登录
4. 如图,在$△ ABC$中,点D,E分别在边AB,AC上,$DE// BC$,点F在边AB上,CF与DE相交于点G.若点E为AC的中点,求证:$2DF· EG=AF· DG$. 
答案
4. 延长CF至点H,使GH=CG,连结AH,由E为AC的中点,得DE//HA,HA=2GE,由HA//DG,得△HAF∽△GDF,得$\frac{HA}{DG}=\frac{AF}{DF}$,即HA·DF=DG·AF,由HA=2GE,得2GE·DF=DG·AF,即2DF·EG=AF·DG。
解析
【分析】
要证明乘积式$2DF·EG=AF·DG$，可先将其转化为比例式$\frac{AF}{DF}=\frac{2EG}{DG}$，只需找到和$2EG$相等的线段，再证明对应三角形相似即可。已知$E$是$AC$中点，可通过延长$CF$构造中位线：延长$CF$到$H$使$GH=CG$，此时$EG$是$△ ACH$的中位线，可得$AH=2EG$且$AH// DE$，进而得到$△ HAF∽△ GDF$，利用相似三角形对应边成比例，代入等量关系即可完成证明。
【解析】
证明：延长$CF$至点$H$，使$GH=CG$，连结$AH$。
∵点$E$为$AC$的中点，$GH=CG$，
∴$EG$是$△ ACH$的中位线，
∴$EG// AH$，且$AH=2EG$。
∵$AH// EG$，即$AH// DG$，
∴$∠ H=∠ DGF$，$∠ HAF=∠ GDF$，
∴$△ HAF ∽ △ GDF$，
∴$\frac{HA}{DG}=\frac{AF}{DF}$，即$HA·DF=AF·DG$。
将$HA=2EG$代入上式，得$2EG·DF=AF·DG$，即$2DF·EG=AF·DG$。
【答案】
延长CF至点H,使GH=CG,连结AH,由E为AC的中点,得DE//HA,HA=2GE,由HA//DG,得△HAF∽△GDF,得$\frac{HA}{DG}=\frac{AF}{DF}$,即HA·DF=DG·AF,由HA=2GE,得2GE·DF=DG·AF,即2DF·EG=AF·DG。
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形与三角形中位线的综合应用题，核心解题思路是通过构造辅助线得到中位线，将待证式中的两倍线段关系转化为等线段，再结合平行线得到相似三角形，利用相似的比例性质完成证明，解题关键是合理构造辅助线转化线段关系。
【难度系数】
0.6
要证明乘积式$2DF·EG=AF·DG$，可先将其转化为比例式$\frac{AF}{DF}=\frac{2EG}{DG}$，只需找到和$2EG$相等的线段，再证明对应三角形相似即可。已知$E$是$AC$中点，可通过延长$CF$构造中位线：延长$CF$到$H$使$GH=CG$，此时$EG$是$△ ACH$的中位线，可得$AH=2EG$且$AH// DE$，进而得到$△ HAF∽△ GDF$，利用相似三角形对应边成比例，代入等量关系即可完成证明。
【解析】
证明：延长$CF$至点$H$，使$GH=CG$，连结$AH$。
∵点$E$为$AC$的中点，$GH=CG$，
∴$EG$是$△ ACH$的中位线，
∴$EG// AH$，且$AH=2EG$。
∵$AH// EG$，即$AH// DG$，
∴$∠ H=∠ DGF$，$∠ HAF=∠ GDF$，
∴$△ HAF ∽ △ GDF$，
∴$\frac{HA}{DG}=\frac{AF}{DF}$，即$HA·DF=AF·DG$。
将$HA=2EG$代入上式，得$2EG·DF=AF·DG$，即$2DF·EG=AF·DG$。
【答案】
延长CF至点H,使GH=CG,连结AH,由E为AC的中点,得DE//HA,HA=2GE,由HA//DG,得△HAF∽△GDF,得$\frac{HA}{DG}=\frac{AF}{DF}$,即HA·DF=DG·AF,由HA=2GE,得2GE·DF=DG·AF,即2DF·EG=AF·DG。
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形与三角形中位线的综合应用题，核心解题思路是通过构造辅助线得到中位线，将待证式中的两倍线段关系转化为等线段，再结合平行线得到相似三角形，利用相似的比例性质完成证明，解题关键是合理构造辅助线转化线段关系。
【难度系数】
0.6
5. 如图,在$△ ABC$中,$BC=6$,$E$,$F$分别是$AB$,$AC$的中点,动点$P$在射线$EF$上,$BP$交$CE$于点$D$,$∠ CBP$的平分线交$CE$于点$Q$,当$CQ=\frac{1}{2}QE$时,求$EP+BP$的值.
