登录
1. 一般地，当$n$是正整数时，$(\dfrac{a}{b})^n = \underbrace{\dfrac{a}{b} · \dfrac{a}{b} · \dots · \dfrac{a}{b}}_{n个} = $
$$
$\dfrac{\overbrace{a · a · \dots · a}^{n个}}{\underbrace{b · b · \dots · b}_{n个}} = \dfrac{a^n}{b^n}$，即$(\dfrac{a}{b})^n = \dfrac{a^n}{b^n}$。这就是说，分式乘方要把分子、分母分别
2. 分式与数有相同的混合运算顺序：先
例4 计算：$(-\dfrac{b}{2a})^2 · (\dfrac{3a}{b})^3 ÷ \dfrac{a^2}{4b} = \_\_\_\_\_\_$。
解析 $(-\dfrac{b}{2a})^2 · (\dfrac{3a}{b})^3 ÷ \dfrac{a^2}{4b} = \dfrac{b^2}{4a^2} · \dfrac{27a^3}{b^3} · \dfrac{4b}{a^2} = \dfrac{27}{a}$。
答案 $\dfrac{27}{a}$
$$$\dfrac{\overbrace{a · a · \dots · a}^{n个}}{\underbrace{b · b · \dots · b}_{n个}} = \dfrac{a^n}{b^n}$，即$(\dfrac{a}{b})^n = \dfrac{a^n}{b^n}$。这就是说，分式乘方要把分子、分母分别
乘方
。2. 分式与数有相同的混合运算顺序：先
乘方
，再乘除
。例4 计算：$(-\dfrac{b}{2a})^2 · (\dfrac{3a}{b})^3 ÷ \dfrac{a^2}{4b} = \_\_\_\_\_\_$。
解析 $(-\dfrac{b}{2a})^2 · (\dfrac{3a}{b})^3 ÷ \dfrac{a^2}{4b} = \dfrac{b^2}{4a^2} · \dfrac{27a^3}{b^3} · \dfrac{4b}{a^2} = \dfrac{27}{a}$。
答案 $\dfrac{27}{a}$
答案
1. 乘方
2. 乘方 乘除
2. 乘方 乘除
解析
【分析】
第1题：结合给出的分式乘方推导过程，观察运算前后分子、分母的变化，可直接总结出分式乘方的运算规则；第2题：类比有理数的混合运算顺序，即可得到分式的混合运算顺序；例题计算时，遵循分式混合运算顺序，先算乘方，再将除法转化为乘法，最后通过约分得到最简结果即可。
【解析】
1. 由推导过程$(\dfrac{a}{b})^n = \dfrac{\overbrace{a·a·\dots·a}^{n个}}{\underbrace{b·b·\dots·b}_{n个}}=\dfrac{a^n}{b^n}$，可知分式乘方需要把分子、分母分别乘方。
2. 分式的混合运算顺序与有理数混合运算顺序一致，运算优先级为：先算乘方，再算乘除，有括号时先算括号内的运算，因此依次填乘方、乘除。
例4计算：
第一步先算乘方：
$(-\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2}{(2a)^2}=\dfrac{b^2}{4a^2}$，$(\dfrac{3a}{b})^3=\dfrac{(3a)^3}{b^3}=\dfrac{27a^3}{b^3}$
第二步将除法转化为乘法：除以$\dfrac{a^2}{4b}$等于乘它的倒数$\dfrac{4b}{a^2}$，原式变为$\dfrac{b^2}{4a^2} · \dfrac{27a^3}{b^3} · \dfrac{4b}{a^2}$
第三步约分计算：分子分母的公因式约去后，得到结果为$\dfrac{27}{a}$。
【答案】
1. 乘方
2. 乘方；乘除
例4答案：$\dfrac{27}{a}$
【知识点】
分式乘方法则；分式混合运算顺序；分式乘除运算
【点评】
本题侧重考察分式运算的基础概念和基础运算能力，概念题只需牢记规则即可作答，运算题按照运算顺序分步计算，注意约分过程不要出错就能得到正确结果。
【难度系数】
0.85
第1题：结合给出的分式乘方推导过程，观察运算前后分子、分母的变化，可直接总结出分式乘方的运算规则；第2题：类比有理数的混合运算顺序，即可得到分式的混合运算顺序；例题计算时，遵循分式混合运算顺序，先算乘方，再将除法转化为乘法，最后通过约分得到最简结果即可。
【解析】
1. 由推导过程$(\dfrac{a}{b})^n = \dfrac{\overbrace{a·a·\dots·a}^{n个}}{\underbrace{b·b·\dots·b}_{n个}}=\dfrac{a^n}{b^n}$，可知分式乘方需要把分子、分母分别乘方。
2. 分式的混合运算顺序与有理数混合运算顺序一致，运算优先级为：先算乘方，再算乘除，有括号时先算括号内的运算，因此依次填乘方、乘除。
例4计算：
第一步先算乘方：
