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1. 牛牛画一个以 OA 为斜边的直角三角形，其面积是24平方厘米，斜边长10厘米。把这个三角形以点 O 为中心顺时针旋转 $90°$。直角三角形扫过的面积是多少？（π取3）
答案
1. $24+\frac{1}{4}×3×10×10=99$(平方厘米)
答:直角三角形扫过的面积是 99 平方厘米。
答:直角三角形扫过的面积是 99 平方厘米。
2.一个半径为1 cm的圆盘沿着一个半径为4 cm的圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动$90°$后（如图），小圆盘运动过程中扫出的面积是多少？
答案
2. $\frac{1}{4}×(3.14×6^2 - 3.14×4^2 )+ 3.14×1^2 =18.84(cm^2 )$
答:小圆盘运动过程中扫出的面积是 $18.84\ cm^2$。
【解析】小圆盘扫出的面积为 $\frac{1}{4}$圆环与 1 个小圆的面积之和,据此列式即可。
答:小圆盘运动过程中扫出的面积是 $18.84\ cm^2$。
【解析】小圆盘扫出的面积为 $\frac{1}{4}$圆环与 1 个小圆的面积之和,据此列式即可。
3.如图，将边长为1的正三角形ABC放在一条直线上，让三角形绕顶点C顺时针转动到达Ⅱ，再继续让三角形绕顶点B顺时针转动到达Ⅲ，求A点走过的路程的长。（结果用π表示）
答案
3. $60 + 60 = 120$(度)
$120 ÷ 360 = \frac{1}{3}$
$2 × π × 1 × \frac{1}{3} × 2 = \frac{4}{3}π$
答:A 点走过的路程的长是 $\frac{4}{3}π$。
【解析】A 点走过的路程分为两段,均为圆心角 $60°+60°=120°$、半径为 1 的扇形的圆弧。走过的圆心角占整圆的 $120÷360=\frac{1}{3}$,两个扇形圆弧长之和$=2×π×1×\frac{1}{3}×2=\frac{4}{3}π$,即 A点走过的路程的长是$\frac{4}{3}π$。
$120 ÷ 360 = \frac{1}{3}$
$2 × π × 1 × \frac{1}{3} × 2 = \frac{4}{3}π$
答:A 点走过的路程的长是 $\frac{4}{3}π$。
【解析】A 点走过的路程分为两段,均为圆心角 $60°+60°=120°$、半径为 1 的扇形的圆弧。走过的圆心角占整圆的 $120÷360=\frac{1}{3}$,两个扇形圆弧长之和$=2×π×1×\frac{1}{3}×2=\frac{4}{3}π$,即 A点走过的路程的长是$\frac{4}{3}π$。
4.如图，正方形的边长为a cm，对角线的长记作b cm。在其沿直线l无滑动地顺时针滚动一圈的过程中，顶点A走过的轨迹是多长？（结果用π表示）
答案
4. $\frac{1}{4} × 2πb + 2 × \frac{1}{4} × 2πa = \frac{1}{2}πb + πa$
答:顶点 A 走过的轨迹的长是 $\frac{1}{2}πb + πa$。
【解析】连接对角线,转动一圈的过程如下图所示。
过程中当 A 作为中心时,没有动,所以共有 3条曲线。但是注意第一段的轨迹的半径与其他两段不同,此处为 b,旋转的角度是 90°。轨迹长度为 $\frac{1}{4}×2πb + 2×\frac{1}{4}×2πa = \frac{1}{2}πb + πa$。
5. 草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊如图。这只羊能够活动的范围有多大？
答案
5. $3.14 × 30^2 × \frac{3}{4} + 3.14 × 20^2 × \frac{1}{4} + 3.14 × 10^2 × \frac{1}{4} = 2512$(平方米)
答:这只羊能够活动的范围是 2512 平方米。
【解析】如图所示,羊活动的范围可以分为 A,B,C 三部分,其中 A 是半径为 30 米的 $\frac{3}{4}$个圆,B,C 分别是半径为 20 米和 10 米的 $\frac{1}{4}$个圆。所以羊活动的范围是 $3.14 × 30^2 × \frac{3}{4} + 3.14 × 20^2 × \frac{1}{4} + 3.14 × 10^2 × \frac{1}{4} = 2512$(平方米)。
6. 一只狗被拴在底座边长为3 m的等边三角形建筑物的墙角上(如图)，绳长是4 m，求狗所能到的地方的总面积。
答案
6. $3.14 × \frac{300}{360} × 4^2 + 3.14 × \frac{120}{360} × 1^2 × 2 = 43.96(m^2 )$
答:狗所能到的地方的总面积为 $43.96\ m^2$。
【解析】如图所示,狗活动的范围是一个半径4 m、圆心角 $360°-60°=300°$ 的扇形的面积与两个半径 1 m、圆心角 $180°-60°=120°$ 的扇形的面积之和。所以狗所能到的地方总面积是 $3.14 × \frac{300}{360} × 4^2 + 3.14 × \frac{120}{360} × 1^2 × 2 = 43.96(m^2 )$。
