登录
【例】多项式$ma^2 - mb^2$的公因式是（
A.$m$
B.$m^2$
C.$ma$
D.$mb$
【点拨】根据公因式的定义确定即可。
A
）A.$m$
B.$m^2$
C.$ma$
D.$mb$
【点拨】根据公因式的定义确定即可。
答案
A
解析
【分析】
要确定多项式的公因式，需按照公因式的确定规则分步推导：首先明确公因式是多项式各项都含有的公共因式，确定时先找各项共有的数字因数或字母因式，再对相同字母取最低次幂。本题先拆分多项式的两项，排查公共因式即可：两项分别为$ma^2$和$-mb^2$，仅字母$m$是两项都含有的因式，$a$、$b$分别是两项独有的字母，因此公因式为$m$。
【解析】
多项式$ma^2 - mb^2$包含两项：$ma^2$和$-mb^2$。
对两项因式分解可得：
$ma^2 = m × a^2$，
$-mb^2 = m × (-b^2)$，
可见两项唯一共有的公共因式是$m$，因此该多项式的公因式为$m$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的定义；提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解模块的基础题型，主要考查公因式的确定方法，熟练掌握公因式的判定规则即可快速得分，是后续学习复杂因式分解方法的基础。
【难度系数】
0.9
要确定多项式的公因式，需按照公因式的确定规则分步推导：首先明确公因式是多项式各项都含有的公共因式，确定时先找各项共有的数字因数或字母因式，再对相同字母取最低次幂。本题先拆分多项式的两项，排查公共因式即可：两项分别为$ma^2$和$-mb^2$，仅字母$m$是两项都含有的因式，$a$、$b$分别是两项独有的字母，因此公因式为$m$。
【解析】
多项式$ma^2 - mb^2$包含两项：$ma^2$和$-mb^2$。
对两项因式分解可得：
$ma^2 = m × a^2$，
$-mb^2 = m × (-b^2)$，
可见两项唯一共有的公共因式是$m$，因此该多项式的公因式为$m$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的定义；提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解模块的基础题型，主要考查公因式的确定方法，熟练掌握公因式的判定规则即可快速得分，是后续学习复杂因式分解方法的基础。
【难度系数】
0.9
1. 下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（
A.$x^2 - 2x + 1 = x(x - 2) + 1$
B.$12x^4y^4 = 3x^3y · 4xy^2$
C.$(x + 2)(x - 2) = x^2 - 4$
D.$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$
D
）A.$x^2 - 2x + 1 = x(x - 2) + 1$
B.$12x^4y^4 = 3x^3y · 4xy^2$
C.$(x + 2)(x - 2) = x^2 - 4$
D.$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断一个变形是不是因式分解，首先要牢记因式分解的三个判定依据：①变形的对象是多项式；②变形后的结果是几个整式的乘积形式；③变形是恒等变形，左右两边相等。解题时我们带着这三个依据逐一排查每个选项即可。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
对各选项逐一分析：
选项A：等号右边是$x(x-2)+1$，是整式乘积与常数的和，不是几个整式的积的形式，不符合因式分解的要求，故A错误；
选项B：等号左边的$12x^4y^4$是单项式，不是多项式，不属于因式分解的变形对象，故B错误；
选项C：等号左边是两个整式的积，右边是多项式，这是整式的乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，故C错误；
选项D：等号左边$x^2-6x+9$是多项式，右边$(x-3)^2$是两个相同整式的乘积形式，且左右两边恒等，完全符合因式分解的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义、整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是准确把握因式分解的定义特征，做题时要注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免将二者混淆。
【难度系数】
0.8
要判断一个变形是不是因式分解，首先要牢记因式分解的三个判定依据：①变形的对象是多项式；②变形后的结果是几个整式的乘积形式；③变形是恒等变形，左右两边相等。解题时我们带着这三个依据逐一排查每个选项即可。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
对各选项逐一分析：
选项A：等号右边是$x(x-2)+1$，是整式乘积与常数的和，不是几个整式的积的形式，不符合因式分解的要求，故A错误；
选项B：等号左边的$12x^4y^4$是单项式，不是多项式，不属于因式分解的变形对象，故B错误；
选项C：等号左边是两个整式的积，右边是多项式，这是整式的乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，故C错误；
选项D：等号左边$x^2-6x+9$是多项式，右边$(x-3)^2$是两个相同整式的乘积形式，且左右两边恒等，完全符合因式分解的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义、整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是准确把握因式分解的定义特征，做题时要注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免将二者混淆。
