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23. 小李探索$\sqrt{137}$的近似值的过程如下：
$\because$面积为137的正方形的边长是$\sqrt{137}$，且$11＜\sqrt{137}＜12$，
$\therefore$设$\sqrt{137}=11+x$，其中$0＜x＜1$。画出示意图，如图所示。
根据示意图，可得图中正方形的面积$S_{正方形}=11^{2}+2× 11x+x^{2}$。
又$\because S_{正方形}=137$，
$\therefore 11^{2}+2× 11x+x^{2}=137$。
当$x^{2}＜1$时，可忽略$x^{2}$，得$22x+121\approx 137$，得到$x\approx 0.73$。
$\therefore \sqrt{137}\approx 11.73$。
(1) 直接写出下列各数的整数部分的值：①$\sqrt{5}$；②$\sqrt{83}$。
(2) 仿照上述方法，探究$\sqrt{66}$的近似值。(画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到0.01)
(3) 结合上述具体实例，已知非负整数$a$，$b$，$m$，若$a＜\sqrt{m}＜a+1$，且$m=a^{2}+b$，直接写出$\sqrt{m}$的近似值。(用含有$a$，$b$的式子表示)
$\because$面积为137的正方形的边长是$\sqrt{137}$，且$11＜\sqrt{137}＜12$，
$\therefore$设$\sqrt{137}=11+x$，其中$0＜x＜1$。画出示意图，如图所示。
根据示意图，可得图中正方形的面积$S_{正方形}=11^{2}+2× 11x+x^{2}$。
又$\because S_{正方形}=137$，
$\therefore 11^{2}+2× 11x+x^{2}=137$。
当$x^{2}＜1$时，可忽略$x^{2}$，得$22x+121\approx 137$，得到$x\approx 0.73$。
$\therefore \sqrt{137}\approx 11.73$。
(1) 直接写出下列各数的整数部分的值：①$\sqrt{5}$；②$\sqrt{83}$。
(2) 仿照上述方法，探究$\sqrt{66}$的近似值。(画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到0.01)
(3) 结合上述具体实例，已知非负整数$a$，$b$，$m$，若$a＜\sqrt{m}＜a+1$，且$m=a^{2}+b$，直接写出$\sqrt{m}$的近似值。(用含有$a$，$b$的式子表示)
答案
23. (1) ① 2; ② 9.
(2) $ \because $ 面积为 66 的正方形的边长是 $ \sqrt{66} $, 且 $ 8 ＜ \sqrt{66} ＜ 9 $,
$ \therefore $ 设 $ \sqrt{66} = 8 + x $, 其中 $ 0 ＜ x ＜ 1 $, 画出如下示意图.
$ \because $ 图中 $ S_{\mathrm{正方形}} = 8^{2} + 2 × 8x + x^{2} $, $ S_{\mathrm{正方形}} = 66 $,
$ \therefore 8^{2} + 2 × 8x + x^{2} = 66 $.
当 $ x^{2} $ 较小时,忽略 $ x^{2} $, 得 $ 16x + 64 \approx 66 $, 得到 $ x \approx 0.13 $.
$ \therefore \sqrt{66} \approx 8.13 $.
(3) $ a + \frac{b}{2a} $.
