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1.若$\tan(α - 30°)=1$，则锐角$α$的度数为。
答案
$\boldsymbol{75°}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆特殊角的三角函数值，我们知道正切值为1的锐角是45°；题目中给出$\tan(α - 30°)=1$，且$α$是锐角，说明$α-30°$的取值在合理范围内，正切值为1的角只能是45°，因此可以列出等式$α-30°=45°$，通过简单计算即可求出$α$的度数。
【解析】
解：
∵ 特殊角的三角函数值中，$\tan45°=1$，
又
∵ $\tan(α - 30°)=1$，且$α$为锐角，
∴ $α - 30°=45°$，
解得 $α=45°+30°=75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
特殊角的三角函数值，角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查对特殊角三角函数值的记忆与应用，熟记30°、45°、60°这几个常见特殊角的三角函数值，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题思路如下：首先回忆特殊角的三角函数值，我们知道正切值为1的锐角是45°；题目中给出$\tan(α - 30°)=1$，且$α$是锐角，说明$α-30°$的取值在合理范围内，正切值为1的角只能是45°，因此可以列出等式$α-30°=45°$，通过简单计算即可求出$α$的度数。
【解析】
解：
∵ 特殊角的三角函数值中，$\tan45°=1$，
又
∵ $\tan(α - 30°)=1$，且$α$为锐角，
∴ $α - 30°=45°$，
解得 $α=45°+30°=75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
特殊角的三角函数值，角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查对特殊角三角函数值的记忆与应用，熟记30°、45°、60°这几个常见特殊角的三角函数值，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 在$△ ABC$中，若$\left| \sin A - \dfrac{1}{2} \right| + ( \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \cos B )^2 = 0$，则$∠ C=$。
答案
$\boldsymbol{105°}$
解析
【分析】
本题解题的核心是利用非负数的性质：绝对值和偶次平方的结果均为非负数，两个非负数相加和为0时，每个非负数的值都为0，由此可得到关于sinA和cosB的等式，求出对应三角函数值后，结合三角形内角的取值范围确定∠A和∠B的度数，最后根据三角形内角和为180°计算∠C的度数即可。
【解析】
解：
∵ $\left| \sin A - \dfrac{1}{2} \right| ≥ 0$，$( \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \cos B )^2 ≥ 0$，且两者的和为0，
∴ $\begin{cases} \sin A - \dfrac{1}{2} = 0 \\ \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \cos B = 0 \end{cases}$
解得：$\sin A = \dfrac{1}{2}$，$\cos B = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
∵ ∠A、∠B是△ABC的内角，即$0° ＜ ∠ A ＜ 180°$，$0° ＜ ∠ B ＜ 180°$，
∴ 由$\cos B = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$可得$∠ B = 45°$，
由$\sin A = \dfrac{1}{2}$可得$∠ A = 30°$或$∠ A = 150°$，
若$∠ A = 150°$，则$∠ A + ∠ B = 150° + 45° = 195° ＞ 180°$，不符合三角形内角和定理，舍去，
∴ $∠ A = 30°$，
∴ $∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 30° - 45° = 105°$
【答案】
$105°$
【知识点】
非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是先利用非负数的性质得到三角函数等式，求角度时要注意结合三角形内角的取值范围，排除不符合实际的角度，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
本题解题的核心是利用非负数的性质：绝对值和偶次平方的结果均为非负数，两个非负数相加和为0时，每个非负数的值都为0，由此可得到关于sinA和cosB的等式，求出对应三角函数值后，结合三角形内角的取值范围确定∠A和∠B的度数，最后根据三角形内角和为180°计算∠C的度数即可。
【解析】
解：
∵ $\left| \sin A - \dfrac{1}{2} \right| ≥ 0$，$( \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \cos B )^2 ≥ 0$，且两者的和为0，
∴ $\begin{cases} \sin A - \dfrac{1}{2} = 0 \\ \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \cos B = 0 \end{cases}$
解得：$\sin A = \dfrac{1}{2}$，$\cos B = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
