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1. 已知点P不在$\odot O$上.若点P到$\odot O$上的点的最小距离是4cm,最大距离是9cm,则$\odot O$的半径为.
答案
2.5cm或6.5cm
解析
当点P在⊙O外部时，设半径为r，点P到圆心距离为d，则d - r = 4，d + r = 9，解得r = 2.5cm；当点P在⊙O内部时，r - d = 4，d + r = 9，解得r = 6.5cm。
2. 在半径为$\sqrt{5}$的$\odot O$中,弦$AB\perp CD$,垂足为P,$AB = CD = 4$,则$S_{\triangle ACP}=$.
答案
1/2或3/2或9/2
解析
过圆心O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC。由垂径定理得AM=AB/2=2，CN=CD/2=2。在Rt△AOM中，OM=√(OA²-AM²)=√((√5)²-2²)=1，同理ON=1。因AB⊥CD，四边形OMPN为矩形，故PM=ON=1，PN=OM=1。则PA=AM±PM=2±1=3或1，PC=CN±PN=2±1=3或1。△ACP为直角三角形（∠APC=90°），面积S=1/2×PA×PC。当PA=1,PC=1时，S=1/2；PA=1,PC=3或PA=3,PC=1时，S=3/2；PA=3,PC=3时，S=9/2。
3. (2023·绥化)已知P是$\odot O$外一点.
(1)尺规作图:如图,过点P作出$\odot O$的两条切线PE、PF,切点分别为E、F(保留作图痕迹,不要求写作法和证明);
(2)在(1)的条件下,若点D在$\odot O$上(点D不与E、F两点重合),且$\angle EPF = 30^{\circ}$,则$\angle EDF$的度数为.
(1)尺规作图:如图,过点P作出$\odot O$的两条切线PE、PF,切点分别为E、F(保留作图痕迹,不要求写作法和证明);
(2)在(1)的条件下,若点D在$\odot O$上(点D不与E、F两点重合),且$\angle EPF = 30^{\circ}$,则$\angle EDF$的度数为.
答案
解：(1)如图所示，PE、PF即为所求作的图形
(2) 75°或105°
解析：
(2)连接OE、OF，
∵PE、PF是⊙O的切线，
∴OE⊥PE，OF⊥PF，∠OEP=∠OFP=90°。在四边形OEPF中，∠EPF=30°，
∴∠EOF=360°-90°-90°-30°=150°。当点D在优弧EF上时，∠EDF=1/2∠EOF=75°；当点D在劣弧EF上时，∠EDF=1/2(360°-∠EOF)=105°。综上，∠EDF=75°或105°。
4. 如图,$\odot O$的半径为1,P为$\odot O$外的一点,PA与$\odot O$相切于点A,$PA = 1$.若AB是$\odot O$的弦,且$AB=\sqrt{2}$,则PB的长为 ()
A.1
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.1或$\sqrt{5}$
A.1
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.1或$\sqrt{5}$
答案
D
解析
以O为原点建立坐标系，设A(1,0)，因PA切⊙O于A，OA⊥PA，PA=1，故P(1,1)。⊙O半径为1，AB=√2，由弦长公式得B点坐标为(0,1)或(0,-1)。
当B(0,1)时，PB=√[(1-0)²+(1-1)²]=1；
当B(0,-1)时，PB=√[(1-0)²+(1+1)²]=√5。
故PB长为1或√5。
当B(0,1)时，PB=√[(1-0)²+(1-1)²]=1；
当B(0,-1)时，PB=√[(1-0)²+(1+1)²]=√5。
故PB长为1或√5。
5. 若$\odot O$的半径为17cm,弦$AB// CD$,且$AB = 30cm,CD = 16cm$,则AB与CD之间的距离为cm.
答案
7或23
解析
过圆心O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OA，OC。
∵AB=30cm，∴AE=15cm；∵CD=16cm，∴CF=8cm。
在Rt△AOE中，OA=17cm，OE=√(OA²-AE²)=√(17²-15²)=8cm；
在Rt△COF中，OC=17cm，OF=√(OC²-CF²)=√(17²-8²)=15cm。
当AB、CD在圆心同侧时，距离为OF-OE=15-8=7cm；
当AB、CD在圆心两侧时，距离为OF+OE=15+8=23cm。
∵AB=30cm，∴AE=15cm；∵CD=16cm，∴CF=8cm。
在Rt△AOE中，OA=17cm，OE=√(OA²-AE²)=√(17²-15²)=8cm；
在Rt△COF中，OC=17cm，OF=√(OC²-CF²)=√(17²-8²)=15cm。
当AB、CD在圆心同侧时，距离为OF-OE=15-8=7cm；
当AB、CD在圆心两侧时，距离为OF+OE=15+8=23cm。
6. 已知$\odot O$的直径$CD = 10$,AB是$\odot O$的弦,$AB\perp CD$,垂足为M.若$OM:OC = 3:5$,求弦AC的长.
答案
情况一：点M在OC上
∵CD为直径，CD=10，∴OC=5。
∵OM:OC=3:5，∴OM=3。
∵M在OC上，∴MC=OC-OM=5-3=2。
∵AB⊥CD，垂足为M，连接OA，OA=5（半径），
在Rt△OAM中，AM²=OA²-OM²=5²-3²=16，∴AM=4。
在Rt△AMC中，AC²=AM²+MC²=4²+2²=20，∴AC=2√5。
情况二：点M在OD上
∵CD为直径，CD=10，∴OC=5。
∵OM:OC=3:5，∴OM=3。
∵M在OD上，∴MC=OC+OM=5+3=8。
由情况一知AM=4。
在Rt△AMC中，AC²=AM²+MC²=4²+8²=80，∴AC=4√5。
综上，弦AC的长为2√5或4√5。
∵CD为直径，CD=10，∴OC=5。
∵OM:OC=3:5，∴OM=3。
∵M在OC上，∴MC=OC-OM=5-3=2。
∵AB⊥CD，垂足为M，连接OA，OA=5（半径），
在Rt△OAM中，AM²=OA²-OM²=5²-3²=16，∴AM=4。
在Rt△AMC中，AC²=AM²+MC²=4²+2²=20，∴AC=2√5。
情况二：点M在OD上
∵CD为直径，CD=10，∴OC=5。
∵OM:OC=3:5，∴OM=3。
∵M在OD上，∴MC=OC+OM=5+3=8。
由情况一知AM=4。
在Rt△AMC中，AC²=AM²+MC²=4²+8²=80，∴AC=4√5。
综上，弦AC的长为2√5或4√5。
