7. 如图,某下水管道的横截面为圆形,直径为100cm,下雨前水面宽60cm.若一场大雨过后,水面宽80cm,求水面上升的高度.

解：
设圆的半径为 $ r = 50\,cm $，圆心为 $ O $。
下雨前水面宽 $ 60\,cm $：
弦长一半为 $ 30\,cm $，设弦心距为 $ d_1 $。
由垂径定理：$ d_1^2 + 30^2 = 50^2 $，
解得 $ d_1 = 40\,cm $（圆心到水面距离）。
雨后水面宽 $ 80\,cm $：
弦长一半为 $ 40\,cm $，设弦心距为 $ d_2 $。
由垂径定理：$ d_2^2 + 40^2 = 50^2 $，
解得 $ d_2 = 30\,cm $（圆心到水面距离）。
水面上升高度分两种情况：
1. 雨后水面在圆心下方：
原水面距圆心 $ 40\,cm $，雨后距圆心 $ 30\,cm $，
上升高度：$ 40 - 30 = 10\,cm $。
2. 雨后水面在圆心上方：
原水面距圆心 $ 40\,cm $（下方），雨后距圆心 $ 30\,cm $（上方），
上升高度：$ 40 + 30 = 70\,cm $。
结论：水面上升的高度为 $ 10\,cm $ 或 $ 70\,cm $。
$\boxed{10\,cm 或 70\,cm}$

8. 如图,将半径为2的圆形纸片沿半径OA、OB裁成弧长之比为$1:3$的两部分,用所得的扇形围成圆锥的侧面,则圆锥底面圆的半径为 ()

A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.1或3
D.$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$

D

圆形纸片半径为2，周长为$2\pi×2=4\pi$。弧长之比为$1:3$，则两扇形弧长分别为$4\pi×\frac{1}{4}=\pi$和$4\pi×\frac{3}{4}=3\pi$。设圆锥底面圆半径为$r$，由扇形弧长等于圆锥底面周长，得：
当弧长为$\pi$时，$2\pi r=\pi$，解得$r=\frac{1}{2}$；
当弧长为$3\pi$时，$2\pi r=3\pi$，解得$r=\frac{3}{2}$。
故半径为$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$。

9. 已知一条弦将圆分为$1:4$的两部分,则这条弦所对的圆周角的度数为.

36°或144°

∵弦将圆分为1:4的两部分，∴劣弧度数为360°×(1/5)=72°，优弧度数为360°×(4/5)=288°。
劣弧所对圆周角为72°÷2=36°，优弧所对圆周角为288°÷2=144°。

10. 已知$\odot O$的直径$AB = 2$,弦$AC=\sqrt{2}$,则弦AC所对的圆周角的度数为.

$45{°}$或$135{°}$（填写度数即可，一般先写小的角度）

连接$BC$，由于$AB$是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角是直角，所以$\angle C = 90{°}$（$C$为圆上一点，且$AC$，$BC$为弦）。
已知$AB = 2$，$AC = \sqrt{2}$，可以利用勾股定理求出$BC$的长度：
$BC = \sqrt{AB^{2} - AC^{2}} = \sqrt{2^{2} - (\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{2}$，
由于$AC = BC$，所以$\triangle ABC$是等腰直角三角形，因此$\angle BAC = 45{°}$。
弦$AC$所对的圆周角有两种情况，一种是上述的$45{°}$，另一种是其补角，即$180{°} - 45{°} = 135{°}$。

11. 如图,$\odot O$的直径为20,弦AB的长为10,求弦AB所对的圆周角的度数.

30°或150°

连接OA、OB，∵⊙O直径为20，∴半径OA=OB=10。
∵AB=10，∴OA=OB=AB，△OAB为等边三角形，∠AOB=60°。
劣弧AB所对圆周角：∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×60°=30°（C在劣弧AB上）。
优弧AB所对圆周角：优弧AB所对圆心角=360°-60°=300°，∠ADB=$\frac{1}{2}$×300°=150°（D在优弧AB上）。
弦AB所对圆周角的度数为30°或150°。

12. 已知$\odot O$是$\triangle ABC$的外接圆,$OD\perp BC$于点D,且$\angle BOD = 48^{\circ}$,则$\angle BAC$的度数为 ()

A.$48^{\circ}$
B.$132^{\circ}$
C.$48^{\circ}$或$132^{\circ}$
D.$24^{\circ}$或$156^{\circ}$

C

∵OD⊥BC，O为圆心，∴OD平分弧BC（垂径定理），则弧BD=弧DC。
∵∠BOD=48°，∴弧BD的度数为48°，故弧BC的度数=2×弧BD=96°（劣弧BC）。
优弧BC的度数=360°-96°=264°。
∠BAC为圆周角，若点A在劣弧BC所对圆周上，∠BAC=劣弧BC度数的一半=96°÷2=48°；
若点A在优弧BC所对圆周上，∠BAC=优弧BC度数的一半=264°÷2=132°。
综上，∠BAC=48°或132°。

13. 已知点O为$\triangle ABC$的外心.若$\angle BOC = 130^{\circ}$,则$\angle BAC$的度数为.

65°或115°

∵点O为△ABC的外心，∴O是△ABC外接圆的圆心，∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角。
当点A在优弧BC上时，∠BAC=1/2∠BOC=1/2×130°=65°；
当点A在劣弧BC上时，优弧BC所对的圆心角为360°-130°=230°，此时∠BAC=1/2×230°=115°。
综上，∠BAC的度数为65°或115°。

14. 如图,在$\triangle ABC$中,$AC = 2,BC = 4$,点O在BC上,以OB为半径的圆与AC相切于点A.设D是边BC上的动点,当$\triangle ACD$为直角三角形时,AD的长为.

$\frac{3}{2}$或$\frac{6}{5}$

设圆的半径为$r$，则$OB=OA=r$，$OC=BC - OB=4 - r$。
因为圆与$AC$相切于$A$，所以$OA \perp AC$。在$Rt\triangle OAC$中，由勾股定理得$OA^2 + AC^2 = OC^2$，即$r^2 + 2^2 = (4 - r)^2$，解得$r = \frac{3}{2}$，故$OA = \frac{3}{2}$，$OC = \frac{5}{2}$。
以$C$为原点，$BC$为$x$轴，建立坐标系：$C(0,0)$，$B(4,0)$，$A\left(\frac{8}{5},\frac{6}{5}\right)$，$D(d,0)$（$d \in [0,4]$）。
情况1：$\angle ADC = 90°$（$D$为直角顶点）
此时$AD \perp BC$，$D$与$A$横坐标相同，即$d = \frac{8}{5}$，$AD = \frac{6}{5}$。
情况2：$\angle CAD = 90°$（$A$为直角顶点）
此时$AD \perp AC$，$D$与$O$重合（$O\left(\frac{5}{2},0\right)$），$AD = OA = \frac{3}{2}$。
综上，$AD$的长为$\frac{6}{5}$或$\frac{3}{2}$。