∵ ∠A、∠B是△ABC的内角，即$0° ＜ ∠ A ＜ 180°$，$0° ＜ ∠ B ＜ 180°$，
∴ 由$\cos B = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$可得$∠ B = 45°$，
由$\sin A = \dfrac{1}{2}$可得$∠ A = 30°$或$∠ A = 150°$，
若$∠ A = 150°$，则$∠ A + ∠ B = 150° + 45° = 195° ＞ 180°$，不符合三角形内角和定理，舍去，
∴ $∠ A = 30°$，
∴ $∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 30° - 45° = 105°$
【答案】
$105°$
【知识点】
非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是先利用非负数的性质得到三角函数等式，求角度时要注意结合三角形内角的取值范围，排除不符合实际的角度，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$。若$AB=2\sqrt{3}$，$\tan∠ ABC=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$AC$的长为。
答案
解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because \tan∠ ABC=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore$ 设$AC=x$，则$BC=\sqrt{3}x$。
由勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，代入$AB=2\sqrt{3}$得：
$x^2+(\sqrt{3}x)^2=(2\sqrt{3})^2$
化简得$4x^2=12$，即$x^2=3$。
$\because x＞0$，
$\therefore x=\sqrt{3}$，即$AC$的长为$\sqrt{3}$。
$\sqrt{3}$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because \tan∠ ABC=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore$ 设$AC=x$，则$BC=\sqrt{3}x$。
由勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，代入$AB=2\sqrt{3}$得：
$x^2+(\sqrt{3}x)^2=(2\sqrt{3})^2$
化简得$4x^2=12$，即$x^2=3$。
$\because x＞0$，
$\therefore x=\sqrt{3}$，即$AC$的长为$\sqrt{3}$。
$\sqrt{3}$
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的基础题，解题思路如下：第一步，根据直角三角形中正切函数的定义，$\tan∠ ABC$是$∠ ABC$的对边$AC$与邻边$BC$的比值，结合已知的$\tan$值可以得到$AC$和$BC$的长度比例关系；第二步，利用设参数的方法，把$AC$和$BC$用含同一个未知数的式子表示；第三步，结合直角三角形的勾股定理，代入已知的斜边$AB$的长度，列出关于未知数的方程；第四步，解方程并结合边长为正数的条件，取正根即可得到$AC$的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because \tan∠ ABC=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore$ 设$AC=x$，则$BC=\sqrt{3}x$，
由勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，代入$AB=2\sqrt{3}$得：
$x^2+(\sqrt{3}x)^2=(2\sqrt{3})^2$
化简得$4x^2=12$，即$x^2=3$，
$\because x$表示线段长度，$x＞0$，
$\therefore x=\sqrt{3}$，即$AC$的长为$\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
正切的定义；勾股定理；解直角三角形
【点评】
本题属于解直角三角形的常规基础题，核心考查锐角三角函数的定义和勾股定理的综合运用，通过设参数建立方程求解是这类题的常用解题思路，熟练掌握基础定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
这是一道解直角三角形的基础题，解题思路如下：第一步，根据直角三角形中正切函数的定义，$\tan∠ ABC$是$∠ ABC$的对边$AC$与邻边$BC$的比值，结合已知的$\tan$值可以得到$AC$和$BC$的长度比例关系；第二步，利用设参数的方法，把$AC$和$BC$用含同一个未知数的式子表示；第三步，结合直角三角形的勾股定理，代入已知的斜边$AB$的长度，列出关于未知数的方程；第四步，解方程并结合边长为正数的条件，取正根即可得到$AC$的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because \tan∠ ABC=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore$ 设$AC=x$，则$BC=\sqrt{3}x$，
由勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，代入$AB=2\sqrt{3}$得：
$x^2+(\sqrt{3}x)^2=(2\sqrt{3})^2$
化简得$4x^2=12$，即$x^2=3$，