【难度系数】
0.8
2. 下列多项式中，可以提取公因式的是（
A.$x^2 - y^2$
B.$x^2 + x$
C.$x^2 - y$
D.$x^2 + 2xy + y^2$
B
）A.$x^2 - y^2$
B.$x^2 + x$
C.$x^2 - y$
D.$x^2 + 2xy + y^2$
答案
2. B
解析
【分析】
本题考查提公因式法分解因式的识别，解题核心是明确公因式的定义：多项式中每一项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。我们只需逐个判断四个选项中的多项式各项是否存在公共的因式即可，注意区分提公因式法和公式法分解因式的不同适用场景。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 多项式$x^2 - y^2$的两项为$x^2$和$-y^2$，没有共同含有的因式，不可提取公因式，可通过平方差公式分解，不符合题意；
B. 多项式$x^2 + x$的两项为$x^2$和$x$，两项均含有公因式$x$，可提取公因式$x$得到$x(x+1)$，符合题意；
C. 多项式$x^2 - y$的两项为$x^2$和$-y$，没有共同含有的因式，不可提取公因式，不符合题意；
D. 多项式$x^2 + 2xy + y^2$的三项没有共同含有的因式，不可提取公因式，可通过完全平方公式分解，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的识别
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对提公因式法适用条件的理解，熟练掌握公因式的判断方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查提公因式法分解因式的识别，解题核心是明确公因式的定义：多项式中每一项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。我们只需逐个判断四个选项中的多项式各项是否存在公共的因式即可，注意区分提公因式法和公式法分解因式的不同适用场景。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 多项式$x^2 - y^2$的两项为$x^2$和$-y^2$，没有共同含有的因式，不可提取公因式，可通过平方差公式分解，不符合题意；
B. 多项式$x^2 + x$的两项为$x^2$和$x$，两项均含有公因式$x$，可提取公因式$x$得到$x(x+1)$，符合题意；
C. 多项式$x^2 - y$的两项为$x^2$和$-y$，没有共同含有的因式，不可提取公因式，不符合题意；
D. 多项式$x^2 + 2xy + y^2$的三项没有共同含有的因式，不可提取公因式，可通过完全平方公式分解，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的识别
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对提公因式法适用条件的理解，熟练掌握公因式的判断方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 多项式$6ab^2 - cb$的公因式是（
A.$b$
B.$ab$
C.$b^2$
D.$c$
A
）A.$b$
B.$ab$
C.$b^2$
D.$c$
答案
3. A
解析
【分析】
要确定多项式的公因式，需按照找公因式的三步法思考：第一步找各项系数的最大公约数；第二步找各项都含有的相同字母；第三步取相同字母的最低次幂，三者的乘积就是公因式。先拆分多项式的两项为$6ab^2$和$-cb$，再按上述步骤逐一排查即可。
【解析】
多项式$6ab^2 - cb$共有两项，分别为$6ab^2$和$-cb$：
1. 看系数：两项系数分别为6和-1，最大公约数是1；
2. 找相同字母：第一项含字母a、b，第二项含字母c、b，两项共有的字母只有b；
3. 取最低次幂：字母b在第一项的次数是2，在第二项的次数是1，取最低次1次。
因此公因式为$1× b^1 = b$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定；提公因式法分解因式
【点评】
本题是公因式确定的基础题型，核心考查找公因式的方法，解题时需注意只有所有项都含有的字母才能纳入公因式，相同字母的次数要取所有项里的最低次，熟练掌握规则就能快速得分。
【难度系数】
0.9
要确定多项式的公因式，需按照找公因式的三步法思考：第一步找各项系数的最大公约数；第二步找各项都含有的相同字母；第三步取相同字母的最低次幂，三者的乘积就是公因式。先拆分多项式的两项为$6ab^2$和$-cb$，再按上述步骤逐一排查即可。
【解析】
多项式$6ab^2 - cb$共有两项，分别为$6ab^2$和$-cb$：
1. 看系数：两项系数分别为6和-1，最大公约数是1；
2. 找相同字母：第一项含字母a、b，第二项含字母c、b，两项共有的字母只有b；
3. 取最低次幂：字母b在第一项的次数是2，在第二项的次数是1，取最低次1次。
因此公因式为$1× b^1 = b$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定；提公因式法分解因式
【点评】
本题是公因式确定的基础题型，核心考查找公因式的方法，解题时需注意只有所有项都含有的字母才能纳入公因式，相同字母的次数要取所有项里的最低次，熟练掌握规则就能快速得分。
【难度系数】
0.9
4. 求下列各多项式的公因式.
