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3. 一个底面为正方形且面积为$100 cm^2$的无盖纸盒,盒子底部随意铺放着一张面积是$25 cm^2$的正方形红纸片,并要求：
①把盒子放置在一个地方,使甲、乙都看不到盒子底的红纸片的位置；
②乙向盒子里掷骰子；
③如果骰子落在红纸片上,乙加1分,否则甲加1分；
④乙投20次骰子,丙观察骰子的落点,并记录甲、乙两人得分,得分高的人获胜. 则：
(1)谁赢的可能性大？
(2)抛掷一次骰子落在红纸片上的可能性多大？
(3)这个游戏对甲、乙双方公平吗？说明你的理由.
①把盒子放置在一个地方,使甲、乙都看不到盒子底的红纸片的位置；
②乙向盒子里掷骰子；
③如果骰子落在红纸片上,乙加1分,否则甲加1分；
④乙投20次骰子,丙观察骰子的落点,并记录甲、乙两人得分,得分高的人获胜. 则：
(1)谁赢的可能性大？
(2)抛掷一次骰子落在红纸片上的可能性多大？
(3)这个游戏对甲、乙双方公平吗？说明你的理由.
答案
【解析】：
本题主要考察概率的计算以及游戏公平性的判断。
(1)要判断谁赢的可能性大，需要比较骰子落在红纸片上的概率和落在非红纸片上的概率。
(2)抛掷一次骰子落在红纸片上的可能性即求骰子落在红纸片上的概率，这可以通过计算红纸片的面积与盒子底面积的比值来得到。
(3)游戏公平性判断的依据是双方得分的机会是否均等，即骰子落在红纸片上的概率是否等于落在非红纸片上的概率。
接下来我们进行具体的计算：
首先，盒子底面为正方形，面积为$100 cm^2$，所以边长为$\sqrt{100} = 10 cm$。
红纸片也是正方形，面积为$25 cm^2$，所以边长为$\sqrt{25} = 5 cm$。
因此，红纸片面积占盒子底面积的比例为$\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$。
(1)由于骰子落在红纸片上的概率是$\frac{1}{4}$，落在非红纸片上的概率是$1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$，
因为$\frac{3}{4} ＞ \frac{1}{4}$，所以甲赢的可能性大。
(2)抛掷一次骰子落在红纸片上的可能性是$\frac{1}{4}$。
(3)这个游戏对甲、乙双方不公平。
因为骰子落在红纸片上的概率（$\frac{1}{4}$）小于落在非红纸片上的概率（$\frac{3}{4}$），
所以甲得分的机会大于乙，因此游戏不公平。
【答案】：
(1)甲赢的可能性大。
(2)抛掷一次骰子落在红纸片上的可能性是$\frac{1}{4}$。
(3)这个游戏对甲、乙双方不公平，因为骰子落在红纸片上的概率小于落在非红纸片上的概率。
本题主要考察概率的计算以及游戏公平性的判断。
(1)要判断谁赢的可能性大，需要比较骰子落在红纸片上的概率和落在非红纸片上的概率。
(2)抛掷一次骰子落在红纸片上的可能性即求骰子落在红纸片上的概率，这可以通过计算红纸片的面积与盒子底面积的比值来得到。
(3)游戏公平性判断的依据是双方得分的机会是否均等，即骰子落在红纸片上的概率是否等于落在非红纸片上的概率。
接下来我们进行具体的计算：
首先，盒子底面为正方形，面积为$100 cm^2$，所以边长为$\sqrt{100} = 10 cm$。
红纸片也是正方形，面积为$25 cm^2$，所以边长为$\sqrt{25} = 5 cm$。
因此，红纸片面积占盒子底面积的比例为$\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$。
(1)由于骰子落在红纸片上的概率是$\frac{1}{4}$，落在非红纸片上的概率是$1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$，
因为$\frac{3}{4} ＞ \frac{1}{4}$，所以甲赢的可能性大。
(2)抛掷一次骰子落在红纸片上的可能性是$\frac{1}{4}$。
(3)这个游戏对甲、乙双方不公平。
因为骰子落在红纸片上的概率（$\frac{1}{4}$）小于落在非红纸片上的概率（$\frac{3}{4}$），
所以甲得分的机会大于乙，因此游戏不公平。
【答案】：
(1)甲赢的可能性大。
(2)抛掷一次骰子落在红纸片上的可能性是$\frac{1}{4}$。
(3)这个游戏对甲、乙双方不公平，因为骰子落在红纸片上的概率小于落在非红纸片上的概率。
4. 在20张卡片上分别写1,2,3,…,20,然后把卡片放在一个不透明的布袋中搅匀,每次摸出一张卡片,记录下结果,然后放回袋中搅匀后再摸.