$\because x$表示线段长度，$x＞0$，
$\therefore x=\sqrt{3}$，即$AC$的长为$\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
正切的定义；勾股定理；解直角三角形
【点评】
本题属于解直角三角形的常规基础题，核心考查锐角三角函数的定义和勾股定理的综合运用，通过设参数建立方程求解是这类题的常用解题思路，熟练掌握基础定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 已知对任意锐角α,β,均有$\sin(α+β)=\sinα·\cosβ+\cosα·\sinβ$,则$\sin75°=$。
答案
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$
解析
【分析】
题目给出了锐角正弦的和角公式，要求$\sin75°$的值，解题思路为：首先将$75°$拆分为两个熟记三角函数值的特殊锐角之和（如$30°+45°$），再将拆分后的角度代入题给的和角公式，代入对应特殊角的三角函数值，最后进行二次根式运算即可得到结果。
【解析】
将$75°$拆分为$30°+45°$，二者均为锐角，符合公式适用条件。
根据题给公式$\sin(α+β)=\sinα·\cosβ+\cosα·\sinβ$，令$α=30°$，$β=45°$，可得：
$\sin75°=\sin(30°+45°)=\sin30°\cos45°+\cos30°\sin45°$
代入特殊角的三角函数值：$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos45°=\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得：
$\begin{aligned}\sin75°&=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}\\&=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}}{4}\\&=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，和角正弦公式应用，二次根式运算
【点评】
本题属于新公式应用类基础题，解题关键是将非特殊角拆分为两个已知三角函数值的特殊角的和，核心考查对新公式的理解能力和特殊角三角函数值的记忆熟练度。
【难度系数】
0.8
题目给出了锐角正弦的和角公式，要求$\sin75°$的值，解题思路为：首先将$75°$拆分为两个熟记三角函数值的特殊锐角之和（如$30°+45°$），再将拆分后的角度代入题给的和角公式，代入对应特殊角的三角函数值，最后进行二次根式运算即可得到结果。
【解析】
将$75°$拆分为$30°+45°$，二者均为锐角，符合公式适用条件。
根据题给公式$\sin(α+β)=\sinα·\cosβ+\cosα·\sinβ$，令$α=30°$，$β=45°$，可得：
$\sin75°=\sin(30°+45°)=\sin30°\cos45°+\cos30°\sin45°$
代入特殊角的三角函数值：$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos45°=\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得：
$\begin{aligned}\sin75°&=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}\\&=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}}{4}\\&=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，和角正弦公式应用，二次根式运算
【点评】
本题属于新公式应用类基础题，解题关键是将非特殊角拆分为两个已知三角函数值的特殊角的和，核心考查对新公式的理解能力和特殊角三角函数值的记忆熟练度。
【难度系数】
0.8
5. 提升题 在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB与x轴交于点A(6,0)，与y轴交于点B(0,6)，点P在y轴上。若$∠ PAB=15°$，则OP的长为。
答案
解：
∵ A(6,0)，B(0,6)，
∴ OA=OB=6，
又∵ ∠AOB=90°，
∴ △AOB是等腰直角三角形，∠OAB=45°。
分两种情况讨论：
1. 当点P在点B的上方时，
∠OAP = ∠OAB + ∠PAB = 45°+15°=60°，
在Rt△AOP中，∠AOP=90°，
$\tan∠ OAP = \frac{OP}{OA}$，
∴ $OP = OA·\tan60° = 6×\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$。
2. 当点P在线段OB上时，
∠OAP = ∠OAB - ∠PAB = 45°-15°=30°，
在Rt△AOP中，∠AOP=90°，
$\tan∠ OAP = \frac{OP}{OA}$，
∴ $OP = OA·\tan30° = 6×\frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$。
综上，OP的长为$6\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}$。
∵ A(6,0)，B(0,6)，
∴ OA=OB=6，
又∵ ∠AOB=90°，
∴ △AOB是等腰直角三角形，∠OAB=45°。
分两种情况讨论：
1. 当点P在点B的上方时，
∠OAP = ∠OAB + ∠PAB = 45°+15°=60°，
在Rt△AOP中，∠AOP=90°，
$\tan∠ OAP = \frac{OP}{OA}$，
∴ $OP = OA·\tan60° = 6×\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$。