（1）$3x+6y$的公因式是
（2）$a^2 - a^3$的公因式是
（1）$3x+6y$的公因式是
3
；（2）$a^2 - a^3$的公因式是
$a^2$
.答案
4. (1) 3 (2) $a^2$
解析
【分析】
找多项式的公因式需要遵循两个固定步骤：①先确定各项系数的最大公约数；②再找各项都含有的相同字母（或整式），取相同字母的最低次幂，最终将两部分的乘积作为公因式即可。
【解析】
（1）对于多项式$3x+6y$：
系数部分：3和6的最大公约数是3；
字母部分：两项分别只含$x$、$y$，无共同含有的字母，不存在公共字母因式；
因此该多项式的公因式是3。
（2）对于多项式$a^2 - a^3$：
系数部分：1和-1的最大公约数是1；
字母部分：两项都含有字母$a$，$a$的最低次幂是2次，即$a^2$；
因此该多项式的公因式是$a^2$。
【答案】
（1）$3$；（2）$a^2$
【知识点】
公因式的确定，提公因式法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查公因式的确定规则，熟练掌握找公因式的两步规则即可快速解答，是学习提公因式法分解因式的必备基础。
【难度系数】
0.9
找多项式的公因式需要遵循两个固定步骤：①先确定各项系数的最大公约数；②再找各项都含有的相同字母（或整式），取相同字母的最低次幂，最终将两部分的乘积作为公因式即可。
【解析】
（1）对于多项式$3x+6y$：
系数部分：3和6的最大公约数是3；
字母部分：两项分别只含$x$、$y$，无共同含有的字母，不存在公共字母因式；
因此该多项式的公因式是3。
（2）对于多项式$a^2 - a^3$：
系数部分：1和-1的最大公约数是1；
字母部分：两项都含有字母$a$，$a$的最低次幂是2次，即$a^2$；
因此该多项式的公因式是$a^2$。
【答案】
（1）$3$；（2）$a^2$
【知识点】
公因式的确定，提公因式法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查公因式的确定规则，熟练掌握找公因式的两步规则即可快速解答，是学习提公因式法分解因式的必备基础。
【难度系数】
0.9
5. 写出一个公因式为b的多项式：
$b^2-4b$
.(写一个即可)答案
5. $b^2-4b$
解析
【分析】
解题时首先回忆公因式的定义：多项式中每一项都含有的相同因式，是这个多项式的公因式。要写出公因式为b的多项式，需满足两个要求：①多项式至少有2项（公因式是针对多项式各项的公共因式，仅1项不存在公因式的说法）；②多项式的每一项都含有因式b，且各项除去b之后的部分没有其他公共因式。我们可以简单构造两项式：先让第一项为b与b的乘积即b²，再让第二项为b与-4的乘积即-4b，组合得到的多项式就满足要求。
【解析】
根据公因式的定义，构造的多项式需每一项都含因式b，且至少有两项：
取两项分别为$b· b=b^2$，$b· (-4)=-4b$，组合得到多项式$b^2-4b$，验证：该多项式两项的公共因式为b，符合题意（答案不唯一，合理即可）。
【答案】
$b^2-4b$
【知识点】
公因式的定义；提公因式法分解因式
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查对公因式概念的理解，只要掌握公因式的定义就能顺利作答，构造时注意多项式不能只有一项即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆公因式的定义：多项式中每一项都含有的相同因式，是这个多项式的公因式。要写出公因式为b的多项式，需满足两个要求：①多项式至少有2项（公因式是针对多项式各项的公共因式，仅1项不存在公因式的说法）；②多项式的每一项都含有因式b，且各项除去b之后的部分没有其他公共因式。我们可以简单构造两项式：先让第一项为b与b的乘积即b²，再让第二项为b与-4的乘积即-4b，组合得到的多项式就满足要求。
【解析】
根据公因式的定义，构造的多项式需每一项都含因式b，且至少有两项：
取两项分别为$b· b=b^2$，$b· (-4)=-4b$，组合得到多项式$b^2-4b$，验证：该多项式两项的公共因式为b，符合题意（答案不唯一，合理即可）。
【答案】
$b^2-4b$
【知识点】
公因式的定义；提公因式法分解因式
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查对公因式概念的理解，只要掌握公因式的定义就能顺利作答，构造时注意多项式不能只有一项即可。
【难度系数】
0.9
6. 用简便方法进行计算.
