1.杨帆家有一个长方体玻璃鱼缸，长是80厘米，宽是20厘米。他把买来的5条金鱼放入鱼缸后，发现水面上升了0.5厘米。平均每条金鱼的体积是多少立方厘米?

【解析】：本题可先根据长方体的体积公式求出$5$条金鱼的总体积，再通过除法运算求出平均每条金鱼的体积。
**步骤一：计算$5$条金鱼的总体积**
把$5$条金鱼放入鱼缸后，水面上升了$0.5$厘米，上升的这部分水的体积就是$5$条金鱼的总体积。
已知鱼缸为长方体，根据长方体的体积公式$V = a× b× h$（其中$V$为体积，$a$为长，$b$为宽，$h$为高），可得上升的这部分水的体积（即$5$条金鱼的总体积）为：
$80×20×0.5 = 800$（立方厘米）
**步骤二：计算平均每条金鱼的体积**
用$5$条金鱼的总体积除以金鱼的条数$5$，即可得到平均每条金鱼的体积：
$800÷5 = 160$（立方厘米）
【答案】：$160$

2.加工一个长是2.5分米、宽是1.6分米、高是3分米的长方体铁皮油桶，至少要用多少平方分米铁皮?(不计损耗)这个油桶能盛油多少立方分米?

【解析】：
1. 首先求制作油桶需要的铁皮面积，即求长方体的表面积：
长方体表面积公式为$S=(ab + ah+bh)×2$，其中$a$为长，$b$为宽，$h$为高。
已知$a = 2.5$分米，$b = 1.6$分米，$h = 3$分米，将其代入公式可得：
$S=(2.5×1.6 + 2.5×3+1.6×3)×2$
先计算括号内的值：
$2.5×1.6 = 4$，$2.5×3 = 7.5$，$1.6×3 = 4.8$。
则括号内的值为$4 + 7.5+4.8=16.3$。
再计算$16.3×2 = 32.6$平方分米。
2. 然后求油桶能盛油的体积：
长方体体积公式为$V = abh$。
把$a = 2.5$分米，$b = 1.6$分米，$h = 3$分米代入公式可得：
$V=2.5×1.6×3$
先计算$2.5×1.6 = 4$，再计算$4×3 = 12$立方分米。
【答案】：32.6平方分米；12立方分米

下图是一系列的圆，在这一系列的圆上依次有1，2，3，4，5，6……个黑点。在同一个圆上，每个黑点与其他的黑点相连接，把该圆分割成若干块。第一个圆只有一个黑点，没有其他点可以连接，因而仍为1块。随着圆上点数的增加，所分割的块数也随之增加：2，4，8，16……这些数已标在相应圆的下方。
第六个圆下方的“?”应是什么数字?

【解析】：通过观察前面圆的点数与分割块数的规律，容易让人误以为是$2^{n - 1}$（$n$为点数）的规律，但这是一个思维陷阱。实际上，当圆上有$6$个点时，我们可以通过实际的组合原理来计算分割块数。从$6$个点中选$4$个点构成一个四边形，其对角线的交点会增加分割块数，再加上由边构成的区域。根据组合数学公式$C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n - k)!}$，$C_{6}^4=\frac{6!}{4!(6 - 4)!}=\frac{6×5}{2×1}=15$，再加上$C_{6}^2=\frac{6!}{2!(6 - 2)!}=\frac{6×5}{2×1}=15$（表示边的组合数），再加上$1$（圆本身），即$1 + C_{6}^2+C_{6}^4=1 + 15+15 = 31$。也可以通过实际画图去数分割块数，发现是$31$块。
【答案】：$31$