2. 当点P在线段OB上时，
∠OAP = ∠OAB - ∠PAB = 45°-15°=30°，
在Rt△AOP中，∠AOP=90°，
$\tan∠ OAP = \frac{OP}{OA}$，
∴ $OP = OA·\tan30° = 6×\frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$。
综上，OP的长为$6\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}$。
解析
【分析】
首先根据点A、B的坐标可得出OA=OB=6，结合∠AOB=90°，可判断△AOB是等腰直角三角形，得到∠OAB=45°。已知∠PAB=15°，点P在y轴上，需分两种情况讨论：①点P在点B的上方，②点P在线段OB上，分别计算出对应情况下∠OAP的度数，再在Rt△AOP中利用正切三角函数即可求出OP的长度，注意不要漏解。
【解析】
∵ A(6,0)，B(0,6)，
∴ OA=OB=6，
又
∵ ∠AOB=90°，
∴ △AOB是等腰直角三角形，∠OAB=45°。
分两种情况讨论：
1. 当点P在点B的上方时，
∠OAP = ∠OAB + ∠PAB = 45°+15°=60°，
在Rt△AOP中，∠AOP=90°，
$\tan∠ OAP = \frac{OP}{OA}$，
∴ $OP = OA·\tan60° = 6×\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$。
2. 当点P在线段OB上时，
∠OAP = ∠OAB - ∠PAB = 45°-15°=30°，
在Rt△AOP中，∠AOP=90°，
$\tan∠ OAP = \frac{OP}{OA}$，
∴ $OP = OA·\tan30° = 6×\frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$。
综上，OP的长为$6\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}$
【知识点】
1. 等腰直角三角形的性质 2. 锐角三角函数的应用 3. 分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是明确点P的位置存在两种情况，避免漏解，同时需要熟练掌握等腰直角三角形的性质和锐角三角函数的计算，较好地考查了思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
首先根据点A、B的坐标可得出OA=OB=6，结合∠AOB=90°，可判断△AOB是等腰直角三角形，得到∠OAB=45°。已知∠PAB=15°，点P在y轴上，需分两种情况讨论：①点P在点B的上方，②点P在线段OB上，分别计算出对应情况下∠OAP的度数，再在Rt△AOP中利用正切三角函数即可求出OP的长度，注意不要漏解。
【解析】
∵ A(6,0)，B(0,6)，
∴ OA=OB=6，
又
∵ ∠AOB=90°，
∴ △AOB是等腰直角三角形，∠OAB=45°。
分两种情况讨论：
1. 当点P在点B的上方时，
∠OAP = ∠OAB + ∠PAB = 45°+15°=60°，
在Rt△AOP中，∠AOP=90°，
$\tan∠ OAP = \frac{OP}{OA}$，
∴ $OP = OA·\tan60° = 6×\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$。
2. 当点P在线段OB上时，
∠OAP = ∠OAB - ∠PAB = 45°-15°=30°，
在Rt△AOP中，∠AOP=90°，
$\tan∠ OAP = \frac{OP}{OA}$，
∴ $OP = OA·\tan30° = 6×\frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$。
综上，OP的长为$6\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}$
【知识点】
1. 等腰直角三角形的性质 2. 锐角三角函数的应用 3. 分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是明确点P的位置存在两种情况，避免漏解，同时需要熟练掌握等腰直角三角形的性质和锐角三角函数的计算，较好地考查了思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
6. 计算：
(1)$2\cos 30° + \sin^2 45° - \tan 60° · \tan 45°$；
(2)$\sqrt{(\tan 30° - 1)^2} - \sqrt{2} \cos 45° + \frac{2}{3}\sin 60°$。
(1)$2\cos 30° + \sin^2 45° - \tan 60° · \tan 45°$；
(2)$\sqrt{(\tan 30° - 1)^2} - \sqrt{2} \cos 45° + \frac{2}{3}\sin 60°$。
答案
解：
(1) 代入特殊角的三角函数值：$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\tan45°=1$
$\begin{aligned}原式&=2×\frac{\sqrt{3}}{2}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2-\sqrt{3}×1\\&=\sqrt{3}+\frac{1}{2}-\sqrt{3}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
