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8. 计算：
(1) $\dfrac{2}{5}\sqrt{\dfrac{3}{2}}×(-\dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{75}{8}})$；
(2) $\sqrt{\dfrac{2a}{5b}}·\sqrt{\dfrac{2b}{c}}·\sqrt{\dfrac{c}{5a}}$.
(1) $\dfrac{2}{5}\sqrt{\dfrac{3}{2}}×(-\dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{75}{8}})$；
(2) $\sqrt{\dfrac{2a}{5b}}·\sqrt{\dfrac{2b}{c}}·\sqrt{\dfrac{c}{5a}}$.
答案
8. (1) $-1$ (2) $\dfrac{2}{5}$
解析
(1) $\dfrac{2}{5}\sqrt{\dfrac{3}{2}}×(-\dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{75}{8}})$
$=\dfrac{2}{5}×(-\dfrac{2}{3})×\sqrt{\dfrac{3}{2}×\dfrac{75}{8}}$
$=-\dfrac{4}{15}×\sqrt{\dfrac{225}{16}}$
$=-\dfrac{4}{15}×\dfrac{15}{4}$
$=-1$
(2) $\sqrt{\dfrac{2a}{5b}}·\sqrt{\dfrac{2b}{c}}·\sqrt{\dfrac{c}{5a}}$
$=\sqrt{\dfrac{2a}{5b}·\dfrac{2b}{c}·\dfrac{c}{5a}}$
$=\sqrt{\dfrac{4}{25}}$
$=\dfrac{2}{5}$
$=\dfrac{2}{5}×(-\dfrac{2}{3})×\sqrt{\dfrac{3}{2}×\dfrac{75}{8}}$
$=-\dfrac{4}{15}×\sqrt{\dfrac{225}{16}}$
$=-\dfrac{4}{15}×\dfrac{15}{4}$
$=-1$
(2) $\sqrt{\dfrac{2a}{5b}}·\sqrt{\dfrac{2b}{c}}·\sqrt{\dfrac{c}{5a}}$
$=\sqrt{\dfrac{2a}{5b}·\dfrac{2b}{c}·\dfrac{c}{5a}}$
$=\sqrt{\dfrac{4}{25}}$
$=\dfrac{2}{5}$
9. 观察下列各式：
$\sqrt{1+\dfrac{1}{3}}=2\sqrt{\dfrac{1}{3}}$，$\sqrt{2+\dfrac{1}{4}}=3\sqrt{\dfrac{1}{4}}$，$\sqrt{3+\dfrac{1}{5}}=4\sqrt{\dfrac{1}{5}}$，…
根据上面三个等式中所具有的规律，完成下列各题：
(1) 写出第 4 个等式：
(2) 计算：$\sqrt{2023+\dfrac{1}{2025}}$(写出计算过程)；
(3) 写出第 $n$ 个等式($n≥1$，且 $n$ 为整数).
$\sqrt{1+\dfrac{1}{3}}=2\sqrt{\dfrac{1}{3}}$，$\sqrt{2+\dfrac{1}{4}}=3\sqrt{\dfrac{1}{4}}$，$\sqrt{3+\dfrac{1}{5}}=4\sqrt{\dfrac{1}{5}}$，…
根据上面三个等式中所具有的规律，完成下列各题：
(1) 写出第 4 个等式：
$\sqrt{4+\dfrac{1}{6}}=5\sqrt{\dfrac{1}{6}}$
；(2) 计算：$\sqrt{2023+\dfrac{1}{2025}}$(写出计算过程)；
(3) 写出第 $n$ 个等式($n≥1$，且 $n$ 为整数).
