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一、填空。
1. 一个正方形的边长是 $ a $，$ 4a $ 表示()，正方形的面积表示为()。
1. 一个正方形的边长是 $ a $，$ 4a $ 表示()，正方形的面积表示为()。
答案
正方形的周长
$a^2$
$a^2$
解析
【分析】
首先回忆正方形的周长和面积计算公式：正方形的周长是四条边的长度之和，因为正方形四条边长度相等，所以周长=边长×4；正方形的面积=边长×边长。已知边长是$a$，那么4个$a$相加就是$4a$，对应周长的计算；边长乘边长用字母表示就是$a^2$，对应面积的计算。我们只需要把公式和字母对应起来，就能得出答案。
【解析】
1. 正方形有4条长度相等的边，周长为四条边长度之和，即边长×4。已知边长为$a$，所以周长为$4× a=4a$，因此$4a$表示正方形的周长。
2. 正方形的面积公式为边长×边长，边长为$a$，则面积为$a× a=a^2$，所以正方形的面积表示为$a^2$。
【答案】
正方形的周长；$a^2$
【知识点】
正方形周长公式；正方形面积公式
【点评】
本题考查用字母表示正方形的周长和面积，属于基础题型，需要熟练掌握正方形周长与面积的计算公式，以及用字母表示数的书写规范。
【难度系数】
0.9
首先回忆正方形的周长和面积计算公式：正方形的周长是四条边的长度之和，因为正方形四条边长度相等，所以周长=边长×4；正方形的面积=边长×边长。已知边长是$a$，那么4个$a$相加就是$4a$，对应周长的计算；边长乘边长用字母表示就是$a^2$，对应面积的计算。我们只需要把公式和字母对应起来，就能得出答案。
【解析】
1. 正方形有4条长度相等的边，周长为四条边长度之和，即边长×4。已知边长为$a$，所以周长为$4× a=4a$，因此$4a$表示正方形的周长。
2. 正方形的面积公式为边长×边长，边长为$a$，则面积为$a× a=a^2$，所以正方形的面积表示为$a^2$。
【答案】
正方形的周长；$a^2$
【知识点】
正方形周长公式；正方形面积公式
【点评】
本题考查用字母表示正方形的周长和面积，属于基础题型，需要熟练掌握正方形周长与面积的计算公式，以及用字母表示数的书写规范。
【难度系数】
0.9
2. 中华优秀传统文化是中华文明的智慧结晶和精华所在。某校在书香校园建设中，六年级购买 12 本《中华历史故事》，付款 300 元，找回 $ a $ 元，每本《中华历史故事》的价格是()元。如果找回 60 元，每本的价格是()元。
答案
(300 - a)÷12
20
20
解析
【分析】
解题思路：首先明确单价、总价、数量三者的核心关系：单价=总价÷数量。第一步，需要先求出购买12本书实际花费的总价，已知付款300元，找回a元，那么实际总价就是付款金额减去找回的金额，即（300 - a）元；第二步，用实际总价除以数量12，就能得到每本书的价格。当已知找回60元时，只需将a替换为60，代入前面得到的式子计算即可得出具体单价。
【解析】
1. 求每本《中华历史故事》的价格表达式：
已知付款300元，找回a元，那么购买12本书的实际总价为$300 - a$元。
根据“单价=总价÷数量”，可得每本书的价格为$(300 - a)÷12$元。
2. 当找回60元时，计算具体单价：
将$a = 60$代入$(300 - a)÷12$中，
$\begin{aligned}(300 - 60)÷12&=240÷12\\&=20\end{aligned}$
【答案】
$(300 - a)÷12$；20
【知识点】
用字母表示数；单价、总价、数量的关系
【点评】
本题考查用字母表示数以及数量关系的实际应用，解题关键是先理清实际花费的总价，再利用单价、总价、数量的基本关系推导表达式，代入数值计算时要遵循四则运算顺序。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先明确单价、总价、数量三者的核心关系：单价=总价÷数量。第一步，需要先求出购买12本书实际花费的总价，已知付款300元，找回a元，那么实际总价就是付款金额减去找回的金额，即（300 - a）元；第二步，用实际总价除以数量12，就能得到每本书的价格。当已知找回60元时，只需将a替换为60，代入前面得到的式子计算即可得出具体单价。
【解析】
1. 求每本《中华历史故事》的价格表达式：
已知付款300元，找回a元，那么购买12本书的实际总价为$300 - a$元。
根据“单价=总价÷数量”，可得每本书的价格为$(300 - a)÷12$元。
2. 当找回60元时，计算具体单价：
将$a = 60$代入$(300 - a)÷12$中，
