利用菱形的性质得出CD边长、∠DCE的度数，在Rt△CDE中求出CE、DE的长度，再用勾股定理算出AE的总长；接着利用AD与BE平行构造的平行“8”字型相似△AFD∽△EFB，求出AF占AE的比例；再利用AD与CE平行构造的平行“8”字型相似△AGD∽△EGC，求出AG占AE的比例；最后通过FG=AG-AF计算出FG的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，边长为6，∠BAD=120°
∴AB=BC=CD=AD=6，AD//BE，∠BCD=∠BAD=120°
∴∠DCE=180°-120°=60°
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°
在Rt△CDE中，∠CDE=30°
∴$CE=\frac{1}{2}CD=3$，$DE=CD·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$
∴$BE=BC+CE=6+3=9$
过点A作AH⊥BE于H，易得AH=DE=$3\sqrt{3}$，$HE=BE-AB·\cos60°=9-3=6$
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AH^2+HE^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+6^2}=\sqrt{63}=3\sqrt{7}$
∵AD//BE，
∴∠FAD=∠FEB，∠FDA=∠FBE
∴△AFD∽△EFB
∴$\frac{AF}{FE}=\frac{AD}{BE}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，即$AF=\frac{2}{5}AE$
∵AD//CE，
∴∠GAD=∠GEC，∠GDA=∠GCE
∴△AGD∽△EGC
∴$\frac{AG}{GE}=\frac{AD}{CE}=\frac{6}{3}=2$，即$AG=\frac{2}{3}AE$
∴$FG=AG-AF=(\frac{2}{3}-\frac{2}{5})AE=\frac{4}{15}×3\sqrt{7}=\frac{4\sqrt{7}}{5}$
【答案】
$\frac{4\sqrt{7}}{5}$
【知识点】
菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是平行“8”字型相似的典型应用，需要结合菱形性质两次构造相似三角形得到线段比例关系，解题的关键是找准相似三角形的对应边比例，结合勾股定理求出总线段长即可求解。
【难度系数】
0.6
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，边长为6，∠BAD=120°
∴AB=BC=CD=AD=6，AD//BE，∠BCD=∠BAD=120°
∴∠DCE=180°-120°=60°
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°
在Rt△CDE中，∠CDE=30°
∴$CE=\frac{1}{2}CD=3$，$DE=CD·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$
∴$BE=BC+CE=6+3=9$
过点A作AH⊥BE于H，易得AH=DE=$3\sqrt{3}$，$HE=BE-AB·\cos60°=9-3=6$
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AH^2+HE^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+6^2}=\sqrt{63}=3\sqrt{7}$
∵AD//BE，
∴∠FAD=∠FEB，∠FDA=∠FBE
∴△AFD∽△EFB
∴$\frac{AF}{FE}=\frac{AD}{BE}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，即$AF=\frac{2}{5}AE$
∵AD//CE，
∴∠GAD=∠GEC，∠GDA=∠GCE
∴△AGD∽△EGC
∴$\frac{AG}{GE}=\frac{AD}{CE}=\frac{6}{3}=2$，即$AG=\frac{2}{3}AE$
∴$FG=AG-AF=(\frac{2}{3}-\frac{2}{5})AE=\frac{4}{15}×3\sqrt{7}=\frac{4\sqrt{7}}{5}$
【答案】
$\frac{4\sqrt{7}}{5}$
【知识点】
菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是平行“8”字型相似的典型应用，需要结合菱形性质两次构造相似三角形得到线段比例关系，解题的关键是找准相似三角形的对应边比例，结合勾股定理求出总线段长即可求解。
【难度系数】
0.6
