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1.一项工程，甲队单独做需要15天完成，乙队单独做需要25天完成。如果甲队先做9天，剩下的由乙队单独完成，乙队需要多少天完成？
答案
$(1-\dfrac{1}{15}×9)÷\dfrac{1}{25}=10$(天)
答:乙队需要10天完成。
【解析】甲队先做9天,剩下的由乙队单独完成。剩下的工作量÷乙队的工作效率=乙队需要的时间。把工作总量看作单位“1”,甲队的工作效率就是$\dfrac{1}{15}$,乙队的工作效率就是$\dfrac{1}{25}$。先用“工作总量一甲队9天完成的工作量”求出剩下的工作量,再除以乙队的工作效率,就能求出乙队需要的时间。
答:乙队需要10天完成。
【解析】甲队先做9天,剩下的由乙队单独完成。剩下的工作量÷乙队的工作效率=乙队需要的时间。把工作总量看作单位“1”,甲队的工作效率就是$\dfrac{1}{15}$,乙队的工作效率就是$\dfrac{1}{25}$。先用“工作总量一甲队9天完成的工作量”求出剩下的工作量,再除以乙队的工作效率,就能求出乙队需要的时间。
2.一条公路，甲队单独修需要27天完成。如果甲队先修6天，剩下的由乙队单独修，还需要28天才能完成。如果这条公路由乙队单独修，需要多少天完成？
答案
$1÷[(1-\dfrac{1}{27}×6)÷28]=36$(天)
答:需要36天完成。
【解析】第一步:求甲队6天的工作量。把工作总量看作单位“1”,甲队的工作效率就是$\dfrac{1}{27}$,甲队6天的工作量就是$\dfrac{1}{27}×6$。第二步:求乙队的工作效率。甲队先修6天,剩下的由乙队单独修,所以乙队的工作量是$(1-\dfrac{1}{27}×6)$,除以乙队的工作时间,就能得出乙队的工作效率。第三步:求乙队单独修需要的天数。这条公路由乙队单独修时,乙队的工作量就是工作总量“1”,用“工作总量÷乙队的工作效率”就能求出乙队单独修这条公路需要的时间。
易错警示
切勿直接用“28天”当作乙队单独修所用的总时间,要先算出乙队的效率,再求总时间。
答:需要36天完成。
【解析】第一步:求甲队6天的工作量。把工作总量看作单位“1”,甲队的工作效率就是$\dfrac{1}{27}$,甲队6天的工作量就是$\dfrac{1}{27}×6$。第二步:求乙队的工作效率。甲队先修6天,剩下的由乙队单独修,所以乙队的工作量是$(1-\dfrac{1}{27}×6)$,除以乙队的工作时间,就能得出乙队的工作效率。第三步:求乙队单独修需要的天数。这条公路由乙队单独修时,乙队的工作量就是工作总量“1”,用“工作总量÷乙队的工作效率”就能求出乙队单独修这条公路需要的时间。
易错警示
切勿直接用“28天”当作乙队单独修所用的总时间,要先算出乙队的效率,再求总时间。
3.一项工程，甲、乙两队一起做，15天可以完成。现在甲队先单独做17天，接着由乙队单独做9天，正好完成任务。乙队单独完成这项工程需要多少天？
答案
$(1-\dfrac{1}{15}×9)÷(17-9)=\dfrac{1}{20}$
$1÷(\dfrac{1}{15}-\dfrac{1}{20})=60$(天)
答:乙队单独完成这项工程需要60天。
【解析】甲队先单独做17天,乙队再单独做9天,正好完成任务,可以转化为甲、乙两队一起做9天,甲队再单独做$17-9=8$(天)。将工作总量看作单位“1”,两队一起做的工作效率就是$\dfrac{1}{15}$,两队一起做9天的工作量为$\dfrac{1}{15}×9$,先用“工作总量一两队一起做9天的工作量”求出甲队单独做8天的工作量,进而求出甲队的工作效率,再用两队一起做的工作效率减去甲队的工作效率就可求出乙队的工作效率,最后用“工作总量÷乙队的工作效率”就可求出乙队单独完成这项工程需要的时间。
方法点拨
把工程总量看作单位“1”,将“甲单独做17天、乙单独做9天”拆成“甲、乙合作做9天+甲单独做8天”,先算合作9天的工作量,再用剩余工作量÷甲单独做的8天,求出甲的效率,最后用合作效率减去甲的效率得到乙的效率,再求乙单独做需要的总时间。
$1÷(\dfrac{1}{15}-\dfrac{1}{20})=60$(天)
答:乙队单独完成这项工程需要60天。
