8. 如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB=20°，则这个正多边形的边数为________。

9

9. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,正六边形$ABCDEF$的顶点$A$、$B$在$x$轴上,顶点$F$在$y$轴上,若$AB=2$,则中心$P$的坐标为 （ ）
A. $(2,\sqrt{3})$
B. $(1,\sqrt{3})$
C. $(2,2)$
D. $(3,2)$

A

10. 中国体育代表队在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会上的一面金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块.这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形ABCDEF的周长为$18\sqrt{5}$ cm，则BF的长为________ cm.

$3\sqrt{15}$

11. 苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的.苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面,且所有碳碳键的键长都相等(如图 1),组成了一个完美的正六边形(如图 2),则∠1的度数为________.

$120^{\circ}$

12. 如图,正六边形 $ABCDEF$ 内接于$\odot O$.
(1)若 $P$ 是$\overset{\frown}{CD}$上的动点,连接 $BP$、$FP$,求$∠ BPF$的度数.
(2)已知$△ ADF$的面积为 $2\sqrt{3}$,求$\odot O$的面积.

解：​$(1)$​在​$\widehat {CD}$​上取一点​$P，$​连接​$BP、$​​$AP、$​​$FP、$​​$FO$​∵六边形​$ABCDEF $​是正六边形∴​$AF = AB，$​​$∠AOF = 360°÷6 = 60°$​∴​$∠APF=\frac 12∠AOF=\frac 12×60°=30°$​ 又∵​$AF = AB，$​∴​$∠AP B = ∠APF = 30°$​∴​$∠BPF=∠AP B+∠APF = 30°+30°=60°$​​$ (2)$​∵​$∠AOF = 60°，$​​$AO = FO$​∴​$\triangle AOF $​是等边三角形，∴​$∠DAF = 60°$​ ∴​$∠ADF = 30°，$​​$∠AF D = 90°，$​∴​$AD = 2\ \mathrm {A}F$​​$ $​在​$Rt\triangle AF D$​中，由勾股定理得​$DF=\sqrt {AD^2-AF^2}=\sqrt 3AF$​∵​$S_{\triangle ADF}=\frac 12\ \mathrm {A}F·DF=\frac {\sqrt 3}2\ \mathrm {A}F^2=2\sqrt 3$​解得​$AF = 2($​负值舍去​$)，$​即​$\odot O$​的半径为​$2$​∴​$\odot O$​的面积为​$\pi ×2^2=4\pi$​ ;