答案
5. 延长BQ交射线EF于点M,如图所示,
∵E,F分别是AB,AC的中点,
∴EF//BC,
∴∠QME=∠CBM.
∵BQ是∠CBP的平分线,
∴∠PBM=∠CBM,
∴∠PBM=∠QME,
∴BP=PM,
∴EP+BP=EP+PM=EM.
∵CQ=$\frac{1}{2}QE$,
∴EQ=2CQ.
∵EF//BC,
∴△MEQ∽△BCQ,
∴$\frac{EM}{BC}=\frac{EQ}{CQ}=2$,
∴EM=2BC=2×6=12,即EP+BP=12。
解析
【分析】
求两条线段和的问题，可通过等量代换转化为求单条线段的长度。首先由E、F是AB、AC的中点，可得EF是△ABC的中位线，即EF//BC；结合BQ是∠CBP的平分线的条件，可延长BQ交射线EF于点M，利用平行线和角平分线的性质构造等腰三角形，将BP转化为PM，此时EP+BP就转化为EM的长度。再根据CQ与QE的比例关系，结合EF//BC得到的相似三角形，利用相似比即可求出EM的长度，进而得到EP+BP的值。
【解析】
延长BQ交射线EF于点M，如图所示，
∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF//BC，
∴∠QME=∠CBM（两直线平行，内错角相等）。
∵BQ是∠CBP的平分线，
∴∠PBM=∠CBM，
∴∠PBM=∠QME，
∴BP=PM（等角对等边），
∴EP+BP=EP+PM=EM。
∵CQ=$\frac{1}{2}QE$，
∴EQ=2CQ。
∵EF//BC，
∴△MEQ∽△BCQ（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{EM}{BC}=\frac{EQ}{CQ}=2$，
∴EM=2BC=2×6=12，即EP+BP=12。
【答案】
12
【知识点】
三角形中位线定理，等腰三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题考查了转化思想在几何计算中的应用，解题的关键是结合角平分线和平行线的性质构造等腰三角形，将所求线段和转化为单条线段，再借助相似三角形的比例关系求解，能有效锻炼逻辑推理和几何构造能力。
【难度系数】
0.6
求两条线段和的问题，可通过等量代换转化为求单条线段的长度。首先由E、F是AB、AC的中点，可得EF是△ABC的中位线，即EF//BC；结合BQ是∠CBP的平分线的条件，可延长BQ交射线EF于点M，利用平行线和角平分线的性质构造等腰三角形，将BP转化为PM，此时EP+BP就转化为EM的长度。再根据CQ与QE的比例关系，结合EF//BC得到的相似三角形，利用相似比即可求出EM的长度，进而得到EP+BP的值。
【解析】
延长BQ交射线EF于点M，如图所示，
∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF//BC，
∴∠QME=∠CBM（两直线平行，内错角相等）。
∵BQ是∠CBP的平分线，
∴∠PBM=∠CBM，
∴∠PBM=∠QME，
∴BP=PM（等角对等边），
∴EP+BP=EP+PM=EM。
∵CQ=$\frac{1}{2}QE$，
∴EQ=2CQ。
∵EF//BC，
∴△MEQ∽△BCQ（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{EM}{BC}=\frac{EQ}{CQ}=2$，
∴EM=2BC=2×6=12，即EP+BP=12。
【答案】
12
【知识点】
三角形中位线定理，等腰三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题考查了转化思想在几何计算中的应用，解题的关键是结合角平分线和平行线的性质构造等腰三角形，将所求线段和转化为单条线段，再借助相似三角形的比例关系求解，能有效锻炼逻辑推理和几何构造能力。
【难度系数】
0.6
6. 如图,在矩形ABCD中,E,F分别为边AB,AD的中点,BF与EC,ED分别交于点M,N.已知AB=4,BC=6,求MN的长. 
