1. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C = 90°$，$∠ B = 53°26'47''$，用科学计算器求得 $\sin A \approx \_\_\_\_\_\_$，$\tan A \approx \_\_\_\_\_\_$。（结果精确到0.0001）

$\sin A\approx\boldsymbol{0.5956}$，$\tan A\approx\boldsymbol{0.7419}$。

【分析】
解题时首先结合直角三角形的内角性质推导∠A的度数：直角三角形中两个锐角互余，已知∠B的度数，用90°减去∠B即可得到∠A的度数；接下来将科学计算器调整为角度模式，输入∠A的度分秒数值，分别计算其正弦值、正切值，最终按要求精确到0.0001即可。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，
∴$∠A + ∠B = 90°$，
∴$∠A = 90° - ∠B = 90° - 53°26'47'' = 36°33'13''$。
将科学计算器切换为角度模式，输入$36°33'13''$计算对应三角函数值：
$\sin A = \sin36°33'13'' \approx 0.5956$，
$\tan A = \tan36°33'13'' \approx 0.7419$。
【答案】
$\sin A\approx\boldsymbol{0.5956}$，$\tan A\approx\boldsymbol{0.7419}$
【知识点】
直角三角形两锐角互余，三角函数值计算，科学计算器使用
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查直角三角形的性质和三角函数的基础计算，解题时要注意度分秒的换算规则，使用计算器前需确认处于角度模式，按要求保留小数位数即可。
【难度系数】
0.8

2.一架梯子斜靠在墙上，若梯子长10 m，梯子位于地面上的一端距离墙壁2.5 m，则梯子与地面所成锐角的度数为。（用科学计算器计算，结果精确到1′）

$\boldsymbol{75°31'}$

【分析】
首先明确梯子、墙面、地面构成直角三角形，梯子为斜边，梯子底端到墙的距离是所求锐角的邻边。解题时先根据锐角三角函数的余弦定义，求出该锐角的余弦值，再用计算器计算反余弦得到角度的小数形式，最后将小数部分的度换算为分，精确到1′即可。
【解析】
设梯子与地面所成的锐角为$α$，由题意可知梯子、墙面、地面围成直角三角形：
梯子长为斜边，长度为10m，梯子底端到墙壁的距离为$α$的邻边，长度为2.5m。
根据余弦的定义：$\cosα=\frac{邻边}{斜边}=\frac{2.5}{10}=0.25$
用科学计算器计算得：$α=\arccos0.25\approx75.5225°$
将小数部分换算为分：$0.5225×60'\approx31'$
因此$α\approx75°31'$
【答案】
$75°31'$
【知识点】
锐角三角函数定义，解直角三角形的应用，度分秒换算
【点评】
本题结合生活实际考查解直角三角形的相关知识，解题关键是明确直角三角形中各边与所求角的对应关系，正确选择三角函数计算，还要注意角度单位的换算规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.7

3.将$\sin 47°, \cos 53°, \tan 45°$用“＜”连接，结果为。

解：
由互余两角的三角函数关系，得$\cos53°=\sin(90°-53°)=\sin37°$。
∵ 在$0°∼90°$范围内，正弦值随角度的增大而增大，
∴ $\sin37°＜\sin47°$。
又∵ $\tan45°=1$，且锐角的正弦值恒小于1，
∴ $\sin47°＜1=\tan45°$。
∴ $\cos53°＜\sin47°＜\tan45°$。

【分析】
要比较三个不同类型锐角三角函数的大小，首先需要统一三角函数名称，利用互余两角的三角函数关系将余弦转化为正弦；再根据0°~90°范围内正弦函数的增减性，比较两个正弦值的大小；最后结合特殊角的三角函数值以及锐角正弦值的取值范围，和tan45°比较大小，即可得到最终排序。
【解析】
由互余两角的三角函数关系，得$\cos53°=\sin(90°-53°)=\sin37°$。
∵ 在$0°∼90°$范围内，正弦值随角度的增大而增大，
∴ $\sin37°＜\sin47°$。
又
∵ $\tan45°=1$，且锐角的正弦值恒小于1，
∴ $\sin47°＜1=\tan45°$。
∴ $\cos53°＜\sin47°＜\tan45°$。
【答案】
$\cos53°＜\sin47°＜\tan45°$
【知识点】
互余角的三角函数关系；锐角三角函数的增减性；特殊角的三角函数值
【点评】
本题考查锐角三角函数的大小比较，解题的核心是先通过三角函数的性质统一函数名称，再结合增减性、特殊角三角函数值逐步比较，属于基础题型，熟练掌握锐角三角函数的相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7

