8. 在学习二次根式时，思思同学发现了一个这样的规律.

（1）仿照上述①式，②式的验证过程，请写出③式的验证过程；
（2）猜想 $5\sqrt{\dfrac{5}{24}} = \_\_\_\_\_\_$；
（3）试用含$n$（$n$为自然数且$n ≥ 2$）的等式表示这一规律，并加以证明.

8. (1) $4\sqrt{\dfrac{4}{15}} = \sqrt{\dfrac{4^3}{15}} = \sqrt{\dfrac{(4^3-4)+4}{4^2-1}} = \sqrt{\dfrac{4(4^2-1)+4}{4^2-1}} = \sqrt{4+\dfrac{4}{15}}$；
(2) $\sqrt{5+\dfrac{5}{24}}$；
(3) $n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}} = \sqrt{\dfrac{n^3}{n^2-1}} = \sqrt{\dfrac{(n^3-n)+n}{n^2-1}} = \sqrt{\dfrac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}} = \sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}$。

【分析】
首先观察题目给出的①②式的验证过程，明确变形核心：将根号外的整数转化为根号内的立方项，分母为该整数平方减1，再将分子拆分为含该整数与分母乘积的形式，从而化简为“整数 + 分数”的根式。解题时，先模仿③式的验证步骤完成第(1)问，再根据规律猜想第(2)问结果，最后归纳含n的通用等式并证明。
【解析】
(1) 仿照①②式验证过程，对③式验证：
$4\sqrt{\dfrac{4}{15}} = \sqrt{\dfrac{4^3}{15}} = \sqrt{\dfrac{(4^3 - 4) + 4}{4^2 - 1}} = \sqrt{\dfrac{4(4^2 - 1) + 4}{4^2 - 1}} = \sqrt{4 + \dfrac{4}{15}}$；
(2) 根据规律，当n=5时，$5\sqrt{\dfrac{5}{24}} = \sqrt{5 + \dfrac{5}{24}}$；
(3) 归纳规律：对自然数n≥2，$n\sqrt{\dfrac{n}{n^2 - 1}} = \sqrt{n + \dfrac{n}{n^2 - 1}}$，证明如下：
左边$= \sqrt{\dfrac{n^3}{n^2 - 1}} = \sqrt{\dfrac{(n^3 - n) + n}{n^2 - 1}} = \sqrt{\dfrac{n(n^2 - 1) + n}{n^2 - 1}} = \sqrt{n + \dfrac{n}{n^2 - 1}} = $右边，等式成立。
【答案】
(1) $4\sqrt{\dfrac{4}{15}} = \sqrt{\dfrac{4^3}{15}} = \sqrt{\dfrac{(4^3 - 4) + 4}{4^2 - 1}} = \sqrt{\dfrac{4(4^2 - 1) + 4}{4^2 - 1}} = \sqrt{4 + \dfrac{4}{15}}$；
(2) $\sqrt{5 + \dfrac{5}{24}}$；
(3) $n\sqrt{\dfrac{n}{n^2 - 1}} = \sqrt{n + \dfrac{n}{n^2 - 1}}$，证明如上。
【知识点】
二次根式性质、找规律、代数式证明
【点评】
本题通过具体二次根式等式归纳通用规律，考查观察、推理与二次根式化简能力，关键是发现整数与分子、分母的关系，推导通用公式。
【难度系数】
0.5