$\begin{aligned}(300 - 60)÷12&=240÷12\\&=20\end{aligned}$
【答案】
$(300 - a)÷12$；20
【知识点】
用字母表示数；单价、总价、数量的关系
【点评】
本题考查用字母表示数以及数量关系的实际应用，解题关键是先理清实际花费的总价，再利用单价、总价、数量的基本关系推导表达式，代入数值计算时要遵循四则运算顺序。
【难度系数】
0.8
二、解方程。
$4x = \frac{8}{7} × \frac{1}{5}$
$\frac{3}{8}x = \frac{2}{5} × \frac{3}{4}$
$( \frac{8}{9} - \frac{1}{6} ) x = \frac{4}{9}$
$\frac{0.9}{x} = \frac{0.6}{1.5}$
$4x = \frac{8}{7} × \frac{1}{5}$
$\frac{3}{8}x = \frac{2}{5} × \frac{3}{4}$
$( \frac{8}{9} - \frac{1}{6} ) x = \frac{4}{9}$
$\frac{0.9}{x} = \frac{0.6}{1.5}$
答案
解：$4x=\frac{8}{7}×\frac{1}{5}$
$ 4x=\frac{8}{35}$
$ x=\frac{8}{35}÷4$
$ x=\frac{2}{35}$
解：$\frac{3}{8}x=\frac{2}{5}×\frac{3}{4}$
$ \frac{3}{8}x=\frac{3}{10}$
$ x=\frac{3}{10}÷\frac{3}{8}$
$ x=\frac{4}{5}$
解：$(\frac{8}{9}-\frac{1}{6})x=\frac{4}{9}$
$ \frac{13}{18}x=\frac{4}{9}$
$ x=\frac{4}{9}÷\frac{13}{18}$
$ x=\frac{8}{13}$
解：0.6x=0.9×1.5
0.6x=1.35
x=1.35÷0.6
x=2.25
$ 4x=\frac{8}{35}$
$ x=\frac{8}{35}÷4$
$ x=\frac{2}{35}$
解：$\frac{3}{8}x=\frac{2}{5}×\frac{3}{4}$
$ \frac{3}{8}x=\frac{3}{10}$
$ x=\frac{3}{10}÷\frac{3}{8}$
$ x=\frac{4}{5}$
解：$(\frac{8}{9}-\frac{1}{6})x=\frac{4}{9}$
$ \frac{13}{18}x=\frac{4}{9}$
$ x=\frac{4}{9}÷\frac{13}{18}$
$ x=\frac{8}{13}$
解：0.6x=0.9×1.5
0.6x=1.35
x=1.35÷0.6
x=2.25
解析
【分析】
这四道题均为一元一次方程，解题思路围绕等式的性质或比例的基本性质展开：
1. 对于前三个形如$ax=b$的方程，先计算等式右侧的运算（分数乘法或括号内的分数减法），将方程化简为最简的$ax=b$形式，再根据等式的性质，等式两边同时除以未知数的系数（或乘系数的倒数），求出未知数$x$的值；
2. 第四道是比例方程，根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，将比例转化为普通的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤求解。
【解析】
1. 解方程$4x = \frac{8}{7} × \frac{1}{5}$
$\begin{aligned}4x&=\frac{8}{35}\\x&=\frac{8}{35}÷4\\x&=\frac{8}{35}×\frac{1}{4}\\x&=\frac{2}{35}\end{aligned}$
2. 解方程$\frac{3}{8}x = \frac{2}{5} × \frac{3}{4}$
$\begin{aligned}\frac{3}{8}x&=\frac{3}{10}\\x&=\frac{3}{10}÷\frac{3}{8}\\x&=\frac{3}{10}×\frac{8}{3}\\x&=\frac{4}{5}\end{aligned}$
3. 解方程$( \frac{8}{9} - \frac{1}{6} ) x = \frac{4}{9}$
$\begin{aligned}(\frac{16}{18}-\frac{3}{18})x&=\frac{4}{9}\\frac{13}{18}x&=\frac{4}{9}\\x&=\frac{4}{9}÷\frac{13}{18}\\x&=\frac{4}{9}×\frac{18}{13}\\x&=\frac{8}{13}\end{aligned}$