【解析】甲队先单独做17天,乙队再单独做9天,正好完成任务,可以转化为甲、乙两队一起做9天,甲队再单独做$17-9=8$(天)。将工作总量看作单位“1”,两队一起做的工作效率就是$\dfrac{1}{15}$,两队一起做9天的工作量为$\dfrac{1}{15}×9$,先用“工作总量一两队一起做9天的工作量”求出甲队单独做8天的工作量,进而求出甲队的工作效率,再用两队一起做的工作效率减去甲队的工作效率就可求出乙队的工作效率,最后用“工作总量÷乙队的工作效率”就可求出乙队单独完成这项工程需要的时间。
方法点拨
把工程总量看作单位“1”,将“甲单独做17天、乙单独做9天”拆成“甲、乙合作做9天+甲单独做8天”,先算合作9天的工作量,再用剩余工作量÷甲单独做的8天,求出甲的效率,最后用合作效率减去甲的效率得到乙的效率,再求乙单独做需要的总时间。
4.甲、乙两人一起做一份稿件，12小时可以完成。如果这份稿件先由甲做5小时，再由乙做3小时，则只能完成这份稿件的$\frac{1}{3}$，两人单独做这份稿件各需要多长时间？
答案
$(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{12}×3)÷(5-3)=\dfrac{1}{24}$
$\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{24}=\dfrac{1}{24}$
甲单独做这份稿件需要的时间:$1÷\dfrac{1}{24}=24$(时)
乙单独做这份稿件需要的时间:$1÷\dfrac{1}{24}=24$(时)
答:甲单独做这份稿件需要24小时,乙单独做这份稿件也需要24小时。
【解析】甲先做5小时,乙再做3小时,可以转化为甲、乙一起做3小时,甲再单独做$5-3=2$(时)。将工作总量看作单位“1”,则甲、乙一起做的工作效率是$\dfrac{1}{12}$,再乘一起做的工作时间(3小时),就是甲、乙一起做的工作量。已知一共完成稿件的$\dfrac{1}{3}$,减去甲、乙一起做3小时的工作量就是甲单独做2小时的工作量。用“甲单独做2小时的工作量÷工作时间”可求出甲的工作效率,再用“两人一起做的工作效率一甲的工作效率”可求出乙的工作效率。最后根据“工作时间=工作总量÷工作效率”可分别求出甲、乙单独所需要的时间。
$\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{24}=\dfrac{1}{24}$
甲单独做这份稿件需要的时间:$1÷\dfrac{1}{24}=24$(时)
乙单独做这份稿件需要的时间:$1÷\dfrac{1}{24}=24$(时)
答:甲单独做这份稿件需要24小时,乙单独做这份稿件也需要24小时。
【解析】甲先做5小时,乙再做3小时,可以转化为甲、乙一起做3小时,甲再单独做$5-3=2$(时)。将工作总量看作单位“1”,则甲、乙一起做的工作效率是$\dfrac{1}{12}$,再乘一起做的工作时间(3小时),就是甲、乙一起做的工作量。已知一共完成稿件的$\dfrac{1}{3}$,减去甲、乙一起做3小时的工作量就是甲单独做2小时的工作量。用“甲单独做2小时的工作量÷工作时间”可求出甲的工作效率,再用“两人一起做的工作效率一甲的工作效率”可求出乙的工作效率。最后根据“工作时间=工作总量÷工作效率”可分别求出甲、乙单独所需要的时间。
5.甲、乙合作做一项工作需30天完成，如果甲先做24天，再两人合作做12天，剩下的工作乙还要做16天才能完成。甲、乙单独做这项工作各需要多少天？
答案
$12+16=28$(天)
$24+12=36$(天)
$(1-\dfrac{1}{30}×28)÷(36-28)=\dfrac{1}{120}$
$\dfrac{1}{30}-\dfrac{1}{120}=\dfrac{1}{40}$
$1÷\dfrac{1}{120}=120$(天)
$1÷\dfrac{1}{40}=40$(天)
答:甲单独做需要120天,乙单独做需要40天。