(2) 由$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}＜1$，得$\sqrt{(\tan30°-1)^2}=|\tan30°-1|=1-\tan30°$，代入$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\begin{aligned}原式&=1-\tan30°-\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=1-\frac{\sqrt{3}}{3}-1+\frac{\sqrt{3}}{3}\\&=0\end{aligned}$
(1) 代入特殊角的三角函数值：$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\tan45°=1$
$\begin{aligned}原式&=2×\frac{\sqrt{3}}{2}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2-\sqrt{3}×1\\&=\sqrt{3}+\frac{1}{2}-\sqrt{3}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
(2) 由$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}＜1$，得$\sqrt{(\tan30°-1)^2}=|\tan30°-1|=1-\tan30°$，代入$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\begin{aligned}原式&=1-\tan30°-\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=1-\frac{\sqrt{3}}{3}-1+\frac{\sqrt{3}}{3}\\&=0\end{aligned}$
解析
【分析】
这两道题均为特殊角三角函数的混合运算题，解题思路如下：①首先要准确牢记30°、45°、60°的正弦、余弦、正切函数值；②第(1)题直接将对应三角函数值代入原式，按照先乘方、再乘除、最后加减的顺序计算即可；③第(2)题需先利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，结合$\tan30°＜1$的特点去掉绝对值和根号，再代入特殊角的三角函数值，按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 先写出各特殊角的三角函数值：$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\tan45°=1$，代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2×\frac{\sqrt{3}}{2}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2-\sqrt{3}×1\\&=\sqrt{3}+\frac{1}{2}-\sqrt{3}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
(2) 先化简二次根式：因为$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}＜1$，所以$\sqrt{(\tan30°-1)^2}=|\tan30°-1|=1-\tan30°$，再代入$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$计算：
$\begin{aligned}原式&=1-\tan30°-\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=1-\frac{\sqrt{3}}{3}-1+\frac{\sqrt{3}}{3}\\&=0\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) $0$
【知识点】
特殊角的三角函数值；二次根式的化简；实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是对特殊角三角函数值的准确记忆，需注意二次根式开方后结果为非负数，因此要先判断绝对值内代数式的正负再去绝对值符号，运算时遵循实数混合运算顺序即可。
【难度系数】
0.7
这两道题均为特殊角三角函数的混合运算题，解题思路如下：①首先要准确牢记30°、45°、60°的正弦、余弦、正切函数值；②第(1)题直接将对应三角函数值代入原式，按照先乘方、再乘除、最后加减的顺序计算即可；③第(2)题需先利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，结合$\tan30°＜1$的特点去掉绝对值和根号，再代入特殊角的三角函数值，按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 先写出各特殊角的三角函数值：$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\tan45°=1$，代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2×\frac{\sqrt{3}}{2}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2-\sqrt{3}×1\\&=\sqrt{3}+\frac{1}{2}-\sqrt{3}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
(2) 先化简二次根式：因为$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}＜1$，所以$\sqrt{(\tan30°-1)^2}=|\tan30°-1|=1-\tan30°$，再代入$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$计算：
