登录
9. 阅读材料，回答问题.
如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含二次根式，就说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式.如：$(2+\sqrt{3}) × (2-\sqrt{3}) = 1$，$(\sqrt{5}+\sqrt{2}) × (\sqrt{5}-\sqrt{2}) = 3$，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式.于是，二次根式的除法可以这样解：
像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫作分母有理化.
【回答问题】
（1）$4+\sqrt{7}$的一个有理化因式是
（2）已知$x=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$，$y=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$，则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=$
（3）若$\frac{1}{2\sqrt{3}+x}=2\sqrt{3}-x$，则$x=$
（4）利用分母有理化的方法化简：
如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含二次根式，就说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式.如：$(2+\sqrt{3}) × (2-\sqrt{3}) = 1$，$(\sqrt{5}+\sqrt{2}) × (\sqrt{5}-\sqrt{2}) = 3$，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式.于是，二次根式的除法可以这样解：
像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫作分母有理化.
【回答问题】
（1）$4+\sqrt{7}$的一个有理化因式是
$4-\sqrt{7}$
，将$\frac{2}{3\sqrt{2}}$分母有理化得$\frac{\sqrt{2}}{3}$
；（2）已知$x=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$，$y=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$，则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=$
$10$
；（3）若$\frac{1}{2\sqrt{3}+x}=2\sqrt{3}-x$，则$x=$
$\pm\sqrt{11}$
；（4）利用分母有理化的方法化简：
答案
9. (1) $4-\sqrt{7}$，$\frac{\sqrt{2}}{3}$；
(2) 10；
(3) $\pm\sqrt{11}$；
(4) $\sqrt{2024}-1$。
(2) 10；
(3) $\pm\sqrt{11}$；
(4) $\sqrt{2024}-1$。
解析
【分析】
本题围绕二次根式的有理化因式、分母有理化展开，解题思路如下：
1. 明确有理化因式定义：两个二次根式相乘积不含二次根式，通常利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$找有理化因式；
2. 分母有理化：分子分母同乘分母的有理化因式，将分母中的根号去掉；
3. 分式运算（如$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）：先通分变形为$\frac{x+y}{xy}$，简化计算，避免分别求$x$、$y$的复杂过程；
4. 解方程类问题：利用等式性质，结合平方差公式展开计算，求解未知数。
【解析】
（1）根据有理化因式定义，$(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})=16-7=9$，积不含二次根式，故$4+\sqrt{7}$的一个有理化因式为$4-\sqrt{7}$；
对$\frac{2}{3\sqrt{2}}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}$：$\frac{2×\sqrt{2}}{3\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3×2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$。
（2）先将$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$通分，得$\frac{x+y}{xy}$；
计算$xy$：$x=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$，$y=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$，则$xy=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=1$；
计算$x+y$：$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$，分子展开得$(3+2\sqrt{6}+2)+(3-2\sqrt{6}+2)=10$，分母为$3-2=1$，故$x+y=10$；
因此$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{10}{1}=10$。
（3）已知$\frac{1}{2\sqrt{3}+x}=2\sqrt{3}-x$，两边同乘$2\sqrt{3}+x$得：$1=(2\sqrt{3}-x)(2\sqrt{3}+x)$；
利用平方差公式展开右边：$(2\sqrt{3})^2 -x^2=12 -x^2$，故$1=12 -x^2$，解得$x^2=11$，即$x=\pm\sqrt{11}$。
（4）根据题意化简结果为$\sqrt{2024}-1$。
【答案】
9. (1) $4-\sqrt{7}$，$\frac{\sqrt{2}}{3}$；(2) 10；(3) $\pm\sqrt{11}$；(4) $\sqrt{2024}-1$
【知识点】
二次根式的有理化因式、分母有理化、二次根式的混合运算
【点评】
本题考查二次根式的核心基础内容，重点是利用平方差公式进行有理化和简化运算，解题时需熟练掌握平方差公式的应用，注意运算过程中的符号和化简细节，整体难度适中。
【难度系数】
0.5
本题围绕二次根式的有理化因式、分母有理化展开，解题思路如下：
1. 明确有理化因式定义：两个二次根式相乘积不含二次根式，通常利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$找有理化因式；
2. 分母有理化：分子分母同乘分母的有理化因式，将分母中的根号去掉；
3. 分式运算（如$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）：先通分变形为$\frac{x+y}{xy}$，简化计算，避免分别求$x$、$y$的复杂过程；
4. 解方程类问题：利用等式性质，结合平方差公式展开计算，求解未知数。
【解析】
（1）根据有理化因式定义，$(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})=16-7=9$，积不含二次根式，故$4+\sqrt{7}$的一个有理化因式为$4-\sqrt{7}$；
对$\frac{2}{3\sqrt{2}}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}$：$\frac{2×\sqrt{2}}{3\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3×2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$。
（2）先将$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$通分，得$\frac{x+y}{xy}$；
计算$xy$：$x=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$，$y=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$，则$xy=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=1$；
计算$x+y$：$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$，分子展开得$(3+2\sqrt{6}+2)+(3-2\sqrt{6}+2)=10$，分母为$3-2=1$，故$x+y=10$；
因此$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{10}{1}=10$。
（3）已知$\frac{1}{2\sqrt{3}+x}=2\sqrt{3}-x$，两边同乘$2\sqrt{3}+x$得：$1=(2\sqrt{3}-x)(2\sqrt{3}+x)$；
利用平方差公式展开右边：$(2\sqrt{3})^2 -x^2=12 -x^2$，故$1=12 -x^2$，解得$x^2=11$，即$x=\pm\sqrt{11}$。
（4）根据题意化简结果为$\sqrt{2024}-1$。
【答案】
9. (1) $4-\sqrt{7}$，$\frac{\sqrt{2}}{3}$；(2) 10；(3) $\pm\sqrt{11}$；(4) $\sqrt{2024}-1$
【知识点】
二次根式的有理化因式、分母有理化、二次根式的混合运算
【点评】
本题考查二次根式的核心基础内容，重点是利用平方差公式进行有理化和简化运算，解题时需熟练掌握平方差公式的应用，注意运算过程中的符号和化简细节，整体难度适中。
【难度系数】
0.5
