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知识点一 分式的乘法与除法
1. 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的________，分母的积作为积的________.用式子表示为$\frac{a}{b} · \frac{c}{d} = \_\_\_\_\_\_$.
2. 分式的除法法则：分式除以分式，把________的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} · \_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_$.
例1 计算：$\frac{x}{a+1} · \frac{a^2 -1}{2x}$.
解 $\frac{x}{a+1} · \frac{a^2 -1}{2x} = \frac{x}{a+1} · \frac{(a+1)(a-1)}{2x} = \frac{a-1}{2}$.
1. 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的________，分母的积作为积的________.用式子表示为$\frac{a}{b} · \frac{c}{d} = \_\_\_\_\_\_$.
2. 分式的除法法则：分式除以分式，把________的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} · \_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_$.
例1 计算：$\frac{x}{a+1} · \frac{a^2 -1}{2x}$.
解 $\frac{x}{a+1} · \frac{a^2 -1}{2x} = \frac{x}{a+1} · \frac{(a+1)(a-1)}{2x} = \frac{a-1}{2}$.
答案
1. 分子 分母 $\frac{a·c}{b·d}$
2. 除式 $\frac{d}{c}$ $\frac{a·d}{b·c}$
2. 除式 $\frac{d}{c}$ $\frac{a·d}{b·c}$
解析
【分析】
本题考查分式乘除法法则的基础识记，解题时先回忆课本中分式乘法、除法的定义内容：①分式乘法是分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母，据此可写出乘法的字母表达式；②分式除法要转化为乘法计算，需将除式的分子分母颠倒位置后再和被除式相乘，据此可写出除法的转化形式及最终表达式，只要准确记忆法则内容即可顺利作答。
【解析】
1. 根据分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，对应的运算式子为$\frac{a}{b} · \frac{c}{d} = \frac{a·c}{b·d}$（$b≠0,d≠0$）。
2. 根据分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，对应的运算式子为$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} · \frac{d}{c} = \frac{a·d}{b·c}$（$b≠0,c≠0,d≠0$）。
【答案】
1. 分子 分母 $\frac{a·c}{b·d}$
2. 除式 $\frac{d}{c}$ $\frac{a·d}{b·c}$
【知识点】
分式乘法法则；分式除法法则
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，直接考查分式乘除的核心运算法则，掌握好这类基础规则是进行后续复杂分式运算的前提。
【难度系数】
0.9
本题考查分式乘除法法则的基础识记，解题时先回忆课本中分式乘法、除法的定义内容：①分式乘法是分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母，据此可写出乘法的字母表达式；②分式除法要转化为乘法计算，需将除式的分子分母颠倒位置后再和被除式相乘，据此可写出除法的转化形式及最终表达式，只要准确记忆法则内容即可顺利作答。
【解析】
1. 根据分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，对应的运算式子为$\frac{a}{b} · \frac{c}{d} = \frac{a·c}{b·d}$（$b≠0,d≠0$）。
2. 根据分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，对应的运算式子为$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} · \frac{d}{c} = \frac{a·d}{b·c}$（$b≠0,c≠0,d≠0$）。
【答案】
1. 分子 分母 $\frac{a·c}{b·d}$
2. 除式 $\frac{d}{c}$ $\frac{a·d}{b·c}$
【知识点】
分式乘法法则；分式除法法则
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，直接考查分式乘除的核心运算法则，掌握好这类基础规则是进行后续复杂分式运算的前提。
【难度系数】
0.9
例2 若$\frac{x^2 +1}{x -6} ÷ \frac{x^3 +x}{□}$计算的结果为整式，则“”中的式子可能是 （）
A.$\frac{1}{x^2 -6}$
B.$x^2 -6$
C.$x^2 -6x$
D.$x -6$
解析 设“”中的式子为M，
