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1. 在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD\perp BC$于点$D$。若$\angle BAD = 20^{\circ}$，则$\angle C =$______$^{\circ}$。
答案
1. $70$
2. 如图，在等边三角形$ABC$中，$AB = 6$，$AD\perp BC$，$E$是$AC$上一点，$M$是$AD$上一点。若$AE = 2$，则$ME + MC$的最小值为______。
答案
$2\sqrt{7}$
3. 如图，在等腰三角形纸片$ABC$中，$AD\perp BC$于点$D$，$BC = 4$，$AD = 3$。沿$AD$剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，该平行四边形中较长的对角线的长为______。
答案
$2\sqrt{13}$
4. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle A = \alpha$，$D$是边$AC$上一点（点$D$不与点$A$，$C$重合），连接$BD$，将$BD$绕点$D$逆时针旋转$\alpha$，得到$DE$，连接$CE$。
(1) 如图①，当$\alpha = 90^{\circ}$时，猜想：$\angle BCE =$______$^{\circ}$，$CE$与$AD$之间的数量关系是______。（提示：过点$D$作$DF// AB$，交$BC$于点$F$，通过证明三角形全等可知。）
(2) 如图②，当$\alpha(0^{\circ} \lt \alpha \lt 180^{\circ})$为任意角时，猜想$\angle BCE$与$\angle A$之间的数量关系，并给出证明。
(3) 若$\alpha = 60^{\circ}$，$AC = 4$，且点$D$在射线$AC$上运动，当$\triangle BCE$是直角三角形时，求$BE$的长。
(1) 如图①，当$\alpha = 90^{\circ}$时，猜想：$\angle BCE =$______$^{\circ}$，$CE$与$AD$之间的数量关系是______。（提示：过点$D$作$DF// AB$，交$BC$于点$F$，通过证明三角形全等可知。）
(2) 如图②，当$\alpha(0^{\circ} \lt \alpha \lt 180^{\circ})$为任意角时，猜想$\angle BCE$与$\angle A$之间的数量关系，并给出证明。
(3) 若$\alpha = 60^{\circ}$，$AC = 4$，且点$D$在射线$AC$上运动，当$\triangle BCE$是直角三角形时，求$BE$的长。
答案
【解析】：
(1) 小题：
因为$AB = AC$，$\angle A = 90^{\circ}$，所以$\angle ABC=\angle ACB = 45^{\circ}$。
因为$DF// AB$，所以$\angle DFC=\angle ABC = 45^{\circ}$，$\angle ADF = 90^{\circ}$，则$\angle DFC=\angle DCF$，$DF = DC$。
由旋转知$BD = DE$，$\angle BDE=\angle A = 90^{\circ}$，所以$\angle ADB+\angle FDE = 90^{\circ}$，$\angle ADB+\angle ABD = 90^{\circ}$，则$\angle ABD=\angle FDE$。
又因为$\angle A=\angle DFE = 90^{\circ}$，$AB = AC$，$DF = DC$，所以$AD = CF$。
可证$\triangle ABD\cong\triangle FDE(AAS)$，则$AB = DF$，又$AB = AC$，$DF = DC$，所以$AC = DC$（矛盾，重新思考：利用$\triangle ABD$和$\triangle CDE$的关系）。
因为$\angle BDE=\angle A = 90^{\circ}$，$AB = AC$，$BD = DE$，$\angle ABD+\angle ADB = 90^{\circ}$，$\angle CDE+\angle ADB = 90^{\circ}$，所以$\angle ABD=\angle CDE$。
可证$\triangle ABD\cong\triangle CDE(SAS)$（$AB = AC$，$BD = DE$，$\angle ABD=\angle CDE$），则$AD = CE$，$\angle DCE=\angle A = 90^{\circ}$，$\angle BCE=\angle DCE+\angle ACB=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}$。
(2) 小题：
因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle ACB=\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}$。
因为$DF// AB$，所以$\angle DFC=\angle ABC$，则$\angle DFC=\angle DCF$，$DF = DC$。
由旋转知$BD = DE$，$\angle BDE=\angle A$。
$\angle ABD+\angle ADB = 180^{\circ}-\angle A$，$\angle CDE+\angle ADB = 180^{\circ}-\angle BDE = 180^{\circ}-\angle A$，所以$\angle ABD=\angle CDE$。
又$\angle A=\angle DFC$（$DF// AB$），可证$\triangle ABD\cong\triangle FDE(AAS)$（错误，重新：$\angle ABD+\angle ADB = 180^{\circ}-\angle A$，$\angle CDE+\angle ADB = 180^{\circ}-\angle BDE = 180^{\circ}-\angle A$，所以$\angle ABD=\angle CDE$，$AB = AC$，$BD = DE$）。
证$\triangle ABD\cong\triangle CDE(SAS)$，则$\angle DCE=\angle A$，所以$\angle BCE=\angle DCE+\angle ACB=\angle A+\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A$。
(3) 小题：
当$\alpha = 60^{\circ}$，$AB = AC$，所以$\triangle ABC$是等边三角形，$AB = BC = AC = 4$。
由(2)知$\triangle ABD\cong\triangle CDE$，所以$CE = AD$。