4. 解方程$\frac{0.9}{x} = \frac{0.6}{1.5}$
$\begin{aligned}0.6x&=0.9×1.5\\0.6x&=1.35\\x&=1.35÷0.6\\x&=2.25\end{aligned}$
【答案】
$x=\frac{2}{35}$；$x=\frac{4}{5}$；$x=\frac{8}{13}$；$x=2.25$
【知识点】
等式的性质；分数四则运算；比例的基本性质
【点评】
这四道题是一元一次方程的基础题型，涵盖了分数运算、比例转化等知识点，解题关键是熟练运用等式的性质和比例的基本性质将方程化简，计算过程中需注意分数的通分、约分以及小数运算的准确性，有助于巩固解方程的基本方法。
【难度系数】
0.7
这四道题均为一元一次方程，解题思路围绕等式的性质或比例的基本性质展开：
1. 对于前三个形如$ax=b$的方程，先计算等式右侧的运算（分数乘法或括号内的分数减法），将方程化简为最简的$ax=b$形式，再根据等式的性质，等式两边同时除以未知数的系数（或乘系数的倒数），求出未知数$x$的值；
2. 第四道是比例方程，根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，将比例转化为普通的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤求解。
【解析】
1. 解方程$4x = \frac{8}{7} × \frac{1}{5}$
$\begin{aligned}4x&=\frac{8}{35}\\x&=\frac{8}{35}÷4\\x&=\frac{8}{35}×\frac{1}{4}\\x&=\frac{2}{35}\end{aligned}$
2. 解方程$\frac{3}{8}x = \frac{2}{5} × \frac{3}{4}$
$\begin{aligned}\frac{3}{8}x&=\frac{3}{10}\\x&=\frac{3}{10}÷\frac{3}{8}\\x&=\frac{3}{10}×\frac{8}{3}\\x&=\frac{4}{5}\end{aligned}$
3. 解方程$( \frac{8}{9} - \frac{1}{6} ) x = \frac{4}{9}$
$\begin{aligned}(\frac{16}{18}-\frac{3}{18})x&=\frac{4}{9}\\frac{13}{18}x&=\frac{4}{9}\\x&=\frac{4}{9}÷\frac{13}{18}\\x&=\frac{4}{9}×\frac{18}{13}\\x&=\frac{8}{13}\end{aligned}$
4. 解方程$\frac{0.9}{x} = \frac{0.6}{1.5}$
$\begin{aligned}0.6x&=0.9×1.5\\0.6x&=1.35\\x&=1.35÷0.6\\x&=2.25\end{aligned}$
【答案】
$x=\frac{2}{35}$；$x=\frac{4}{5}$；$x=\frac{8}{13}$；$x=2.25$
【知识点】
等式的性质；分数四则运算；比例的基本性质
【点评】
这四道题是一元一次方程的基础题型，涵盖了分数运算、比例转化等知识点，解题关键是熟练运用等式的性质和比例的基本性质将方程化简，计算过程中需注意分数的通分、约分以及小数运算的准确性，有助于巩固解方程的基本方法。
【难度系数】
0.7
三、选择。(将正确答案的序号填在括号里)
1. 小明今年 $ a $ 岁，小红今年 $ (a - 5) $ 岁，8 年后两人相差()。
A. 13 岁
B. 8 岁
C. 5 岁
D. $ a $ 岁
1. 小明今年 $ a $ 岁，小红今年 $ (a - 5) $ 岁，8 年后两人相差()。
A. 13 岁
B. 8 岁
C. 5 岁
D. $ a $ 岁
答案
C
解析
【分析】
解题关键在于理解年龄差的特性：两人的年龄差是固定不变的，不会随着时间的推移而改变。首先可以先计算出现在两人的年龄差，因为8年后两人增长的年龄相同，所以年龄差和现在一样。具体思考步骤：先根据两人今年的年龄表达式，求出今年的年龄差，再得出8年后的年龄差。
【解析】
第一步：计算今年两人的年龄差
小明今年$a$岁，小红今年$(a - 5)$岁，年龄差为：
$a - (a - 5) = a - a + 5 = 5$（岁）
第二步：分析年龄差的变化
因为每过一年，两人的年龄都增加1岁，所以8年后两人都增长了8岁，年龄差不会发生变化，仍然是5岁。
因此8年后两人相差5岁，选C。
