1. 到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的(
A.三条高的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条边的垂直平分线的交点
D
)A.三条高的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条边的垂直平分线的交点
答案
1.D
2. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF，交AD于点O.有下列三个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③AE+DF=AF+DE.其中，一定正确的是(
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
C
)A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
2.C
解析
证明：
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线性质）。
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l} AD=AD \\ DE=DF \end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，∠ADE=∠ADF。
②AD⊥EF：
∵AE=AF，AD平分∠BAC，
∴AD⊥EF（等腰三角形三线合一），②正确。
③AE+DF=AF+DE：
∵AE=AF，DE=DF，
∴AE+DF=AF+DE，③正确。
①OA=OD：无法由已知条件推出，①错误。
综上，正确的是②③。
答案：C
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线性质）。
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l} AD=AD \\ DE=DF \end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，∠ADE=∠ADF。
②AD⊥EF：
∵AE=AF，AD平分∠BAC，
∴AD⊥EF（等腰三角形三线合一），②正确。
③AE+DF=AF+DE：
∵AE=AF，DE=DF，
∴AE+DF=AF+DE，③正确。
①OA=OD：无法由已知条件推出，①错误。
综上，正确的是②③。
答案：C
3. 如图，在△ABC中，∠BAC和∠ACB的平分线交于点O，连接OB.若AB=6，BC=9，△ABO的面积为6，则△BCO的面积为(
A.9
B.18
C.13.5
D.54
A
)A.9
B.18
C.13.5
D.54
答案
3.A
解析
证明：过点O作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E。
∵AO平分∠BAC，CO平分∠ACB，
∴点O到AB、BC、AC的距离相等，即OD=OE。
∵S△ABO=$\frac{1}{2}$×AB×OD=6，AB=6，
∴$\frac{1}{2}$×6×OD=6，解得OD=2，故OE=2。
∴S△BCO=$\frac{1}{2}$×BC×OE=$\frac{1}{2}$×9×2=9。
答案：A
∵AO平分∠BAC，CO平分∠ACB，
∴点O到AB、BC、AC的距离相等，即OD=OE。
∵S△ABO=$\frac{1}{2}$×AB×OD=6，AB=6，
∴$\frac{1}{2}$×6×OD=6，解得OD=2，故OE=2。
∴S△BCO=$\frac{1}{2}$×BC×OE=$\frac{1}{2}$×9×2=9。
答案：A
4. 如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB的度数为(
A.30°
B.35°
C.45°
D.60°
B
)A.30°
B.35°
C.45°
D.60°
答案
4.B 解析:过点M作MN⊥AD于点N.
∵∠B = ∠C = 90°，
∴∠B + ∠C = 180°，
∴DC//AB，
∴∠ADC + ∠DAB = 180°.
∵∠ADC = 110°，
∴∠DAB = 70°.
∵DM平分∠ADC，∠C = 90°，MN⊥AD，
∴MC = MN.又
∵M是BC的中点，
∴MC = MB，
∴MN = MB.又
∵MN⊥AD，∠B = 90°，
∴AM平分∠DAB，
∴∠MAB = $\frac{1}{2}$∠DAB = 35°.
∵∠B = ∠C = 90°，
∴∠B + ∠C = 180°，
∴DC//AB，
∴∠ADC + ∠DAB = 180°.
∵∠ADC = 110°，
∴∠DAB = 70°.
∵DM平分∠ADC，∠C = 90°，MN⊥AD，
∴MC = MN.又
∵M是BC的中点，
∴MC = MB，
∴MN = MB.又
∵MN⊥AD，∠B = 90°，
∴AM平分∠DAB，
∴∠MAB = $\frac{1}{2}$∠DAB = 35°.