4.如图,已知墙高AB为6.5 m。将长为6 m的梯子CD斜靠在墙面上,梯子与地面所成的角∠BCD=55°,用计算器算得此时梯子的顶端与墙顶的距离AD约为(结果精确到0.1 m)。

$\boldsymbol{1.6\ \mathrm{m}}$

【分析】
首先观察图形可知$△ BCD$是直角三角形，要求$AD$的长度，已知总墙高$AB$，只需要先求出$BD$的长度即可。在$Rt△ BCD$中，已知斜边$CD$的长度和锐角$∠ BCD$的度数，要求$∠ BCD$的对边$BD$，根据正弦函数的定义：锐角的正弦等于对边与斜边的比值，即可列式求出$BD$，再用$AB$减去$BD$就能得到$AD$的长度。
【解析】
解：在$Rt△ BCD$中，$∠ CBD=90°$，$∠ BCD=55°$，$CD=6\ \mathrm{m}$。
根据正弦函数的定义：$\sin∠ BCD=\frac{BD}{CD}$，
可得$BD=CD·\sin55°$，
用计算器计算得$\sin55°\approx0.8192$，
因此$BD\approx6×0.8192\approx4.92\ \mathrm{m}$，
又已知$AB=6.5\ \mathrm{m}$，
所以$AD=AB-BD\approx6.5-4.92=1.58\approx1.6\ \mathrm{m}$。
【答案】
$1.6\ \mathrm{m}$
【知识点】
锐角三角函数的应用，解直角三角形
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类题目，解题的关键是结合图形找准直角三角形中的边角对应关系，选择合适的三角函数列式计算，计算时要注意结果需满足题目要求的精度。
【难度系数】
0.7

5.一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图如图所示。汽车靠墙一侧OB与墙MN平行，且距离为0.8 m，这辆小汽车的车门宽AO为1.2 m。当车门打开的角度$∠ AOB$为$40°$时，车门（填“会”或“不会”）碰到墙。
（参考数据：$\sin 40° \approx 0.64$，$\cos 40° \approx 0.77$，$\tan 40° \approx 0.84$）

不会

【分析】
要判断车门是否会碰到墙，需比较车门端点A到OB的垂直距离与OB到墙MN的距离0.8m的大小：若A到OB的垂直距离小于0.8m，说明车门端点A不会到达墙的位置，就不会碰到墙；反之则会碰到。我们可过点A作OB的垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求出该垂线段的长度，再与0.8m比较即可得出结论。
【解析】
过点A作AC⊥OB，垂足为C。
在Rt△AOC中，∠ACO=90°，∠AOC=40°，AO=1.2m，
根据正弦函数的定义，可得$AC = AO · \sin40°$，
代入数据计算：$AC \approx 1.2 × 0.64 = 0.768\mathrm{m}$。
已知OB与墙MN的距离为0.8m，由于$0.768\mathrm{m} ＜ 0.8\mathrm{m}$，因此车门不会碰到墙。
【答案】
不会
【知识点】
解直角三角形的应用，锐角三角函数的应用，点到直线的距离
【点评】
本题结合生活停车场景命题，将实际问题转化为解直角三角形的数学问题是解题的核心，需要学生正确理解题意，选择合适的三角函数进行计算，是一道贴近生活的基础应用题。
【难度系数】
0.8

6.已知$α,β$都是锐角，且$\cosβ+\sinα=1.4538,\cosβ-\sinα=0.2058$，求$∠α$和$∠β$的度数。(用科学计算器计算，结果精确到$1''$)

解：
将已知两式相加，得：
$2\cosβ = 1.4538 + 0.2058 = 1.6596$
解得：$\cosβ = 0.8298$
将已知两式相减，得：
$2\sinα = 1.4538 - 0.2058 = 1.248$
解得：$\sinα = 0.624$
∵ $α,β$都是锐角，使用科学计算器计算得：
$∠α \approx 38°37'13''$，$∠β \approx 33°56'40''$
答：$∠α$约为$38°37'13''$，$∠β$约为$33°56'40''$。