$(-\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2}{(2a)^2}=\dfrac{b^2}{4a^2}$，$(\dfrac{3a}{b})^3=\dfrac{(3a)^3}{b^3}=\dfrac{27a^3}{b^3}$
第二步将除法转化为乘法：除以$\dfrac{a^2}{4b}$等于乘它的倒数$\dfrac{4b}{a^2}$，原式变为$\dfrac{b^2}{4a^2} · \dfrac{27a^3}{b^3} · \dfrac{4b}{a^2}$
第三步约分计算：分子分母的公因式约去后，得到结果为$\dfrac{27}{a}$。
【答案】
1. 乘方
2. 乘方；乘除
例4答案：$\dfrac{27}{a}$
【知识点】
分式乘方法则；分式混合运算顺序；分式乘除运算
【点评】
本题侧重考察分式运算的基础概念和基础运算能力，概念题只需牢记规则即可作答，运算题按照运算顺序分步计算，注意约分过程不要出错就能得到正确结果。
【难度系数】
0.85
1. 计算$\frac{2a}{a+1} ÷ \frac{a}{a+1}$的结果是 （
A.2
B.$\frac{1}{2}$
C.1
D.$\frac{2a^2}{(a+1)^2}$
A
）A.2
B.$\frac{1}{2}$
C.1
D.$\frac{2a^2}{(a+1)^2}$
答案
1. A
解析
【分析】
遇到分式除法运算题，首先回忆分式除法的运算法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，先将除法转化为乘法运算；其次要明确原式有意义的条件，确保分母、除数均不为0，为后续约分做准备；再找出分子、分母的公因式进行约分，化简后即可得到结果。
【解析】
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以该分式的倒数，因此：
原式$=\frac{2a}{a+1} × \frac{a+1}{a}$
要使原式有意义，需满足$a+1≠0$且$\frac{a}{a+1}≠0$，即$a≠-1$且$a≠0$，因此可对分子分母约分：
约掉分子分母的公因式$a$和$a+1$，可得原式$=2$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式除法法则、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查分式除法的运算规则，解题关键是熟练掌握除法转乘法的转化方法，约分前注意确认分式有意义的条件，避免无意义运算，掌握基础运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
遇到分式除法运算题，首先回忆分式除法的运算法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，先将除法转化为乘法运算；其次要明确原式有意义的条件，确保分母、除数均不为0，为后续约分做准备；再找出分子、分母的公因式进行约分，化简后即可得到结果。
【解析】
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以该分式的倒数，因此：
原式$=\frac{2a}{a+1} × \frac{a+1}{a}$
要使原式有意义，需满足$a+1≠0$且$\frac{a}{a+1}≠0$，即$a≠-1$且$a≠0$，因此可对分子分母约分：
约掉分子分母的公因式$a$和$a+1$，可得原式$=2$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式除法法则、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查分式除法的运算规则，解题关键是熟练掌握除法转乘法的转化方法，约分前注意确认分式有意义的条件，避免无意义运算，掌握基础运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 计算$\frac{y}{x} ÷ \frac{y}{2} · \frac{2}{y}$的结果是（
A.$\frac{4}{xy}$
B.$\frac{1}{2}x$
C.$\frac{y}{x}$
D.$2y$
A
）A.$\frac{4}{xy}$
B.$\frac{1}{2}x$
C.$\frac{y}{x}$
D.$2y$
答案
2. A
解析
【分析】
本题属于分式乘除混合运算题，解题思路如下：首先明确分式乘除属于同级运算，需要按照从左到右的顺序依次计算；其次遇到分式除法时，要根据除法运算法则转化为乘法运算，即除以一个不为0的分式等于乘这个分式的倒数；最后对分子分母的公因式进行约分，计算得到最简结果即可。
【解析】