答案
6. 如图,过点E作EH//AD,交BF于点G,交CD于点H,由题意可知,EH//BC,
∴△BEG∽△BAF,
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{EG}{AF}=\frac{BG}{BF}$。
∵AB=4,BC=6,E为AB中点,F为AD中点,
∴BE=2,AF=3,
∴$\frac{2}{4}=\frac{EG}{3}$,
∴EG=$\frac{3}{2}$.
∵EH//BC//AD,
∴△EGN∽△DFN,△EGM∽△CBM,
∴$\frac{EG}{DF}=\frac{NG}{NF}=\frac{EN}{DN}$,$\frac{EG}{BC}=\frac{MG}{MB}=\frac{EM}{CM}$,
∴$\frac{\frac{3}{2}}{3}=\frac{NG}{NF}$,$\frac{\frac{3}{2}}{6}=\frac{MG}{MB}$,即$\frac{NG}{NF}=\frac{1}{2}$,$\frac{MG}{MB}=\frac{1}{4}$,
∴2NG=NF,4MG=MB。
∵E为AB中点,EH//BC,
∴G为BF中点,
∴BG=GF=$\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}\sqrt{AB^2+AF^2}=\frac{5}{2}$,
∴NG=$\frac{1}{3}GF=\frac{5}{6}$,MG=$\frac{1}{5}BG=\frac{1}{2}$,
∴MN=NG+MG=$\frac{4}{3}$。
解析
【分析】
本题为矩形背景下的线段长度求解问题，所求MN是线段BF上的一段，可通过构造相似三角形转化为比例问题求解。解题思路如下：首先过点E作AD的平行线，构造多组“平行8字型”相似三角形；再结合已知边长和中点条件，利用相似三角形对应边成比例的性质，求出相关线段的比例关系；最后通过勾股定理求出BF的总长，结合中点性质分别计算MN拆分出的两段长度，求和即可得到MN的长。
【解析】
解：过点E作$EH// AD$，交BF于点G，交CD于点H。
∵四边形ABCD是矩形，$\therefore AD// BC$，$\therefore EH// BC$，
$\therefore △ BEG ∽ △ BAF$，可得$\frac{BE}{AB}=\frac{EG}{AF}=\frac{BG}{BF}$。
已知$AB=4$，$BC=AD=6$，E为AB中点，F为AD中点，
$\therefore BE=\frac{1}{2}AB=2$，$AF=\frac{1}{2}AD=3$。
代入比例式得$\frac{2}{4}=\frac{EG}{3}$，解得$EG=\frac{3}{2}$。
$\because EH// BC// AD$，
$\therefore △ EGN ∽ △ DFN$，$△ EGM ∽ △ CBM$，
$\therefore \frac{EG}{DF}=\frac{NG}{NF}$，$\frac{EG}{BC}=\frac{MG}{MB}$。
$\because DF=AF=3$，$BC=6$，
$\therefore \frac{\frac{3}{2}}{3}=\frac{NG}{NF}$，$\frac{\frac{3}{2}}{6}=\frac{MG}{MB}$，即$\frac{NG}{NF}=\frac{1}{2}$，$\frac{MG}{MB}=\frac{1}{4}$，
可得$2NG=NF$，$4MG=MB$。
$\because E$为AB中点，$EH// AD$，$\therefore G$为BF中点，
在$Rt△ ABF$中，由勾股定理得$BF=\sqrt{AB^2+AF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
$\therefore BG=GF=\frac{1}{2}BF=\frac{5}{2}$。
由$\frac{NG}{NF}=\frac{1}{2}$得：$NG=\frac{1}{3}GF=\frac{1}{3}×\frac{5}{2}=\frac{5}{6}$，