【答案】
C
【知识点】
年龄差不变、用字母表示数
【点评】
本题主要考查年龄差的不变性，容易被“8年后”这个条件干扰，错误地去计算8年后两人的年龄再求差。解题时要抓住核心：年龄差始终不变，直接根据今年的年龄差即可得出结果，简化计算过程。
【难度系数】
0.9
解题关键在于理解年龄差的特性：两人的年龄差是固定不变的，不会随着时间的推移而改变。首先可以先计算出现在两人的年龄差，因为8年后两人增长的年龄相同，所以年龄差和现在一样。具体思考步骤：先根据两人今年的年龄表达式，求出今年的年龄差，再得出8年后的年龄差。
【解析】
第一步：计算今年两人的年龄差
小明今年$a$岁，小红今年$(a - 5)$岁，年龄差为：
$a - (a - 5) = a - a + 5 = 5$（岁）
第二步：分析年龄差的变化
因为每过一年，两人的年龄都增加1岁，所以8年后两人都增长了8岁，年龄差不会发生变化，仍然是5岁。
因此8年后两人相差5岁，选C。
【答案】
C
【知识点】
年龄差不变、用字母表示数
【点评】
本题主要考查年龄差的不变性，容易被“8年后”这个条件干扰，错误地去计算8年后两人的年龄再求差。解题时要抓住核心：年龄差始终不变，直接根据今年的年龄差即可得出结果，简化计算过程。
【难度系数】
0.9
2. 如果 $ \frac{8}{a} $ 是真分数，$ \frac{9}{a} $ 是假分数，则()。
A.$ a ≤ 8 $
B.$ a ＞ 8 $
C.$ a = 8 $
D.$ a = 9 $
A.$ a ≤ 8 $
B.$ a ＞ 8 $
C.$ a = 8 $
D.$ a = 9 $
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确真分数和假分数的定义：真分数的分子小于分母，假分数的分子大于或等于分母。我们可以根据这两个定义分别列出关于$a$的不等式，再找出同时满足两个条件的$a$的值。
首先，由$\frac{8}{a}$是真分数，可得分子8小于分母$a$，即$8 ＜ a$；然后，由$\frac{9}{a}$是假分数，可得分子9大于或等于分母$a$，即$9 ≥ a$。综合这两个条件，$a$需要满足$8 ＜ a ≤ 9$，又因为$a$作为分数的分母，必须是正整数，所以$a$只能是9。
【解析】
1. 根据真分数的定义：分子小于分母的分数是真分数。
因为$\frac{8}{a}$是真分数，所以$8 ＜ a$；
2. 根据假分数的定义：分子大于或等于分母的分数是假分数。
因为$\frac{9}{a}$是假分数，所以$9 ≥ a$；
3. 综合上述两个不等式，可得$8 ＜ a ≤ 9$。
由于$a$是正整数（分数分母不能为0且为正整数），因此$a = 9$。
【答案】
D
【知识点】
真分数与假分数的定义
【点评】
本题主要考查真分数和假分数的核心定义，解题关键是准确运用定义列出不等式，进而确定符合条件的$a$的值。题目属于基础概念题，只要熟练掌握真分数、假分数的概念，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确真分数和假分数的定义：真分数的分子小于分母，假分数的分子大于或等于分母。我们可以根据这两个定义分别列出关于$a$的不等式，再找出同时满足两个条件的$a$的值。
首先，由$\frac{8}{a}$是真分数，可得分子8小于分母$a$，即$8 ＜ a$；然后，由$\frac{9}{a}$是假分数，可得分子9大于或等于分母$a$，即$9 ≥ a$。综合这两个条件，$a$需要满足$8 ＜ a ≤ 9$，又因为$a$作为分数的分母，必须是正整数，所以$a$只能是9。
【解析】
1. 根据真分数的定义：分子小于分母的分数是真分数。
因为$\frac{8}{a}$是真分数，所以$8 ＜ a$；
2. 根据假分数的定义：分子大于或等于分母的分数是假分数。
因为$\frac{9}{a}$是假分数，所以$9 ≥ a$；
3. 综合上述两个不等式，可得$8 ＜ a ≤ 9$。
由于$a$是正整数（分数分母不能为0且为正整数），因此$a = 9$。
【答案】
D
【知识点】
真分数与假分数的定义
【点评】
本题主要考查真分数和假分数的核心定义，解题关键是准确运用定义列出不等式，进而确定符合条件的$a$的值。题目属于基础概念题，只要熟练掌握真分数、假分数的概念，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
四、观察思考:如图所示，在长方形内截取一个最大的正方形，阴影部分表示剩余面积。
1. 阴影部分的周长是()m。
1. 阴影部分的周长是()m。
答案
2a
解析
【分析】