$\begin{aligned}原式&=1-\tan30°-\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=1-\frac{\sqrt{3}}{3}-1+\frac{\sqrt{3}}{3}\\&=0\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) $0$
【知识点】
特殊角的三角函数值；二次根式的化简；实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是对特殊角三角函数值的准确记忆，需注意二次根式开方后结果为非负数，因此要先判断绝对值内代数式的正负再去绝对值符号，运算时遵循实数混合运算顺序即可。
【难度系数】
0.7
7. 如图，在$△ ABC$中，$AB = 6$，$∠ B = 60°$，$\tan C = \dfrac{3}{2}$，求$BC$的长。
答案
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=60°，AB=6，
∴ $BD = AB·\cos60° = 6×\frac{1}{2} = 3$，
$AD = AB·\sin60° = 6×\frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$。
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，$\tan C = \frac{AD}{CD} = \frac{3}{2}$，
∴ $CD = \frac{2}{3}AD = \frac{2}{3}×3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$。
∴ $BC = BD + CD = 3 + 2\sqrt{3}$。
答：BC的长为$3+2\sqrt{3}$。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=60°，AB=6，
∴ $BD = AB·\cos60° = 6×\frac{1}{2} = 3$，
$AD = AB·\sin60° = 6×\frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$。
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，$\tan C = \frac{AD}{CD} = \frac{3}{2}$，
∴ $CD = \frac{2}{3}AD = \frac{2}{3}×3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$。
∴ $BC = BD + CD = 3 + 2\sqrt{3}$。
答：BC的长为$3+2\sqrt{3}$。
解析
【分析】
要求BC的长度，首先观察到△ABC是斜三角形，没有直接可用的直角，因此考虑通过作高构造直角三角形，借助锐角三角函数求解。首先过点A作AD⊥BC于D，将△ABC拆分为Rt△ABD和Rt△ACD两个直角三角形：第一步在Rt△ABD中，已知∠B=60°、AB=6，可利用余弦、正弦函数分别求出BD、AD的长度；第二步在Rt△ACD中，已知tanC的值和已求出的AD长度，利用正切的定义求出CD的长度；最后BC的长度为BD与CD的和，相加即可得到最终结果。
【解析】
过点A作AD⊥BC，垂足为D。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=60°，AB=6，
∴ $BD = AB·\cos60° = 6×\frac{1}{2} = 3$，
$AD = AB·\sin60° = 6×\frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$。
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，$\tan C = \frac{AD}{CD} = \frac{3}{2}$，
∴ $CD = \frac{2}{3}AD = \frac{2}{3}×3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$。
∴ $BC = BD + CD = 3 + 2\sqrt{3}$。
【答案】
$3+2\sqrt{3}$
【知识点】
1. 解直角三角形
2. 锐角三角函数定义
【点评】
本题是解三角形的基础常规题，解题核心是通过作高将非直角三角形转化为直角三角形，再结合锐角三角函数的定义计算对应线段长度，体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.7
要求BC的长度，首先观察到△ABC是斜三角形，没有直接可用的直角，因此考虑通过作高构造直角三角形，借助锐角三角函数求解。首先过点A作AD⊥BC于D，将△ABC拆分为Rt△ABD和Rt△ACD两个直角三角形：第一步在Rt△ABD中，已知∠B=60°、AB=6，可利用余弦、正弦函数分别求出BD、AD的长度；第二步在Rt△ACD中，已知tanC的值和已求出的AD长度，利用正切的定义求出CD的长度；最后BC的长度为BD与CD的和，相加即可得到最终结果。
【解析】
过点A作AD⊥BC，垂足为D。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=60°，AB=6，
∴ $BD = AB·\cos60° = 6×\frac{1}{2} = 3$，
$AD = AB·\sin60° = 6×\frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$。
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，$\tan C = \frac{AD}{CD} = \frac{3}{2}$，
∴ $CD = \frac{2}{3}AD = \frac{2}{3}×3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$。
∴ $BC = BD + CD = 3 + 2\sqrt{3}$。
【答案】