因为$\angle BCE = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A=90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}$（错误，重新：由(2) $\angle BCE = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A$，当$\angle A = 60^{\circ}$，$\angle BCE = 120^{\circ}$，当$\triangle BCE$是直角三角形，$\angle BEC = 30^{\circ}$或$\angle EBC = 30^{\circ}$）。
当$\angle BEC = 30^{\circ}$时，$BC = 4$，则$BE = 8$；当$\angle EBC = 30^{\circ}$时，过$C$作$CF\perp BE$于$F$，$\angle BCE = 120^{\circ}$，$\angle BCF = 60^{\circ}$，$BC = 4$，则$BF = 2\sqrt{3}$，$BE = 4\sqrt{3}$。
【答案】：
(1) $135$，$CE = AD$
(2) $\angle BCE = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A$
(3) $8$或$4\sqrt{3}$
(1) 小题：
因为$AB = AC$，$\angle A = 90^{\circ}$，所以$\angle ABC=\angle ACB = 45^{\circ}$。
因为$DF// AB$，所以$\angle DFC=\angle ABC = 45^{\circ}$，$\angle ADF = 90^{\circ}$，则$\angle DFC=\angle DCF$，$DF = DC$。
由旋转知$BD = DE$，$\angle BDE=\angle A = 90^{\circ}$，所以$\angle ADB+\angle FDE = 90^{\circ}$，$\angle ADB+\angle ABD = 90^{\circ}$，则$\angle ABD=\angle FDE$。
又因为$\angle A=\angle DFE = 90^{\circ}$，$AB = AC$，$DF = DC$，所以$AD = CF$。
可证$\triangle ABD\cong\triangle FDE(AAS)$，则$AB = DF$，又$AB = AC$，$DF = DC$，所以$AC = DC$（矛盾，重新思考：利用$\triangle ABD$和$\triangle CDE$的关系）。
因为$\angle BDE=\angle A = 90^{\circ}$，$AB = AC$，$BD = DE$，$\angle ABD+\angle ADB = 90^{\circ}$，$\angle CDE+\angle ADB = 90^{\circ}$，所以$\angle ABD=\angle CDE$。
可证$\triangle ABD\cong\triangle CDE(SAS)$（$AB = AC$，$BD = DE$，$\angle ABD=\angle CDE$），则$AD = CE$，$\angle DCE=\angle A = 90^{\circ}$，$\angle BCE=\angle DCE+\angle ACB=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}$。
(2) 小题：
因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle ACB=\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}$。
因为$DF// AB$，所以$\angle DFC=\angle ABC$，则$\angle DFC=\angle DCF$，$DF = DC$。
由旋转知$BD = DE$，$\angle BDE=\angle A$。
$\angle ABD+\angle ADB = 180^{\circ}-\angle A$，$\angle CDE+\angle ADB = 180^{\circ}-\angle BDE = 180^{\circ}-\angle A$，所以$\angle ABD=\angle CDE$。
又$\angle A=\angle DFC$（$DF// AB$），可证$\triangle ABD\cong\triangle FDE(AAS)$（错误，重新：$\angle ABD+\angle ADB = 180^{\circ}-\angle A$，$\angle CDE+\angle ADB = 180^{\circ}-\angle BDE = 180^{\circ}-\angle A$，所以$\angle ABD=\angle CDE$，$AB = AC$，$BD = DE$）。
证$\triangle ABD\cong\triangle CDE(SAS)$，则$\angle DCE=\angle A$，所以$\angle BCE=\angle DCE+\angle ACB=\angle A+\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A$。
(3) 小题：
当$\alpha = 60^{\circ}$，$AB = AC$，所以$\triangle ABC$是等边三角形，$AB = BC = AC = 4$。
由(2)知$\triangle ABD\cong\triangle CDE$，所以$CE = AD$。
因为$\angle BCE = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A=90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}$（错误，重新：由(2) $\angle BCE = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A$，当$\angle A = 60^{\circ}$，$\angle BCE = 120^{\circ}$，当$\triangle BCE$是直角三角形，$\angle BEC = 30^{\circ}$或$\angle EBC = 30^{\circ}$）。
当$\angle BEC = 30^{\circ}$时，$BC = 4$，则$BE = 8$；当$\angle EBC = 30^{\circ}$时，过$C$作$CF\perp BE$于$F$，$\angle BCE = 120^{\circ}$，$\angle BCF = 60^{\circ}$，$BC = 4$，则$BF = 2\sqrt{3}$，$BE = 4\sqrt{3}$。
【答案】：
(1) $135$，$CE = AD$
(2) $\angle BCE = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A$
(3) $8$或$4\sqrt{3}$