【分析】
本题给出了两个含$\cosβ$和$\sinα$的等式，可把$\cosβ$、$\sinα$看作两个未知数，利用加减消元法分别求出$\cosβ$和$\sinα$的值；再结合$α$、$β$都是锐角的条件，使用科学计算器反求对应的角度，最后按照度分秒的换算规则将结果精确到$1''$即可。
【解析】
将已知的两个等式相加，可得：
$2\cosβ = 1.4538 + 0.2058 = 1.6596$
解得：$\cosβ = 0.8298$
将已知的两个等式相减，可得：
$2\sinα = 1.4538 - 0.2058 = 1.248$
解得：$\sinα = 0.624$
已知$α$、$β$都是锐角，使用科学计算器计算三角函数对应的角度，将小数部分按$1°=60'$、$1'=60''$换算为分、秒，精确到$1''$可得结果。
【答案】
$∠α \approx 38°37'13''$，$∠β \approx 33°56'40''$
【知识点】
二元一次方程组求解；锐角三角函数；计算器求锐角角度
【点评】
本题将代数的方程组运算与三角函数计算结合，解题核心是先用加减消元法求出两个三角函数值，再结合锐角范围用计算器计算角度，计算时要注意度分秒的换算规则，避免换算误差。
【难度系数】
0.7

7.如图，甲楼在乙楼的左侧。从甲楼楼顶点E处看向乙楼的楼底C，视线与水平地面的夹角∠1＝45°；从乙楼楼顶点D处看向甲楼楼顶点Q处，视线与水平方向的夹角∠2＝27°。若两栋楼均与地面垂直，楼体水平宽度均为5 m，甲楼高15 m，求乙楼的高度。（参考数据：$\sin 27° \approx 0.45$，$\cos 27° \approx 0.89$，$\tan 27° \approx 0.51$）

解：
过点Q作QF⊥CD，垂足为F。
由题意可知：AB⊥AC，CD⊥AC，BE⊥AC，甲楼高AQ=15m，甲楼水平宽度AB=5m，∠1=45°，∠2=27°。
∵ 四边形ABEQ是矩形，
∴ BE=AQ=15m。
在Rt△EBC中，∠EBC=90°，∠ECB=∠1=45°，
∴ $BC=\frac{BE}{\tan45°}=\frac{15}{1}=15\ \mathrm{m}$。
∵ 四边形ACFQ是矩形，
∴ QF=AC=AB+BC=5+15=20m，CF=AQ=15m。
在Rt△DQF中，∠DQF=∠2=27°，
$\tan27°=\frac{DF}{QF}$，
∴ $DF=QF·\tan27°\approx20×0.51=10.2\ \mathrm{m}$。
∴ CD=CF+DF=15+10.2=25.2m。
答：乙楼的高度约为25.2m。

【分析】
这是一道解直角三角形的实际应用题，解题时先通过作辅助线构造矩形和直角三角形，把未知量拆分到可求解的图形中。第一步先利用∠1=45°的特殊角，在Rt△EBC中求出水平距离BC的长度；第二步结合甲楼的水平宽度算出两楼之间的总水平距离AC，也就是辅助线QF的长度；第三步在Rt△DQF中利用∠2的正切值求出DF的长度，最后将DF与CF（等于甲楼高度）相加即可得到乙楼的高度。
【解析】
过点Q作QF⊥CD，垂足为F。
由题意可知：AB⊥AC，CD⊥AC，BE⊥AC，甲楼高AQ=15m，甲楼水平宽度AB=5m，∠1＝45°，∠2＝27°。
∵ 四边形ABEQ是矩形，
∴ BE=AQ=15m。
在Rt△EBC中，∠EBC=90°，∠ECB=∠1=45°，
∴ $BC=\frac{BE}{\tan45°}=\frac{15}{1}=15\ \mathrm{m}$。
∵ 四边形ACFQ是矩形，
∴ QF=AC=AB+BC=5+15=20m，CF=AQ=15m。
在Rt△DQF中，∠DQF=∠2=27°，
$\tan27°=\frac{DF}{QF}$，
∴ $DF=QF·\tan27°\approx20×0.51=10.2\ \mathrm{m}$。
∴ CD=CF+DF=15+10.2=25.2m。
【答案】
乙楼的高度约为25.2m
【知识点】
解直角三角形的应用，矩形的性质，锐角三角函数
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用题，解题核心是通过作垂线将不规则图形拆分为熟悉的矩形和直角三角形，把实际场景中的条件对应到几何图形的边角关系中，再结合三角函数的定义即可顺利求解，能很好地考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7