教材母题 (教材 $P_{22}T_{9}$ 变式)如图,某农场有一块长 40 m,宽 32 m 的矩形种植地,为方便管理,准备沿平行于两边的方向纵,横各修建一条等宽的小路,要使种植面积为 $1140m^{2}$,求小路的宽.

解：设小路的宽为 $ x $ m，依题意，得
$ (40 - x)(32 - x) = 1140 $，
整理，得 $ x^{2} - 72x + 140 = 0 $，
解得 $ x_{1} = 2 $，$ x_{2} = 70 $（不合题意，舍去）。
答：小路的宽是 $ 2 $ m。

【教材变式 1】 如图,某小区有一块长为 18 米,宽为 6 米的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,两块绿地之间及周边要留有宽度相等的人行道.若绿地面积是整个矩形空地面积的$\frac {5}{9}$,求人行道的宽.

解：设人行道的宽为 $ x $ 米，由题意，
得 $ (18 - 3x)(6 - 2x) = \frac{5}{9} \times 18 \times 6 $，
整理，得 $ x^{2} - 9x + 8 = 0 $，
解得 $ x_{1} = 1 $，$ x_{2} = 8 $。
$ \because \begin{cases} 18 - 3x ＞ 0, \\ 6 - 2x ＞ 0, \\ x ＞ 0, \end{cases} $ $ \therefore 0 ＜ x ＜ 3 $，$ \therefore x = 1 $。
答：人行道的宽为 $ 1 $ 米。

【教材变式 2】 小明决定自己设计一个画轴,如图,画轴长为 20 cm,宽 10 cm,正中央是一个与整个画轴长、宽比例相同的矩形.如果四周边衬所占的面积是整个画轴面积的$\frac {9}{25}$,且上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,求左、右边衬的宽.

解：设正中央的矩形宽为 $ x $ cm，
则长为 $ 2x $ cm，依题意，得 $ 2x \cdot x = 20 \times 10 \times (1 - \frac{9}{25}) $，
解得 $ x_{1} = 8 $，$ x_{2} = -8 $（不符合题意，舍去），$ (20 - 16) \div 2 = 2 $（cm）。
答：左、右边衬的宽为 $ 2 $ cm。

【教材变式 3】 如图,若要建一个长方形鸡场,鸡场的一边靠墙,墙对面有一个 2 米宽的门,另三边用竹篱笆围成,篱笆总长 33 米.围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.
(1)若墙长为 18 米,要围成的鸡场的面积为 150 平方米,则鸡场的长和宽各为多少米?
(2)围成的鸡场的面积可能达到 200 平方米吗? 请说明理由;
(3)设墙长为 m 米.若要确保能建面积为 150 平方米的两种长宽不同的长方形鸡场,则 m 的最小值是____(直接写出结果).

解：（1）设垂直于墙的边长为 $ x $ 米，
由题意，得 $ x(33 - 2x + 2) = 150 $，
解得 $ x_{1} = 10 $，$ x_{2} = 7.5 $，
当 $ x = 10 $ 时，
$ 33 - 2x + 2 = 15 ＜ 18 $；
当 $ x = 7.5 $ 时，
$ 33 - 2x + 2 = 20 ＞ 18 $（舍去），
$ \therefore $ 鸡场的长为 $ 15 $ 米，宽为 $ 10 $ 米；
（2）设垂直于墙的一边长为 $ x $ 米，
由题意，得 $ x(33 - 2x + 2) = 200 $，
即 $ 2x^{2} - 35x + 200 = 0 $，
$ \Delta = (-35)^{2} - 4 \times 2 \times 200 $
$ = 1225 - 1600 ＜ 0 $，
方程没有实数解，
$ \therefore $ 鸡场面积不可能达到 $ 200 $ 平方米；
（3）由（1）知，当宽为 $ 7.5 $ 米，长为 $ 20 $ 米或宽为 $ 10 $ 米，长为 $ 15 $ 米时，
鸡场的面积为 $ 150 $ 平方米，
$ \therefore m \geq 20 $，即 $ m $ 的最小值为 $ 20 $。