(1) $259×\frac{1}{3}+259×\frac{1}{5}+259×\frac{7}{15}$；
(2) $5×3^4+4×3^4+9×3^2$.
(1) $259×\frac{1}{3}+259×\frac{1}{5}+259×\frac{7}{15}$；
(2) $5×3^4+4×3^4+9×3^2$.
答案
6. (1) 259 (2) 810
解析
【分析】
这两道题均可利用提取公因式法（乘法分配律的逆运算）实现简便计算，避免复杂的分步乘法运算：
(1) 观察算式可知三个乘法项都含有公共因数259，先提取公因式259，再计算剩余分数部分的和，可快速得到结果；
(2) 观察算式可先合并前两项的公因式$3^4$，再找新的公因式提取，简化运算过程。
【解析】
(1) 计算过程：
$\begin{aligned}&\quad259×\frac{1}{3}+259×\frac{1}{5}+259×\frac{7}{15}\\&=259×(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{7}{15}) \quad \mathrm{提取公因式259}\\&=259×(\frac{5}{15}+\frac{3}{15}+\frac{7}{15}) \quad \mathrm{通分计算括号内的和}\\&=259×1\\&=259\end{aligned}$
(2) 计算过程：
$\begin{aligned}&\quad5×3^4+4×3^4+9×3^2\\&=(5+4)×3^4 +9×9 \quad \mathrm{先提取前两项的公因式$3^4$}\\&=9×81 +81\\&=81×(9+1) \quad \mathrm{再提取公因式81}\\&=81×10\\&=810\end{aligned}$
【答案】
(1) 259；(2) 810
【知识点】
1. 提公因式法简便运算 2. 乘法分配律逆用 3. 有理数乘方运算
【点评】
本题是提公因式法在简便运算中的典型应用，解题核心是准确找出算式中各项的公因式，通过提取公因式将复杂的乘法运算转化为简单的加减和小数字乘法，能有效降低计算量、减少计算错误。
【难度系数】
0.8
这两道题均可利用提取公因式法（乘法分配律的逆运算）实现简便计算，避免复杂的分步乘法运算：
(1) 观察算式可知三个乘法项都含有公共因数259，先提取公因式259，再计算剩余分数部分的和，可快速得到结果；
(2) 观察算式可先合并前两项的公因式$3^4$，再找新的公因式提取，简化运算过程。
【解析】
(1) 计算过程：
$\begin{aligned}&\quad259×\frac{1}{3}+259×\frac{1}{5}+259×\frac{7}{15}\\&=259×(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{7}{15}) \quad \mathrm{提取公因式259}\\&=259×(\frac{5}{15}+\frac{3}{15}+\frac{7}{15}) \quad \mathrm{通分计算括号内的和}\\&=259×1\\&=259\end{aligned}$
(2) 计算过程：
$\begin{aligned}&\quad5×3^4+4×3^4+9×3^2\\&=(5+4)×3^4 +9×9 \quad \mathrm{先提取前两项的公因式$3^4$}\\&=9×81 +81\\&=81×(9+1) \quad \mathrm{再提取公因式81}\\&=81×10\\&=810\end{aligned}$
【答案】
(1) 259；(2) 810
【知识点】
1. 提公因式法简便运算 2. 乘法分配律逆用 3. 有理数乘方运算
【点评】
本题是提公因式法在简便运算中的典型应用，解题核心是准确找出算式中各项的公因式，通过提取公因式将复杂的乘法运算转化为简单的加减和小数字乘法，能有效降低计算量、减少计算错误。
【难度系数】
0.8
7. 阅读理解：把多项式$am+an+bm+bn$分解因式.