答案
9. (1) $\sqrt{4+\dfrac{1}{6}}=5\sqrt{\dfrac{1}{6}}$ (2) 原式 $=2024\sqrt{\dfrac{1}{2025}}=\dfrac{2024}{45}$ (3) $\sqrt{n+\dfrac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\dfrac{1}{n+2}}$
解析
【分析】
首先观察已知的三个等式，拆分等式左右两边的结构来找规律：
1. 左边根号内：整数部分依次是1、2、3，分数部分的分子都是1，分母依次是3（1+2）、4（2+2）、5（3+2），即整数为k时，分数分母为k+2；
2. 右边：系数依次是2（1+1）、3（2+1）、4（3+1），根号内的分数和左边分数部分相同，即系数为k+1，根号内是1/(k+2)。
基于这个规律，我们可以依次解决三个问题：
(1) 第4个等式中k=4，代入规律即可写出；
(2) 计算$\sqrt{2023+\dfrac{1}{2025}}$时，发现2025=2023+2，符合规律中“整数部分+2=分数分母”的特点，直接套用规律计算；
(3) 用n表示整数部分，总结出通用的第n个等式。
【解析】
(1) 根据已知等式的规律，第4个等式中整数部分为4，分数分母为$4+2=6$，右边系数为$4+1=5$，因此第4个等式为：
$\sqrt{4+\dfrac{1}{6}}=5\sqrt{\dfrac{1}{6}}$
(2) 计算$\sqrt{2023+\dfrac{1}{2025}}$：
观察可知，$2025=2023+2$，符合规律特点，根据规律可得：
原式$=(2023+1)\sqrt{\dfrac{1}{2025}}$
$=2024×\dfrac{1}{45}$（因为$45^2=2025$，所以$\sqrt{\dfrac{1}{2025}}=\dfrac{1}{45}$）
$=\dfrac{2024}{45}$
(3) 设第$n$个等式（$n≥1$且$n$为整数），整数部分为$n$，分数分母为$n+2$，右边系数为$n+1$，因此第$n$个等式为：
$\sqrt{n+\dfrac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\dfrac{1}{n+2}}$
【答案】
(1) $\sqrt{4+\dfrac{1}{6}}=5\sqrt{\dfrac{1}{6}}$；
(2) $\dfrac{2024}{45}$；
(3) $\sqrt{n+\dfrac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\dfrac{1}{n+2}}$（$n≥1$且$n$为整数）
【知识点】
根式规律探究，二次根式化简
【点评】
本题属于根式规律探究题，解题关键是通过观察已知等式的结构，拆分各部分的变化规律，将规律用字母表示后，即可快速解决后续问题，考查学生的观察归纳能力和二次根式的化简运算能力。
【难度系数】
0.7
首先观察已知的三个等式，拆分等式左右两边的结构来找规律：
1. 左边根号内：整数部分依次是1、2、3，分数部分的分子都是1，分母依次是3（1+2）、4（2+2）、5（3+2），即整数为k时，分数分母为k+2；
2. 右边：系数依次是2（1+1）、3（2+1）、4（3+1），根号内的分数和左边分数部分相同，即系数为k+1，根号内是1/(k+2)。
基于这个规律，我们可以依次解决三个问题：
(1) 第4个等式中k=4，代入规律即可写出；
(2) 计算$\sqrt{2023+\dfrac{1}{2025}}$时，发现2025=2023+2，符合规律中“整数部分+2=分数分母”的特点，直接套用规律计算；
(3) 用n表示整数部分，总结出通用的第n个等式。
【解析】
(1) 根据已知等式的规律，第4个等式中整数部分为4，分数分母为$4+2=6$，右边系数为$4+1=5$，因此第4个等式为：
$\sqrt{4+\dfrac{1}{6}}=5\sqrt{\dfrac{1}{6}}$
(2) 计算$\sqrt{2023+\dfrac{1}{2025}}$：
观察可知，$2025=2023+2$，符合规律特点，根据规律可得：
原式$=(2023+1)\sqrt{\dfrac{1}{2025}}$
$=2024×\dfrac{1}{45}$（因为$45^2=2025$，所以$\sqrt{\dfrac{1}{2025}}=\dfrac{1}{45}$）
$=\dfrac{2024}{45}$
(3) 设第$n$个等式（$n≥1$且$n$为整数），整数部分为$n$，分数分母为$n+2$，右边系数为$n+1$，因此第$n$个等式为：
$\sqrt{n+\dfrac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\dfrac{1}{n+2}}$
【答案】
(1) $\sqrt{4+\dfrac{1}{6}}=5\sqrt{\dfrac{1}{6}}$；
(2) $\dfrac{2024}{45}$；
(3) $\sqrt{n+\dfrac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\dfrac{1}{n+2}}$（$n≥1$且$n$为整数）
【知识点】
根式规律探究，二次根式化简
【点评】
本题属于根式规律探究题，解题关键是通过观察已知等式的结构，拆分各部分的变化规律，将规律用字母表示后，即可快速解决后续问题，考查学生的观察归纳能力和二次根式的化简运算能力。
【难度系数】
0.7
