例1 下列方程：①$\frac{x-3}{5}=1$；②$\frac{3}{x}=2$；③$\frac{1+x}{5+x}=\frac{1}{2}$；④$\frac{x}{2}+\frac{2}{x^2+1}=5$；⑤$\frac{x}{π}+\frac{x}{2π}=4$。其中是分式方程的是（）

A.①②
B.②③⑤
C.③④
D.②③④
解析 ①⑤这两个方程的分母中不含有未知数，所以它们不是分式方程；②③④这三个方程的分母中含有未知数，所以它们是分式方程。
答案：D
特别提醒
在解分式方程的过程中，把分式方程化为整式方程时扩大了未知数的取值范围，因此要检验整式方程的解是否令最简分母等于0。若是，则整式方程的解不是原分式方程的解；若不是，则整式方程的解是原分式方程的解。
解题要点
判断一个方程是否为分式方程主要看这个方程的分母中是否含有未知数。
例2 解方程$\frac{x}{x+1}-\frac{4}{x^2-1}=1$。
解 方程两边乘$(x+1)(x-1)$，
得$x(x-1)-4=x^2-1$。
解得$x=-3$。
检验：当$x=-3$时，$(x+1)(x-1)≠0$，
所以，原分式方程的解为$x=-3$。

D

【分析】
本题考查分式方程的判定，解题核心是牢记分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程。解题时逐一检查每个方程的分母是否含未知数即可，注意π是固定常数，不属于未知数，避免误判。首先逐个分析5个方程：①分母为5，是常数不含未知数，不是分式方程；②分母为x，含未知数，是分式方程；③分母为$5+x$，含未知数x，是分式方程；④分母为$x^2+1$，含未知数x，是分式方程；⑤分母为π、2π，都是常数，不含未知数，不是分式方程。最终筛选出符合要求的方程对应选项即可。
【解析】
解：根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，逐个判断如下：
①方程$\frac{x-3}{5}=1$的分母是5，为常数，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程；
②方程$\frac{3}{x}=2$的分母是x，含有未知数，是分式方程；
③方程$\frac{1+x}{5+x}=\frac{1}{2}$的分母是$5+x$，含有未知数x，是分式方程；
④方程$\frac{x}{2}+\frac{2}{x^2+1}=5$的第二个分式分母是$x^2+1$，含有未知数x，是分式方程；
⑤方程$\frac{x}{π}+\frac{x}{2π}=4$的分母是π、2π，π是固定常数，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程。
综上，②③④是分式方程，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.分式方程的判定 2.常数π的性质
【点评】
本题是基础概念类题目，解题关键是准确掌握分式方程的判定标准，尤其要注意π是固定常量，不要误认为是未知数导致误判。
【难度系数】
0.8