解法：$am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)$.
观察上述因式分解的过程，回答下列问题：
(1) 分解因式：$mb-2mc+b^2-2bc$.
(2) $△ ABC$三边$a$，$b$，$c$满足$a^2-4bc+4ac-ab=0$，判断$△ ABC$的形状.
解法：$am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)$.
观察上述因式分解的过程，回答下列问题：
(1) 分解因式：$mb-2mc+b^2-2bc$.
(2) $△ ABC$三边$a$，$b$，$c$满足$a^2-4bc+4ac-ab=0$，判断$△ ABC$的形状.
答案
7. 解： (1) 原式=$(mb-2mc)+(b^2-2bc)=m(b-2c)+b(b-2c)=(b-2c)(m+b)$.
(2) $\because a^2-4bc+4ac-ab=0$，$a^2-ab+4ac-4bc=0$，
$\therefore a(a-b)+4c(a-b)=0$，$\therefore (a-b)(a+4c)=0$.
$\because a+4c＞0$，$\therefore a-b=0$，$\therefore a=b$，$\therefore △ ABC$的形状是等腰三角形.
(2) $\because a^2-4bc+4ac-ab=0$，$a^2-ab+4ac-4bc=0$，
$\therefore a(a-b)+4c(a-b)=0$，$\therefore (a-b)(a+4c)=0$.
$\because a+4c＞0$，$\therefore a-b=0$，$\therefore a=b$，$\therefore △ ABC$的形状是等腰三角形.
解析
【分析】
本题考查分组分解法因式分解的应用，解题思路如下：
(1) 观察待分解多项式的项的特征，将有公因式的项两两分组：前两项$mb-2mc$为一组，后两项$b^2-2bc$为一组，先分别对两组提取公因式，两组会出现公共因式$(b-2c)$，再提取这个公因式即可完成分解。
(2) 先对等式左边的多项式重新分组，将含同类公因式的项分为$a^2-ab$和$4ac-4bc$两组，分别提取公因式后得到公共因式$(a-b)$，再结合乘积为0的性质和三角形边长为正数的隐含条件，推导边的关系即可判断三角形形状。
【解析】
(1) 分解因式$mb-2mc+b^2-2bc$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(mb-2mc)+(b^2-2bc)\\&=m(b-2c)+b(b-2c)\\&=(b-2c)(m+b)\end{aligned}$
(2) 判断$△ ABC$的形状：
已知$a^2-4bc+4ac-ab=0$，对等式左边变形：
$\begin{aligned}a^2-ab+4ac-4bc&=0\\a(a-b)+4c(a-b)&=0\\(a-b)(a+4c)&=0\end{aligned}$
$\because a,c$是$△ ABC$的边长，$\therefore a＞0,c＞0$，即$a+4c＞0$
$\therefore a-b=0$，即$a=b$，因此$△ ABC$为等腰三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(b-2c)(m+b)}$
(2) $\boldsymbol{△ ABC是等腰三角形}$
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 分组分解法
3. 等腰三角形的判定
【点评】
本题核心考查分组分解法的应用，合理分组是解题的关键，分组后需保证可通过两次提取公因式完成分解；第二问需要结合三角形边长为正的隐含条件排除无效情况，是因式分解在几何问题中的典型应用。
【难度系数】
0.8
本题考查分组分解法因式分解的应用，解题思路如下：
(1) 观察待分解多项式的项的特征，将有公因式的项两两分组：前两项$mb-2mc$为一组，后两项$b^2-2bc$为一组，先分别对两组提取公因式，两组会出现公共因式$(b-2c)$，再提取这个公因式即可完成分解。
(2) 先对等式左边的多项式重新分组，将含同类公因式的项分为$a^2-ab$和$4ac-4bc$两组，分别提取公因式后得到公共因式$(a-b)$，再结合乘积为0的性质和三角形边长为正数的隐含条件，推导边的关系即可判断三角形形状。
【解析】
(1) 分解因式$mb-2mc+b^2-2bc$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(mb-2mc)+(b^2-2bc)\\&=m(b-2c)+b(b-2c)\\&=(b-2c)(m+b)\end{aligned}$
(2) 判断$△ ABC$的形状：
已知$a^2-4bc+4ac-ab=0$，对等式左边变形：
