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在同一坐标系中画出一次函数$y_{1}=-x + 1$与$y_{2}=2x - 2$的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）写出直线$y_{1}=-x + 1$与$y_{2}=2x - 2$的交点$P$的坐标.
（2）求$x$的取值范围：①$y_{1}＞y_{2}$；②$y_{1}=y_{2}$；③$y_{1}＜y_{2}$.
（1）写出直线$y_{1}=-x + 1$与$y_{2}=2x - 2$的交点$P$的坐标.
（2）求$x$的取值范围：①$y_{1}＞y_{2}$；②$y_{1}=y_{2}$；③$y_{1}＜y_{2}$.
答案
（1）$ (1, 0) $
（2）① $ x ＜ 1 $；② $ x = 1 $；③ $ x ＞ 1 $
解析
图象绘制步骤：
1. 绘制 $ y_1 = -x + 1 $
当 $ x = 0 $ 时，$ y_1 = 1 $，得点 $ (0, 1) $；
当 $ y_1 = 0 $ 时，$ x = 1 $，得点 $ (1, 0) $；
连接两点得直线 $ y_1 $。
2. 绘制 $ y_2 = 2x - 2 $
当 $ x = 0 $ 时，$ y_2 = -2 $，得点 $ (0, -2) $；
当 $ y_2 = 0 $ 时，$ x = 1 $，得点 $ (1, 0) $；
连接两点得直线 $ y_2 $。
（1）交点 $ P $ 的坐标
联立方程：
$\begin{cases}y = -x + 1 \\y = 2x - 2\end{cases}$
解得 $ x = 1 $，$ y = 0 $，故 $ P(1, 0) $。
（2）$ x $ 的取值范围
① $ y_1 ＞ y_2 $：$ x ＜ 1 $；
② $ y_1 = y_2 $：$ x = 1 $；
③ $ y_1 ＜ y_2 $：$ x ＞ 1 $。
1. 绘制 $ y_1 = -x + 1 $
当 $ x = 0 $ 时，$ y_1 = 1 $，得点 $ (0, 1) $；
当 $ y_1 = 0 $ 时，$ x = 1 $，得点 $ (1, 0) $；
连接两点得直线 $ y_1 $。
2. 绘制 $ y_2 = 2x - 2 $
当 $ x = 0 $ 时，$ y_2 = -2 $，得点 $ (0, -2) $；
当 $ y_2 = 0 $ 时，$ x = 1 $，得点 $ (1, 0) $；
连接两点得直线 $ y_2 $。
（1）交点 $ P $ 的坐标
联立方程：
$\begin{cases}y = -x + 1 \\y = 2x - 2\end{cases}$
解得 $ x = 1 $，$ y = 0 $，故 $ P(1, 0) $。
（2）$ x $ 的取值范围
① $ y_1 ＞ y_2 $：$ x ＜ 1 $；
② $ y_1 = y_2 $：$ x = 1 $；
③ $ y_1 ＜ y_2 $：$ x ＞ 1 $。
合作学习
一种节能灯的功率为$10$瓦（$0.01$千瓦），售价为$60$元；一种白炽灯的功率为$60$瓦，售价为$3$元. 两种灯的照明效果一样，使用寿命也相同（$3000$小时以上）. 如果电费价格为$0.5$元/千瓦·时，消费者选用哪种灯可以节省费用？
思考：
（1）要节省费用，需要考虑哪些因素？
（2）若设照明时间为$x$小时，分别写出使用两种灯的总费用$y_{1}$，$y_{2}$.
当$x$为何值时：$y_{1}=y_{2}$；$y_{1}＞y_{2}$；$y_{1}＜y_{2}$.
（3）如果灯的使用寿命为$3000$小时，而计划照明$3500$小时，则需要购买两个灯，试设计你认为省钱的方案.
一种节能灯的功率为$10$瓦（$0.01$千瓦），售价为$60$元；一种白炽灯的功率为$60$瓦，售价为$3$元. 两种灯的照明效果一样，使用寿命也相同（$3000$小时以上）. 如果电费价格为$0.5$元/千瓦·时，消费者选用哪种灯可以节省费用？
思考：
（1）要节省费用，需要考虑哪些因素？
（2）若设照明时间为$x$小时，分别写出使用两种灯的总费用$y_{1}$，$y_{2}$.
当$x$为何值时：$y_{1}=y_{2}$；$y_{1}＞y_{2}$；$y_{1}＜y_{2}$.
（3）如果灯的使用寿命为$3000$小时，而计划照明$3500$小时，则需要购买两个灯，试设计你认为省钱的方案.