原式$=\frac{x^2 +1}{x -6} · \frac{M}{x(x^2 +1)} = \frac{M}{x(x -6)}$，所以当$M = x^2 -6x = x(x -6)$时，原式$=\frac{x(x -6)}{x(x -6)} =1$，结果为整式。
答案 C
A.$\frac{1}{x^2 -6}$
B.$x^2 -6$
C.$x^2 -6x$
D.$x -6$
解析 设“”中的式子为M，
原式$=\frac{x^2 +1}{x -6} · \frac{M}{x(x^2 +1)} = \frac{M}{x(x -6)}$，所以当$M = x^2 -6x = x(x -6)$时，原式$=\frac{x(x -6)}{x(x -6)} =1$，结果为整式。
答案 C
答案
C
解析
【分析】
解决本题的核心思路是先利用分式除法的运算规则将除法转化为乘法，再对已知分子、分母因式分解并约分，结合“结果为整式”的要求：即约分后分母全部被消去，推导得出方框中式子需要包含的因式，最后匹配选项即可。
【解析】
设“”中的式子为M，根据分式除法法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，可得：
原式$=\frac{x^2 +1}{x -6} · \frac{M}{x^3 +x}$
对分母$x^3+x$因式分解，提公因式得：$x^3+x=x(x^2+1)$，代入上式约分：
$=\frac{x^2 +1}{x -6} · \frac{M}{x(x^2+1)} = \frac{M}{x(x -6)}$
若运算结果为整式，则$\frac{M}{x(x -6)}$的分母需全部被约掉，即M需含有因式$x$和$(x-6)$。
逐一分析选项：
A.$\frac{1}{x^2 -6}$：不含$x$和$(x-6)$的因式，代入后结果为分式，不符合要求；
B.$x^2 -6$：不含$x$和$(x-6)$的因式，代入后结果为分式，不符合要求；
C.$x^2 -6x$：因式分解得$x(x-6)$，代入得$\frac{x(x-6)}{x(x-6)}=1$，1是整式，符合要求；
D.$x -6$：仅含因式$(x-6)$，代入后得$\frac{1}{x}$，是分式，不符合要求。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、整式的概念
【点评】
本题属于分式运算的基础应用题，解题关键是熟练掌握分式除法的转化规则和因式分解的方法，结合整式的定义反向推导未知式子的构成特征，解题时注意先对可因式分解的多项式分解后再约分，能简化判断过程。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心思路是先利用分式除法的运算规则将除法转化为乘法，再对已知分子、分母因式分解并约分，结合“结果为整式”的要求：即约分后分母全部被消去，推导得出方框中式子需要包含的因式，最后匹配选项即可。
【解析】
设“”中的式子为M，根据分式除法法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，可得：
原式$=\frac{x^2 +1}{x -6} · \frac{M}{x^3 +x}$
对分母$x^3+x$因式分解，提公因式得：$x^3+x=x(x^2+1)$，代入上式约分：
$=\frac{x^2 +1}{x -6} · \frac{M}{x(x^2+1)} = \frac{M}{x(x -6)}$
若运算结果为整式，则$\frac{M}{x(x -6)}$的分母需全部被约掉，即M需含有因式$x$和$(x-6)$。
逐一分析选项：
A.$\frac{1}{x^2 -6}$：不含$x$和$(x-6)$的因式，代入后结果为分式，不符合要求；
B.$x^2 -6$：不含$x$和$(x-6)$的因式，代入后结果为分式，不符合要求；
C.$x^2 -6x$：因式分解得$x(x-6)$，代入得$\frac{x(x-6)}{x(x-6)}=1$，1是整式，符合要求；
D.$x -6$：仅含因式$(x-6)$，代入后得$\frac{1}{x}$，是分式，不符合要求。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、整式的概念
【点评】
本题属于分式运算的基础应用题，解题关键是熟练掌握分式除法的转化规则和因式分解的方法，结合整式的定义反向推导未知式子的构成特征，解题时注意先对可因式分解的多项式分解后再约分，能简化判断过程。
【难度系数】
0.7
例3 甲瓶盐水含盐量（含盐量=盐的克数÷盐水的克数）为$\frac{1}{m}$，乙瓶盐水含盐量为$\frac{1}{n}$，从甲、乙两瓶中各取质量相等的盐水混合制成新盐水的含盐量为（）
—特别提醒
1. 分式的乘除法计算，运算结果应化为最简分式或整式.
2. 当分子、分母是多项式时，通常先分解因式，再约分.
3. 分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算.
A. $\frac{m+n}{2mn}$ B. $\frac{m+n}{mn}$
C. $\frac{1}{mn}$ D. 随所取盐水的质量而定
解析 设从甲、乙两瓶中各取质量相等的盐水$x$，则混合制成新盐水的含盐量为$\frac{\frac{1}{m}x + \frac{1}{n}x}{2x} = \frac{m+n}{2mn}$.
答案 A
—特别提醒
1. 分式的乘除法计算，运算结果应化为最简分式或整式.
2. 当分子、分母是多项式时，通常先分解因式，再约分.
3. 分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算.
A. $\frac{m+n}{2mn}$ B. $\frac{m+n}{mn}$
C. $\frac{1}{mn}$ D. 随所取盐水的质量而定
解析 设从甲、乙两瓶中各取质量相等的盐水$x$，则混合制成新盐水的含盐量为$\frac{\frac{1}{m}x + \frac{1}{n}x}{2x} = \frac{m+n}{2mn}$.
