9.（1）（2023·安徽改编）如图①，在7×6的网格中，△ABC的顶点均在格点上.借助网格特征，只利用直尺画出直线l，使得直线l垂直平分AB.
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠B=90°.求作点P，使点P在△ABC内部，且PB=PC，∠PBC=45°（不写作法，保留作图痕迹）.
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠B=90°.求作点P，使点P在△ABC内部，且PB=PC，∠PBC=45°（不写作法，保留作图痕迹）.
答案
9.(1)如图①，直线l即为所求 (2)如图②，点P即为所求
10. 如图，在△ABC中，∠B=∠C，点P，Q，R分别在边AB，BC，AC上，且PB=QC，QB=RC.求证：点Q在PR的垂直平分线上.
答案
10.在△BPQ和△CQR中，$\begin{cases}PB = QC,\\∠B = ∠C,\\QB = RC,\end{cases}$
∴△BPQ≌△CQR(SAS)，
∴QP = RQ，
∴点Q在PR的垂直平分线上
∴△BPQ≌△CQR(SAS)，
∴QP = RQ，
∴点Q在PR的垂直平分线上
11. 如图，D是△ABC的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，EF与AB的延长线交于点F，EF//BC.设点O在AD上，且AO=CO.求证：O是△ABC三边的垂直平分线的交点.
答案
11.如图，连接BO.
∵AE⊥EF，
∴∠E = 90°.
∵EF//BC，
∴∠ADB = ∠E = 90°，
∴AD⊥BC.
∵D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，即点O在BC的垂直平分线上，
∴BO = CO.
∵AO = CO，
∴点O在AC的垂直平分线上，BO = AO，
∴点O在AB的垂直平分线上，
∴O是△ABC三边的垂直平分线的交点
12.（教材P41习题第9题变式）如图，过△ABC的边AC的垂直平分线MN上的点M，作△ABC的另外两边AB，BC所在直线的垂线，垂足分别为D，E，AD=CE，作射线BM.求证：BM平分∠ABC.
答案
12.连接MA，MC.
∵点M在AC的垂直平分线上，
∴MA = MC.
∵MD⊥AD，ME⊥BC，
∴∠ADM = ∠CEM = 90°.在Rt△MAD和Rt△MCE中，$\begin{cases}MA = MC,\\AD = CE,\end{cases}$
∴Rt△MAD≌Rt△MCE(HL)，
∴MD = ME.又
∵MD⊥BA，ME⊥BC，
∴点M在∠ABC的平分线上，即BM平分∠ABC
∵点M在AC的垂直平分线上，
∴MA = MC.
∵MD⊥AD，ME⊥BC，
∴∠ADM = ∠CEM = 90°.在Rt△MAD和Rt△MCE中，$\begin{cases}MA = MC,\\AD = CE,\end{cases}$
∴Rt△MAD≌Rt△MCE(HL)，
∴MD = ME.又
∵MD⊥BA，ME⊥BC，
∴点M在∠ABC的平分线上，即BM平分∠ABC