$\begin{aligned}a^2-ab+4ac-4bc&=0\\a(a-b)+4c(a-b)&=0\\(a-b)(a+4c)&=0\end{aligned}$
$\because a,c$是$△ ABC$的边长，$\therefore a＞0,c＞0$，即$a+4c＞0$
$\therefore a-b=0$，即$a=b$，因此$△ ABC$为等腰三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(b-2c)(m+b)}$
(2) $\boldsymbol{△ ABC是等腰三角形}$
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 分组分解法
3. 等腰三角形的判定
【点评】
本题核心考查分组分解法的应用，合理分组是解题的关键，分组后需保证可通过两次提取公因式完成分解；第二问需要结合三角形边长为正的隐含条件排除无效情况，是因式分解在几何问题中的典型应用。
【难度系数】
0.8
8. (2025·大庆) 因式分解：$x^2 - x =$
$x(x-1)$
.答案
8. $x(x-1)$
解析
【分析】
首先观察多项式的结构，该多项式共有两项，先判断两项是否存在公因式：$x^2$的因式有$x$、$x^2$，$-x$的因式有$x$、$-1$、$-x$，因此两项的公因式为$x$。接下来按照提公因式法的规则，将公因式$x$提取出来，用原多项式的每一项除以公因式，得到剩余的因式，即可完成因式分解。
【解析】
对多项式$x^2 - x$分解因式：
第一步：确定公因式，两项的公因式为$x$；
第二步：提取公因式$x$，可得：
$x^2 - x = x · x - x · 1 = x(x - 1)$
【答案】
$x(x-1)$
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题时需先准确识别多项式各项的公因式，提取公因式后要注意检查剩余项是否正确，避免出现漏项的错误。
【难度系数】
0.9
首先观察多项式的结构，该多项式共有两项，先判断两项是否存在公因式：$x^2$的因式有$x$、$x^2$，$-x$的因式有$x$、$-1$、$-x$，因此两项的公因式为$x$。接下来按照提公因式法的规则，将公因式$x$提取出来，用原多项式的每一项除以公因式，得到剩余的因式，即可完成因式分解。
【解析】
对多项式$x^2 - x$分解因式：
第一步：确定公因式，两项的公因式为$x$；
第二步：提取公因式$x$，可得：
$x^2 - x = x · x - x · 1 = x(x - 1)$
【答案】
$x(x-1)$
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题时需先准确识别多项式各项的公因式，提取公因式后要注意检查剩余项是否正确，避免出现漏项的错误。
【难度系数】
0.9
9. (2025·长沙）分解因式：$mx-2my=$
$m(x-2y)$
.答案
9. $m(x-2y)$
解析
【分析】
拿到这道分解因式的题目，首先观察多项式的结构：该多项式共有两项，分别为$mx$和$-2my$。第一步先找两项的公因式：两项都含有公共因式$m$，因此公因式为$m$。接下来使用提公因式法分解，将公因式$m$提取出来，用原多项式的每一项分别除以$m$，把所得的结果放在括号内即可完成分解。
【解析】
解：先确定多项式$mx-2my$的公因式为$m$，提取公因式$m$可得：
$mx-2my$
$=m· x - m· 2y$
$=m(x-2y)$
【答案】
$m(x-2y)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题是分解因式的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题的关键是准确找出多项式各项的公因式，提取公因式时要注意剩余项的符号不要写错。
【难度系数】
0.9
拿到这道分解因式的题目，首先观察多项式的结构：该多项式共有两项，分别为$mx$和$-2my$。第一步先找两项的公因式：两项都含有公共因式$m$，因此公因式为$m$。接下来使用提公因式法分解，将公因式$m$提取出来，用原多项式的每一项分别除以$m$，把所得的结果放在括号内即可完成分解。
【解析】
解：先确定多项式$mx-2my$的公因式为$m$，提取公因式$m$可得：
$mx-2my$
$=m· x - m· 2y$
$=m(x-2y)$
【答案】
$m(x-2y)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题是分解因式的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题的关键是准确找出多项式各项的公因式，提取公因式时要注意剩余项的符号不要写错。
【难度系数】
0.9