答案 A
答案
解：设从甲、乙两瓶中各取质量相等的盐水的质量为$x$。
取出的两份盐水中盐的总质量为：$\frac{1}{m}x + \frac{1}{n}x$，
混合后新盐水的总质量为：$x + x = 2x$，
根据含盐量的定义，新盐水的含盐量为：
$\frac{\frac{1}{m}x + \frac{1}{n}x}{2x} = \frac{x(\frac{1}{m}+\frac{1}{n})}{2x} = \frac{\frac{n + m}{mn}}{2} = \frac{m + n}{2mn}$
答案选A。
取出的两份盐水中盐的总质量为：$\frac{1}{m}x + \frac{1}{n}x$，
混合后新盐水的总质量为：$x + x = 2x$，
根据含盐量的定义，新盐水的含盐量为：
$\frac{\frac{1}{m}x + \frac{1}{n}x}{2x} = \frac{x(\frac{1}{m}+\frac{1}{n})}{2x} = \frac{\frac{n + m}{mn}}{2} = \frac{m + n}{2mn}$
答案选A。
解析
【分析】
要计算混合后新盐水的含盐量，首先明确核心公式：含盐量=盐的总质量÷盐水的总质量。题目说明从甲、乙两瓶取的盐水质量相等，我们可以先设这个相等的质量为参数x（x为正数，计算过程中会被约去，不影响最终结果）；接下来分别计算从甲、乙瓶中取出的盐水中盐的质量，相加得到盐的总质量，再算出混合后盐水的总质量；最后代入含盐量公式，通过分式的通分、约分运算化简，即可得到结果。
【解析】
设从甲、乙两瓶中各取质量相等的盐水的质量为$x$。
1. 计算取出的盐水中盐的总质量：
从甲瓶取出的盐的质量为$\frac{1}{m}x$，从乙瓶取出的盐的质量为$\frac{1}{n}x$，因此盐的总质量为$\frac{1}{m}x + \frac{1}{n}x$。
2. 计算混合后新盐水的总质量：
两份盐水质量相加，总质量为$x + x = 2x$。
3. 根据含盐量公式计算新盐水的含盐量：
$\begin{aligned}\mathrm{含盐量}&=\frac{\frac{1}{m}x + \frac{1}{n}x}{2x}\\&=\frac{x(\frac{1}{m}+\frac{1}{n})}{2x}\\&=\frac{\frac{n+m}{mn}}{2}\\&=\frac{m+n}{2mn}\end{aligned}$
【答案】
A. $\frac{m+n}{2mn}$
【知识点】
1. 分式的混合运算
2. 含盐量（浓度）计算
【点评】
本题是分式运算在实际浓度问题中的典型应用，通过设辅助参数表示取出的盐水质量，结合含盐量的定义列式化简即可得到结果，解题时要注意分式通分、约分的运算规则，保证最终结果为最简分式。
【难度系数】
0.8
要计算混合后新盐水的含盐量，首先明确核心公式：含盐量=盐的总质量÷盐水的总质量。题目说明从甲、乙两瓶取的盐水质量相等，我们可以先设这个相等的质量为参数x（x为正数，计算过程中会被约去，不影响最终结果）；接下来分别计算从甲、乙瓶中取出的盐水中盐的质量，相加得到盐的总质量，再算出混合后盐水的总质量；最后代入含盐量公式，通过分式的通分、约分运算化简，即可得到结果。
【解析】
设从甲、乙两瓶中各取质量相等的盐水的质量为$x$。
1. 计算取出的盐水中盐的总质量：
从甲瓶取出的盐的质量为$\frac{1}{m}x$，从乙瓶取出的盐的质量为$\frac{1}{n}x$，因此盐的总质量为$\frac{1}{m}x + \frac{1}{n}x$。
2. 计算混合后新盐水的总质量：
两份盐水质量相加，总质量为$x + x = 2x$。
3. 根据含盐量公式计算新盐水的含盐量：
$\begin{aligned}\mathrm{含盐量}&=\frac{\frac{1}{m}x + \frac{1}{n}x}{2x}\\&=\frac{x(\frac{1}{m}+\frac{1}{n})}{2x}\\&=\frac{\frac{n+m}{mn}}{2}\\&=\frac{m+n}{2mn}\end{aligned}$
【答案】
A. $\frac{m+n}{2mn}$
【知识点】
1. 分式的混合运算
2. 含盐量（浓度）计算
【点评】
本题是分式运算在实际浓度问题中的典型应用，通过设辅助参数表示取出的盐水质量，结合含盐量的定义列式化简即可得到结果，解题时要注意分式通分、约分的运算规则，保证最终结果为最简分式。
【难度系数】
0.8