$3+2\sqrt{3}$
【知识点】
1. 解直角三角形
2. 锐角三角函数定义
【点评】
本题是解三角形的基础常规题，解题核心是通过作高将非直角三角形转化为直角三角形，再结合锐角三角函数的定义计算对应线段长度，体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.7
8. 提升题 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上。若AB=2，∠CBO=60°，求点A，D的坐标。
答案
解：
过点A作AE⊥x轴于点E。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC=2，∠ABC=90°。
在Rt△BOC中，∠BOC=90°，∠CBO=60°，BC=2，
∴ $OB = BC·\cos60° = 2×\frac{1}{2} = 1$，
$OC = BC·\sin60° = 2×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$，
∴ 点B坐标为$(-1, 0)$，点C坐标为$(0, \sqrt{3})$。
∵ $∠ ABE = 180° - ∠ ABC - ∠ CBO = 180° - 90° - 60° = 30°$，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=2，
∴ $AE = AB·\sin30° = 2×\frac{1}{2} = 1$，
$BE = AB·\cos30° = 2×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$，
∴ $OE = OB + BE = 1 + \sqrt{3}$，
∵ 点A在第二象限，
∴ 点A的横坐标为$-OE = -\sqrt{3}-1$，纵坐标为$AE=1$，
即$A(-\sqrt{3}-1,\ 1)$。
过点D作DF⊥y轴于点F，
∵ $∠ DCF + ∠ BCO = 90°$，$∠ CBO + ∠ BCO = 90°$，
∴ $∠ DCF = ∠ CBO = 60°$，
在Rt△DCF中，∠DFC=90°，CD=2，
∴ $DF = CD·\sin60° = 2×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$，
$CF = CD·\cos60° = 2×\frac{1}{2} = 1$，
∴ $OF = OC + CF = \sqrt{3} + 1$，
∵ 点D在第二象限，
∴ 点D的横坐标为$-DF = -\sqrt{3}$，纵坐标为$OF=\sqrt{3}+1$，
即$D(-\sqrt{3},\ \sqrt{3}+1)$。
答：点A的坐标为$(-\sqrt{3}-1,1)$，点D的坐标为$(-\sqrt{3},\sqrt{3}+1)$。
过点A作AE⊥x轴于点E。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC=2，∠ABC=90°。
在Rt△BOC中，∠BOC=90°，∠CBO=60°，BC=2，
∴ $OB = BC·\cos60° = 2×\frac{1}{2} = 1$，
$OC = BC·\sin60° = 2×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$，
∴ 点B坐标为$(-1, 0)$，点C坐标为$(0, \sqrt{3})$。
∵ $∠ ABE = 180° - ∠ ABC - ∠ CBO = 180° - 90° - 60° = 30°$，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=2，
∴ $AE = AB·\sin30° = 2×\frac{1}{2} = 1$，
$BE = AB·\cos30° = 2×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$，
∴ $OE = OB + BE = 1 + \sqrt{3}$，
∵ 点A在第二象限，
∴ 点A的横坐标为$-OE = -\sqrt{3}-1$，纵坐标为$AE=1$，
即$A(-\sqrt{3}-1,\ 1)$。
过点D作DF⊥y轴于点F，
∵ $∠ DCF + ∠ BCO = 90°$，$∠ CBO + ∠ BCO = 90°$，
∴ $∠ DCF = ∠ CBO = 60°$，
在Rt△DCF中，∠DFC=90°，CD=2，
∴ $DF = CD·\sin60° = 2×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$，
$CF = CD·\cos60° = 2×\frac{1}{2} = 1$，
∴ $OF = OC + CF = \sqrt{3} + 1$，
∵ 点D在第二象限，
∴ 点D的横坐标为$-DF = -\sqrt{3}$，纵坐标为$OF=\sqrt{3}+1$，
即$D(-\sqrt{3},\ \sqrt{3}+1)$。
答：点A的坐标为$(-\sqrt{3}-1,1)$，点D的坐标为$(-\sqrt{3},\sqrt{3}+1)$。
解析
【分析】
要解决本题，首先利用正方形的性质得到边长相等、内角为直角，先从已知的Rt△BOC出发，通过特殊角的三角函数值求出OB、OC的长度，确定点B、C的坐标；再通过作辅助线构造包含点A、D的直角三角形，求出对应直角边的长度，最后结合点所在的第二象限的坐标符号特征，即可得到A、D的坐标。
【解析】
过点A作AE⊥x轴于点E。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC=2，∠ABC=90°。
在Rt△BOC中，∠BOC=90°，∠CBO=60°，BC=2，
∴ $OB = BC·\cos60° = 2×\frac{1}{2} = 1$，
$OC = BC·\sin60° = 2×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$，
