9. 如图①,将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的小矩形CEFD拼在一起,构成一个大的矩形ABEF.现将小矩形CEFD绕点C按顺时针方向旋转至矩形CE'F'D'的位置,旋转角为α.
（1）当点D'恰好落在边EF上时,求旋转角α的度数.
（2）如图②,在(1)的条件下,G为BC的中点,且0°＜α＜90°,连接GD',E'D.求证:GD'=E'D.
（3）在小矩形CEFD绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中,△DCD'与△CBD'能否全等?若能,请直接写出旋转角α的度数;若不能,请说明理由.

解：（1）
因为在矩形$CEFD$中，$CD// EF，$所以$\angle CD'E = \angle DCD'=\alpha。$ 取$CD'$的中点$H，$连接$EH。$ 因为在矩形$CEFD$中，$\angle DCE=\angle FEC = 90^{\circ}，$所以$EH = CH=\frac{1}{2}CD' = 1。$ 又因为$CE = 1，$所以$CE = EH = CH = 1，$$\triangle CEH$为等边三角形。 所以$\angle D'CE = 60^{\circ}，$则$\alpha = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}。$ （2）
由旋转，得$CD' = CD，$$CE' = CE = 1。$ 因为$G$为$BC$的中点，所以$CG = BG=\frac{1}{2}BC = 1，$所以$CG = CE'。$ 在正方形$ABCD$中，$\angle DCG = 90^{\circ}，$在矩形$CE'F'D'$中，$\angle D'CE' = 90^{\circ}，$ 所以$\angle D'CG=\angle DCG+\angle DCD' = 90^{\circ}+\alpha，$$\angle DCE'=\angle D'CE'+\angle DCD' = 90^{\circ}+\alpha，$ 所以$\angle D'CG = \angle DCE'。$ 又因为$CD' = CD，$所以$\triangle GCD'\cong\triangle E'CD，$所以$GD' = E'D。$ （3）能，$\alpha = 135^{\circ}$或$315^{\circ}。$ ;

10. (2023·北京)在$△ ABC$中，$∠ B = ∠ C = α(0°＜α＜45°)$，$AM⊥ BC$于点$M$，$D$是线段$MC$上的动点(不与点$M,C$重合)，将线段$DM$绕点$D$按顺时针方向旋转$2α$得到线段$DE$.
(1) 如图①，当点$E$在线段$AC$上时，求证：$D$是$MC$的中点；
(2) 如图②，若在线段$BM$上存在点$F$(不与点$B,M$重合)，且满足$DF = DC$，连接$AE,EF$，求$∠ AEF$的度数.

第10题

解：（1）
由旋转的性质，得$DM = DE，$$\angle MDE = 2\alpha，$因为$\angle C=\alpha，$ 所以$\angle DEC=\angle MDE - \angle C=\alpha，$所以$\angle C=\angle DEC，$所以$DE = DC。$ 所以$DM = DC，$即$D$是$MC$的中点。 （2）
如图，延长$FE$到点$H，$使$EH = FE，$连接$CH，$$AH，$$AF。$ 因为$DF = DC，$所以$DE$是$\triangle FCH$的中位线，所以$DE// CH，$$CH = 2DE。$ 由旋转的性质，得$DM = DE，$$\angle MDE = 2\alpha，$所以$\angle FCH = 2\alpha。$ 因为$\angle B=\angle BCA=\alpha，$所以$\angle ACH=\alpha，$$\triangle ABC$是等腰三角形，所以$\angle B=\angle ACH，$$AB = AC。$ 设$DM = DE = m，$$CD = n，$则$CH = 2m，$$CM = m + n，$$DF = CD = n，$ 所以$FM = DF - DM = n - m。$ 因为$AM\perp BC，$所以$BM = CM = m + n，$所以$BF = BM - FM = m + n-(n - m)=2m。$ 所以$CH = BF。$ 在$\triangle ABF$和$\triangle ACH$中，$\begin{cases}AB = AC\\\angle B=\angle ACH\\BF = CH\end{cases}，$ 所以$\triangle ABF\cong\triangle ACH，$所以$AF = AH。$ 因为$FE = EH，$所以$AE\perp FH，$即$\angle AEF = 90^{\circ}。$ ;