首先，我们要明确长方形内截取最大正方形的特征：正方形的边长等于长方形的宽。接下来，我们可以通过设未知数的方式推导阴影部分的周长：设长方形的长为$a$m，宽为$b$m，剩余的阴影部分是一个小长方形，它的长为$(a - b)$m，宽为$b$m。代入长方形周长公式计算后，会发现宽$b$在化简过程中可以抵消，最终得到阴影部分的周长与原长方形长的关系。
【解析】
设长方形的长为$a$m，宽为$b$m。
因为在长方形内截取最大的正方形，所以正方形的边长等于长方形的宽，即$b$m。
则阴影部分小长方形的长为$(a - b)$m，宽为$b$m。
根据长方形周长公式$C = 2×(长 + 宽)$，代入可得：
$\begin{aligned}C&=2×[(a - b) + b]\\&=2×a\\&=2a\end{aligned}$
所以阴影部分的周长是$2a$m。
【答案】
$2a$
【知识点】
长方形周长公式；长方形内最大正方形特征
【点评】
本题考查对长方形周长公式的灵活运用以及长方形内最大正方形特征的理解，解题关键在于通过代数化简发现阴影部分周长与原长方形长的关系，无需知道宽的具体数值，锻炼了学生的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
首先，我们要明确长方形内截取最大正方形的特征：正方形的边长等于长方形的宽。接下来，我们可以通过设未知数的方式推导阴影部分的周长：设长方形的长为$a$m，宽为$b$m，剩余的阴影部分是一个小长方形，它的长为$(a - b)$m，宽为$b$m。代入长方形周长公式计算后，会发现宽$b$在化简过程中可以抵消，最终得到阴影部分的周长与原长方形长的关系。
【解析】
设长方形的长为$a$m，宽为$b$m。
因为在长方形内截取最大的正方形，所以正方形的边长等于长方形的宽，即$b$m。
则阴影部分小长方形的长为$(a - b)$m，宽为$b$m。
根据长方形周长公式$C = 2×(长 + 宽)$，代入可得：
$\begin{aligned}C&=2×[(a - b) + b]\\&=2×a\\&=2a\end{aligned}$
所以阴影部分的周长是$2a$m。
【答案】
$2a$
【知识点】
长方形周长公式；长方形内最大正方形特征
【点评】
本题考查对长方形周长公式的灵活运用以及长方形内最大正方形特征的理解，解题关键在于通过代数化简发现阴影部分周长与原长方形长的关系，无需知道宽的具体数值，锻炼了学生的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
2. 阴影部分的面积是()$ m^2 $。
答案
b(a - b)
解析
【分析】
首先观察图形，整个图形是长为$a$米的长方形，空白部分是边长为$b$米的正方形，因此阴影部分是一个长方形。我们需要先确定阴影部分长方形的长和宽：宽与正方形的边长相等，为$b$米；长是大长方形的长减去正方形的边长，即$(a - b)$米。再根据长方形的面积公式“面积=长×宽”，代入对应的长和宽即可求出阴影部分的面积。
【解析】
由图可知，阴影部分是长方形：
1. 确定阴影部分的长和宽：宽为$ b \, \mathrm{m} $，长为$ (a - b) \, \mathrm{m} $；
2. 根据长方形面积公式$ S = 长×宽 $，代入数据可得：
阴影部分面积$ = b×(a - b) = b(a - b) \, \mathrm{m}^2 $
【答案】
$ b(a - b) $
【知识点】
长方形面积公式、用字母表示数
【点评】
本题主要考查组合图形的观察分析能力，以及用字母表示数和长方形面积公式的应用，解题关键是准确确定阴影部分长方形的长和宽。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，整个图形是长为$a$米的长方形，空白部分是边长为$b$米的正方形，因此阴影部分是一个长方形。我们需要先确定阴影部分长方形的长和宽：宽与正方形的边长相等，为$b$米；长是大长方形的长减去正方形的边长，即$(a - b)$米。再根据长方形的面积公式“面积=长×宽”，代入对应的长和宽即可求出阴影部分的面积。
【解析】
由图可知，阴影部分是长方形：
1. 确定阴影部分的长和宽：宽为$ b \, \mathrm{m} $，长为$ (a - b) \, \mathrm{m} $；
2. 根据长方形面积公式$ S = 长×宽 $，代入数据可得：
阴影部分面积$ = b×(a - b) = b(a - b) \, \mathrm{m}^2 $
【答案】
$ b(a - b) $
【知识点】
长方形面积公式、用字母表示数
【点评】
本题主要考查组合图形的观察分析能力，以及用字母表示数和长方形面积公式的应用，解题关键是准确确定阴影部分长方形的长和宽。
【难度系数】
0.8