(1)把实验结果填入下面的表格中.
| 实验次数 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 | 160 | 180 | 200 |
| 出现5的倍数的频数 |
| 出现5的倍数的频率 |
(2)根据上表中的数据绘制出折线统计图.
(3)由图表你能发现什么规律？
(4)通过实验,你能知道每次从袋中抽出一张卡片,出现5的倍数的机会是多少？
(1)把实验结果填入下面的表格中.
| 实验次数 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 | 160 | 180 | 200 |
| 出现5的倍数的频数 |
4
| 7
| 10
| 14
| 18
| 21
| 25
| 28
| 31
| 35
|| 出现5的倍数的频率 |
20%
| 17.5%
| 16.7%
| 17.5%
| 18%
| 17.5%
| 17.9%
| 17.5%
| 17.2%
| 17.5%
|(2)根据上表中的数据绘制出折线统计图.
图略
(3)由图表你能发现什么规律？
随着实验次数的增加，出现5的倍数的频率逐渐稳定在20%附近
(4)通过实验,你能知道每次从袋中抽出一张卡片,出现5的倍数的机会是多少？
20%
答案
【解析】：本题主要考查了频率的稳定性和概率的计算。
（1）首先，需要统计在每次实验中，出现5的倍数的频数。
5的倍数在1到20中有4个，分别是5，10，15，20。
然后，根据频数计算频率，即频数除以实验次数。
对于实验次数20：
频数：在这20次中，假设出现了4次5的倍数（这个数值是假设的，实际实验中会有所不同）。
频率：$4 ÷ 20 × 100\%=20\%$。
对于实验次数40：
频数：假设出现了7次5的倍数（这个数值是假设的，实际实验中会有所不同）。
频率：$7 ÷ 40 × 100% \approx 17.5\%$。
以此类推，可以计算出其他实验次数的频数和频率。
这里给出一组可能的实验数据填充表格（实际数据会根据实验结果有所不同）：
| 实验次数 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 | 160 | 180 | 200 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 出现5的倍数的频数 | 4 | 7 | 10 | 14 | 18 | 21 | 25 | 28 | 31 | 35 |
| 出现5的倍数的频率 | $20\%$ | $17.5\%$ | $16.7\%$ | $17.5\%$ | $18\%$ | $17.5\%$ | $17.9\%$ | $17.5\%$ | $17.2\%$ | $17.5\%$ |
（2）根据上表中的数据，可以绘制出折线统计图。
图略。
（3）观察图表，可以发现随着实验次数的增加，出现5的倍数的频率逐渐稳定在某个值附近，这个值接近$20\%$（或$\frac{1}{5}$），因为1到20中有4个5的倍数，所以理论上出现5的倍数的概率是$\frac{4}{20} = 20\%$。
（4）通过实验，可以估计每次从袋中抽出一张卡片，出现5的倍数的机会（概率）是$20\%$（或$\frac{1}{5}$）。
【答案】：（1）数据见解析；（2）图略；（3）随着实验次数的增加，出现5的倍数的频率逐渐稳定在$20\%$附近；（4）$20\%$。
（1）首先，需要统计在每次实验中，出现5的倍数的频数。
5的倍数在1到20中有4个，分别是5，10，15，20。
然后，根据频数计算频率，即频数除以实验次数。
对于实验次数20：
频数：在这20次中，假设出现了4次5的倍数（这个数值是假设的，实际实验中会有所不同）。
频率：$4 ÷ 20 × 100\%=20\%$。
对于实验次数40：
频数：假设出现了7次5的倍数（这个数值是假设的，实际实验中会有所不同）。
频率：$7 ÷ 40 × 100% \approx 17.5\%$。
以此类推，可以计算出其他实验次数的频数和频率。
这里给出一组可能的实验数据填充表格（实际数据会根据实验结果有所不同）：
| 实验次数 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 | 160 | 180 | 200 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 出现5的倍数的频数 | 4 | 7 | 10 | 14 | 18 | 21 | 25 | 28 | 31 | 35 |
| 出现5的倍数的频率 | $20\%$ | $17.5\%$ | $16.7\%$ | $17.5\%$ | $18\%$ | $17.5\%$ | $17.9\%$ | $17.5\%$ | $17.2\%$ | $17.5\%$ |
（2）根据上表中的数据，可以绘制出折线统计图。
图略。
（3）观察图表，可以发现随着实验次数的增加，出现5的倍数的频率逐渐稳定在某个值附近，这个值接近$20\%$（或$\frac{1}{5}$），因为1到20中有4个5的倍数，所以理论上出现5的倍数的概率是$\frac{4}{20} = 20\%$。
（4）通过实验，可以估计每次从袋中抽出一张卡片，出现5的倍数的机会（概率）是$20\%$（或$\frac{1}{5}$）。
【答案】：（1）数据见解析；（2）图略；（3）随着实验次数的增加，出现5的倍数的频率逐渐稳定在$20\%$附近；（4）$20\%$。