∵点B在x轴负半轴，点C在y轴正半轴，
∴ 点B坐标为$(-1, 0)$，点C坐标为$(0, \sqrt{3})$。
∵ $∠ ABE = 180° - ∠ ABC - ∠ CBO = 180° - 90° - 60° = 30°$，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=2，
∴ $AE = AB·\sin30° = 2×\frac{1}{2} = 1$，
$BE = AB·\cos30° = 2×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$，
∴ $OE = OB + BE = 1 + \sqrt{3}$，
∵ 点A在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，
∴ 点A的横坐标为$-(1+\sqrt{3}) = -\sqrt{3}-1$，纵坐标为$AE=1$，
即$A(-\sqrt{3}-1,\ 1)$。
过点D作DF⊥y轴于点F，
∵ $∠ DCF + ∠ BCO = 90°$，$∠ CBO + ∠ BCO = 90°$，
∴ $∠ DCF = ∠ CBO = 60°$，
在Rt△DCF中，∠DFC=90°，CD=2，
∴ $DF = CD·\sin60° = 2×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$，
$CF = CD·\cos60° = 2×\frac{1}{2} = 1$，
∴ $OF = OC + CF = \sqrt{3} + 1$，
∵ 点D在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，
∴ 点D的横坐标为$-DF = -\sqrt{3}$，纵坐标为$OF=\sqrt{3}+1$，
即$D(-\sqrt{3},\ \sqrt{3}+1)$。
【答案】
点A的坐标为$\boldsymbol{(-\sqrt{3}-1,1)}$，点D的坐标为$\boldsymbol{(-\sqrt{3},\sqrt{3}+1)}$
【知识点】
正方形的性质；解直角三角形；平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何结合的典型题型，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形，结合特殊角的三角函数值求出相关线段的长度，同时要注意根据点所在象限准确判断坐标的符号。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先利用正方形的性质得到边长相等、内角为直角，先从已知的Rt△BOC出发，通过特殊角的三角函数值求出OB、OC的长度，确定点B、C的坐标；再通过作辅助线构造包含点A、D的直角三角形，求出对应直角边的长度，最后结合点所在的第二象限的坐标符号特征，即可得到A、D的坐标。
【解析】
过点A作AE⊥x轴于点E。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC=2，∠ABC=90°。
在Rt△BOC中，∠BOC=90°，∠CBO=60°，BC=2，
∴ $OB = BC·\cos60° = 2×\frac{1}{2} = 1$，
$OC = BC·\sin60° = 2×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$，
∵点B在x轴负半轴，点C在y轴正半轴，
∴ 点B坐标为$(-1, 0)$，点C坐标为$(0, \sqrt{3})$。
∵ $∠ ABE = 180° - ∠ ABC - ∠ CBO = 180° - 90° - 60° = 30°$，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=2，
∴ $AE = AB·\sin30° = 2×\frac{1}{2} = 1$，
$BE = AB·\cos30° = 2×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$，
∴ $OE = OB + BE = 1 + \sqrt{3}$，
∵ 点A在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，
∴ 点A的横坐标为$-(1+\sqrt{3}) = -\sqrt{3}-1$，纵坐标为$AE=1$，
即$A(-\sqrt{3}-1,\ 1)$。
过点D作DF⊥y轴于点F，
∵ $∠ DCF + ∠ BCO = 90°$，$∠ CBO + ∠ BCO = 90°$，
∴ $∠ DCF = ∠ CBO = 60°$，
在Rt△DCF中，∠DFC=90°，CD=2，
∴ $DF = CD·\sin60° = 2×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$，
$CF = CD·\cos60° = 2×\frac{1}{2} = 1$，
∴ $OF = OC + CF = \sqrt{3} + 1$，
∵ 点D在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，
∴ 点D的横坐标为$-DF = -\sqrt{3}$，纵坐标为$OF=\sqrt{3}+1$，
即$D(-\sqrt{3},\ \sqrt{3}+1)$。
【答案】
点A的坐标为$\boldsymbol{(-\sqrt{3}-1,1)}$，点D的坐标为$\boldsymbol{(-\sqrt{3},\sqrt{3}+1)}$
【知识点】
正方形的性质；解直角三角形；平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何结合的典型题型，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形，结合特殊角的三角函数值求出相关线段的长度，同时要注意根据点所在象限准确判断坐标的符号。
【难度系数】
0.6