5. 如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=7，DE=2，则△BCE的面积为
7
.答案
5.7
解析
证明：过点E作EF⊥BC于点F。
∵BE平分∠ABC，CD是边AB上的高，EF⊥BC，
∴EF=DE=2。
∵BC=7，
∴△BCE的面积为$\frac{1}{2} × BC × EF = \frac{1}{2} × 7 × 2 = 7$。
7
∵BE平分∠ABC，CD是边AB上的高，EF⊥BC，
∴EF=DE=2。
∵BC=7，
∴△BCE的面积为$\frac{1}{2} × BC × EF = \frac{1}{2} × 7 × 2 = 7$。
7
6. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为E，请写出图中所有相等的线段：
BC = BE = EA，CD = ED，BD = AD
.答案
6.BC = BE = EA，CD = ED，BD = AD
7. 如图，在Rt△ABC的内部取一点O，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N.若∠ACB=60°，且OM=ON，则∠MOB的度数为
75°
.答案
7.75°
解析
解：连接BO。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB=60°，则∠ABC=30°。
∵OM⊥AB，ON⊥BC，OM=ON，
∴BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO=15°。
在Rt△OMB中，∠OMB=90°，
∴∠MOB=90°-∠ABO=90°-15°=75°。
75°
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB=60°，则∠ABC=30°。
∵OM⊥AB，ON⊥BC，OM=ON，
∴BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO=15°。
在Rt△OMB中，∠OMB=90°，
∴∠MOB=90°-∠ABO=90°-15°=75°。
75°
8.(新考法·结论开放题)如图，∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP交于点P，过点P作PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M，N.有下列结论：①CP平分∠ACF；②∠ABC+∠APC=180°；③AM+CN=AC；④∠BAC=2∠BPC.其中，正确的是
①③④
(填序号).答案
8.①③④
解析
证明：①过点P作PD⊥AC于点D.
∵AP平分∠EAC，PM⊥BE，PD⊥AC，
∴PM=PD.
∵BP平分∠ABC，PN⊥BF，PM⊥BE，
∴PM=PN.
∴PD=PN.
∵PD⊥AC，PN⊥BF，
∴CP平分∠ACF.①正确.
③
∵PM=PD，AP=AP，∠PMA=∠PDA=90°，
∴Rt△PMA≌Rt△PDA(HL).
∴AM=AD.
同理，Rt△PDC≌Rt△PNC(HL)，
∴CN=CD.
∵AC=AD+CD，
∴AM+CN=AC.③正确.
④设∠ABP=∠CBP=x，∠ACP=∠FCP=y.
则∠BAC=∠AFC+∠ABC=2y+2x.
∠BPC=180°-x-y，
∴2∠BPC=2(180°-x-y)=360°-2x-2y.
∵∠BAC=2x+2y，
∴∠BAC=360°-2∠BPC.
又
∵∠BAC+∠FAC=180°，∠FAC=2∠PAC，∠PAC=90°-∠PAM，
∠PAM=90°-∠APM，∠APM=∠BPC，
∴∠BAC=2∠BPC.④正确.
②∠ABC=2x，∠APC=180°-∠PAC-∠ACP=180°-(90°-x)-y=90°+x-y.
∠ABC+∠APC=2x+90°+x-y=90°+3x-y.
∵x，y大小不确定，
∴∠ABC+∠APC不一定为180°.②错误.
正确的是①③④.
①③④
∵AP平分∠EAC，PM⊥BE，PD⊥AC，
∴PM=PD.
∵BP平分∠ABC，PN⊥BF，PM⊥BE，
∴PM=PN.
∴PD=PN.
∵PD⊥AC，PN⊥BF，
∴CP平分∠ACF.①正确.
③
∵PM=PD，AP=AP，∠PMA=∠PDA=90°，
∴Rt△PMA≌Rt△PDA(HL).
∴AM=AD.
同理，Rt△PDC≌Rt△PNC(HL)，
∴CN=CD.
∵AC=AD+CD，
∴AM+CN=AC.③正确.
④设∠ABP=∠CBP=x，∠ACP=∠FCP=y.
则∠BAC=∠AFC+∠ABC=2y+2x.
∠BPC=180°-x-y，
∴2∠BPC=2(180°-x-y)=360°-2x-2y.
∵∠BAC=2x+2y，
∴∠BAC=360°-2∠BPC.
又
∵∠BAC+∠FAC=180°，∠FAC=2∠PAC，∠PAC=90°-∠PAM，
∠PAM=90°-∠APM，∠APM=∠BPC，
∴∠BAC=2∠BPC.④正确.
②∠ABC=2x，∠APC=180°-∠PAC-∠ACP=180°-(90°-x)-y=90°+x-y.
∠ABC+∠APC=2x+90°+x-y=90°+3x-y.
∵x，y大小不确定，
∴∠ABC+∠APC不一定为180°.②错误.
正确的是①③④.
①③④