按照同级运算从左到右的顺序，先将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}原式&=\frac{y}{x} × \frac{2}{y} × \frac{2}{y}\\&\mathrm{约去分子分母的公因式}y\mathrm{：}\\&=\frac{1}{x} × 2 × \frac{2}{y}\\&\mathrm{分子、分母分别相乘：}\\&=\frac{2×2}{x× y}\\&=\frac{4}{xy}\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
分式乘除运算、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，易错点是未遵循从左到右的运算顺序，错误先计算后两个分式的乘法导致结果出错，只要牢记运算顺序、熟练掌握分式乘除法则即可得分。
【难度系数】
0.8
本题属于分式乘除混合运算题，解题思路如下：首先明确分式乘除属于同级运算，需要按照从左到右的顺序依次计算；其次遇到分式除法时，要根据除法运算法则转化为乘法运算，即除以一个不为0的分式等于乘这个分式的倒数；最后对分子分母的公因式进行约分，计算得到最简结果即可。
【解析】
按照同级运算从左到右的顺序，先将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}原式&=\frac{y}{x} × \frac{2}{y} × \frac{2}{y}\\&\mathrm{约去分子分母的公因式}y\mathrm{：}\\&=\frac{1}{x} × 2 × \frac{2}{y}\\&\mathrm{分子、分母分别相乘：}\\&=\frac{2×2}{x× y}\\&=\frac{4}{xy}\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
分式乘除运算、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，易错点是未遵循从左到右的运算顺序，错误先计算后两个分式的乘法导致结果出错，只要牢记运算顺序、熟练掌握分式乘除法则即可得分。
【难度系数】
0.8
3. 某项任务用$m$人，$a$天可完成，若每个人的工作效率相同，则用$(m+p)$人完成这项任务需要的天数是（
A.$a+m$
B.$\dfrac{am}{m+p}$
C.$\dfrac{a}{m+p}$
D.$\dfrac{m+p}{am}$
B
）A.$a+m$
B.$\dfrac{am}{m+p}$
C.$\dfrac{a}{m+p}$
D.$\dfrac{m+p}{am}$
答案
3. B
解析
【分析】
这是工程类的代数式列式问题，解题核心是抓住“总工作量不变”的特点思考：第一步，我们可以把每人每天的工作效率看作单位1，先根据已知的人数和天数算出总工作量；第二步，算出增加人数后每天的总工作效率；第三步，用总工作量除以新的总工作效率，就能得到需要的天数。
【解析】
设每人每天的工作效率为1。
首先计算工作总量：$m$人$a$天的总工作量为 $m × a × 1 = am$。
当人数变为$(m+p)$人时，每天的总工作效率为 $(m+p) × 1 = m+p$。
根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，可得需要的天数为：$\dfrac{am}{m+p}$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
工程问题计算、列代数式、分式应用
【点评】
本题是工程问题的基础考法，解题的关键是明确总工作量不变的隐含条件，熟练运用工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系列式，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
这是工程类的代数式列式问题，解题核心是抓住“总工作量不变”的特点思考：第一步，我们可以把每人每天的工作效率看作单位1，先根据已知的人数和天数算出总工作量；第二步，算出增加人数后每天的总工作效率；第三步，用总工作量除以新的总工作效率，就能得到需要的天数。
【解析】
设每人每天的工作效率为1。
首先计算工作总量：$m$人$a$天的总工作量为 $m × a × 1 = am$。
当人数变为$(m+p)$人时，每天的总工作效率为 $(m+p) × 1 = m+p$。
根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，可得需要的天数为：$\dfrac{am}{m+p}$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
工程问题计算、列代数式、分式应用
【点评】
本题是工程问题的基础考法，解题的关键是明确总工作量不变的隐含条件，熟练运用工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系列式，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