【解析】将工作总量看作单位“1”,则甲、乙合作的工作效率为$\dfrac{1}{30}$。根据题意,整个工作过程中甲共做了$24+12=36$(天),乙共做了$12+16=28$(天),可以转化为甲、乙先合作做28天,甲再单独做$36-28=8$(天),甲、乙合作做28天的工作量为$\dfrac{1}{30}×28$,再用工作总量减两队合作做28天的工作量求出甲单独做8天的工作量为$(1-\dfrac{1}{30}×28)$,进而求出甲队的工作效率为$(1-\dfrac{1}{30}×28)÷8$,而乙队的工作效率为两人合作的工作效率减去甲队的工作效率,最后用工作量分别除以甲、乙各自的工作效率即可求出甲、乙单独做需要的时间。
方法指导
解决较复杂的工程问题时可以画出线段图帮助理解题意。
$24+12=36$(天)
$(1-\dfrac{1}{30}×28)÷(36-28)=\dfrac{1}{120}$
$\dfrac{1}{30}-\dfrac{1}{120}=\dfrac{1}{40}$
$1÷\dfrac{1}{120}=120$(天)
$1÷\dfrac{1}{40}=40$(天)
答:甲单独做需要120天,乙单独做需要40天。
【解析】将工作总量看作单位“1”,则甲、乙合作的工作效率为$\dfrac{1}{30}$。根据题意,整个工作过程中甲共做了$24+12=36$(天),乙共做了$12+16=28$(天),可以转化为甲、乙先合作做28天,甲再单独做$36-28=8$(天),甲、乙合作做28天的工作量为$\dfrac{1}{30}×28$,再用工作总量减两队合作做28天的工作量求出甲单独做8天的工作量为$(1-\dfrac{1}{30}×28)$,进而求出甲队的工作效率为$(1-\dfrac{1}{30}×28)÷8$,而乙队的工作效率为两人合作的工作效率减去甲队的工作效率,最后用工作量分别除以甲、乙各自的工作效率即可求出甲、乙单独做需要的时间。
方法指导
解决较复杂的工程问题时可以画出线段图帮助理解题意。
6.一份需要打字录入的文件，如果甲先打字12分钟，乙再打字20分钟可以完成；如果乙单独完成，需要40分钟。如果甲、乙一起打字，完成这份文件需要多少分钟？
答案
甲的工作效率:$1÷(12+12)=\dfrac{1}{24}$
$1÷(\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{40})=15$(分)
答:完成这份文件需要15分钟。
【解析】将工作总量看作单位“1”,由题意可画图如下。
由图可知,甲12分钟的工作量=乙(40-20)分钟的工作量。根据甲、乙工作量的等量关系,可以将工作总量代换为全部由甲完成,即“甲12分钟的工作量+甲12分钟的工作量=工作总量”。由此可以求出甲的工作效率。再根据“工作总量÷甲、乙两人的工作效率之和=两人一起打字需要的时间”求解即可。
7.一项工程,如果甲先做18天,乙再做12天可以完成;如果甲先做12天,乙再做16天也可以完成。如果甲、乙一起做,需要多少天完成？
答案
乙的工作效率:$1÷(12+12)=\dfrac{1}{24}$
甲的工作效率:$1÷(18+18)=\dfrac{1}{36}$
$1÷(\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{36})=14.4$(天)
答:需要14.4天完成。
【解析】将工作总量看作单位“1”,甲先做18天,乙再做12天可以完成;甲先做12天,乙再做16天也可以完成,据此画图如下。
甲18天的工作量 乙12天的工作量
工作总量
甲12天的工作量 乙16天的工作量
甲(18-12)天的工作量=乙(16-12)天的工作量
根据甲、乙工作量的等量关系,先将工作总量分别替换为全部由甲或乙完成,由此求出甲、乙各自的工作效率,再用“工作总量÷甲、乙两人的工作效率之和”求出两人一起做需要的工作时间。
甲的工作效率:$1÷(18+18)=\dfrac{1}{36}$
$1÷(\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{36})=14.4$(天)
答:需要14.4天完成。
【解析】将工作总量看作单位“1”,甲先做18天,乙再做12天可以完成;甲先做12天,乙再做16天也可以完成,据此画图如下。
甲18天的工作量 乙12天的工作量
工作总量
甲12天的工作量 乙16天的工作量
甲(18-12)天的工作量=乙(16-12)天的工作量
根据甲、乙工作量的等量关系,先将工作总量分别替换为全部由甲或乙完成,由此求出甲、乙各自的工作效率,再用“工作总量÷甲、乙两人的工作效率之和”求出两人一起做需要的工作时间。