答案
（1）需考虑灯的售价和电费。
（2）设照明时间为$x$小时，总费用$y_1$（节能灯）、$y_2$（白炽灯）分别为：
$y_1 = 60 + 0.01×0.5x = 60 + 0.005x$；
$y_2 = 3 + 0.06×0.5x = 3 + 0.03x$。
当$y_1 = y_2$时，$60 + 0.005x = 3 + 0.03x$，解得$x = 2280$；
当$y_1 ＞ y_2$时，$60 + 0.005x ＞ 3 + 0.03x$，解得$x ＜ 2280$；
当$y_1 ＜ y_2$时，$x ＞ 2280$。
（3）方案：购买1个节能灯和1个白炽灯，节能灯使用3000小时，白炽灯使用500小时。总费用为$60 + 3 + 0.005×3000 + 0.03×500 = 93$元，此方案最省钱。
（2）设照明时间为$x$小时，总费用$y_1$（节能灯）、$y_2$（白炽灯）分别为：
$y_1 = 60 + 0.01×0.5x = 60 + 0.005x$；
$y_2 = 3 + 0.06×0.5x = 3 + 0.03x$。
当$y_1 = y_2$时，$60 + 0.005x = 3 + 0.03x$，解得$x = 2280$；
当$y_1 ＞ y_2$时，$60 + 0.005x ＞ 3 + 0.03x$，解得$x ＜ 2280$；
当$y_1 ＜ y_2$时，$x ＞ 2280$。
（3）方案：购买1个节能灯和1个白炽灯，节能灯使用3000小时，白炽灯使用500小时。总费用为$60 + 3 + 0.005×3000 + 0.03×500 = 93$元，此方案最省钱。
1. 某学校计划在总费用$2300$元的限额内租用汽车送$234$名学生和$6$名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有$1$名教师.
现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表：
(1)问：共需租多少辆汽车？
(2)给出最节省费用的租车方案.
现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表：
(1)问：共需租多少辆汽车？
(2)给出最节省费用的租车方案.
答案
(1) 因为每辆汽车上至少要有1名教师，所以汽车总数不能大于6辆。
要保证$240(234 \mathrm{名学生} + 6 \mathrm{名教师} = 240 \mathrm{名人员})$名师生都有座，汽车总数不能小于$\frac{240}{45}$（取整$ \frac{240}{45} \approx 5.33$），所以汽车总数需大于5.33辆且为整数，综合起来知汽车总数为6辆。
答：共需租6辆汽车。
(2) 设租甲种客车$x$辆，则租乙种客车$(6 - x)$辆，租车总费用为$y$元，假设$y$取最小值。
从题意我们可以得到以下不等式组：
$\begin{cases}45x + 30(6 - x) ≥ 240 \\400x + 280(6 - x) ≤ 2300\end{cases}$
第一个不等式来自于载客量的需求，第二个不等式来自于租车费用的限制。
解这个不等式组，我们得到：
$4 ≤ x ≤ \frac{31}{6}$
由于$x$必须是整数，因此$x = 4$或$x = 5$。
在$x$的这两个值中，考虑费用函数$y = 400x + 280(6 - x)$，化简得：
$y = 120x + 1680$
由于120是正数，$y$随$x$的增加而增加。
因此在$x$的取值范围内（$x=4, 5$），当$x=4$时，$y$取最小值。
此时，$y = 120 × 4 + 1680 = 2160 \mathrm{元}$。
答：最节省费用的租车方案是：租甲种客车4辆、乙种客车2辆，总费用最省为2160元。
要保证$240(234 \mathrm{名学生} + 6 \mathrm{名教师} = 240 \mathrm{名人员})$名师生都有座，汽车总数不能小于$\frac{240}{45}$（取整$ \frac{240}{45} \approx 5.33$），所以汽车总数需大于5.33辆且为整数，综合起来知汽车总数为6辆。
答：共需租6辆汽车。
(2) 设租甲种客车$x$辆，则租乙种客车$(6 - x)$辆，租车总费用为$y$元，假设$y$取最小值。
从题意我们可以得到以下不等式组：
$\begin{cases}45x + 30(6 - x) ≥ 240 \\400x + 280(6 - x) ≤ 2300\end{cases}$
第一个不等式来自于载客量的需求，第二个不等式来自于租车费用的限制。
解这个不等式组，我们得到：
$4 ≤ x ≤ \frac{31}{6}$
由于$x$必须是整数，因此$x = 4$或$x = 5$。
在$x$的这两个值中，考虑费用函数$y = 400x + 280(6 - x)$，化简得：
$y = 120x + 1680$
由于120是正数，$y$随$x$的增加而增加。
因此在$x$的取值范围内（$x=4, 5$），当$x=4$时，$y$取最小值。
此时，$y = 120 × 4 + 1680 = 2160 \mathrm{元}$。
答：最节省费用的租车方案是：租甲种客车4辆、乙种客车2辆，总费用最省为2160元。