由$\frac{MG}{MB}=\frac{1}{4}$得：$MG=\frac{1}{5}BG=\frac{1}{5}×\frac{5}{2}=\frac{1}{2}$，
$\therefore MN=NG+MG=\frac{5}{6}+\frac{1}{2}=\frac{4}{3}$。
【答案】
MN的长为$\frac{4}{3}$。
【知识点】
1.矩形的性质
2.相似三角形的判定与性质
3.勾股定理
【点评】
本题是相似三角形与矩形结合的典型习题，核心是通过作平行线构造“8字型”相似模型，将所求线段拆分后利用比例关系求解。解题时需准确识别相似三角形的对应边，理清比例关系，同时要注意结合中点和勾股定理计算基础线段的长度，对比例运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题为矩形背景下的线段长度求解问题，所求MN是线段BF上的一段，可通过构造相似三角形转化为比例问题求解。解题思路如下：首先过点E作AD的平行线，构造多组“平行8字型”相似三角形；再结合已知边长和中点条件，利用相似三角形对应边成比例的性质，求出相关线段的比例关系；最后通过勾股定理求出BF的总长，结合中点性质分别计算MN拆分出的两段长度，求和即可得到MN的长。
【解析】
解：过点E作$EH// AD$，交BF于点G，交CD于点H。
∵四边形ABCD是矩形，$\therefore AD// BC$，$\therefore EH// BC$，
$\therefore △ BEG ∽ △ BAF$，可得$\frac{BE}{AB}=\frac{EG}{AF}=\frac{BG}{BF}$。
已知$AB=4$，$BC=AD=6$，E为AB中点，F为AD中点，
$\therefore BE=\frac{1}{2}AB=2$，$AF=\frac{1}{2}AD=3$。
代入比例式得$\frac{2}{4}=\frac{EG}{3}$，解得$EG=\frac{3}{2}$。
$\because EH// BC// AD$，
$\therefore △ EGN ∽ △ DFN$，$△ EGM ∽ △ CBM$，
$\therefore \frac{EG}{DF}=\frac{NG}{NF}$，$\frac{EG}{BC}=\frac{MG}{MB}$。
$\because DF=AF=3$，$BC=6$，
$\therefore \frac{\frac{3}{2}}{3}=\frac{NG}{NF}$，$\frac{\frac{3}{2}}{6}=\frac{MG}{MB}$，即$\frac{NG}{NF}=\frac{1}{2}$，$\frac{MG}{MB}=\frac{1}{4}$，
可得$2NG=NF$，$4MG=MB$。
$\because E$为AB中点，$EH// AD$，$\therefore G$为BF中点，
在$Rt△ ABF$中，由勾股定理得$BF=\sqrt{AB^2+AF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
$\therefore BG=GF=\frac{1}{2}BF=\frac{5}{2}$。
由$\frac{NG}{NF}=\frac{1}{2}$得：$NG=\frac{1}{3}GF=\frac{1}{3}×\frac{5}{2}=\frac{5}{6}$，
由$\frac{MG}{MB}=\frac{1}{4}$得：$MG=\frac{1}{5}BG=\frac{1}{5}×\frac{5}{2}=\frac{1}{2}$，
$\therefore MN=NG+MG=\frac{5}{6}+\frac{1}{2}=\frac{4}{3}$。
【答案】
MN的长为$\frac{4}{3}$。
【知识点】
1.矩形的性质
2.相似三角形的判定与性质
3.勾股定理
【点评】
本题是相似三角形与矩形结合的典型习题，核心是通过作平行线构造“8字型”相似模型，将所求线段拆分后利用比例关系求解。解题时需准确识别相似三角形的对应边，理清比例关系，同时要注意结合中点和勾股定理计算基础线段的长度，对比例运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
