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10.如图9，已知直线a,b相交于点O，若∠1=40°，则∠2等于 （
A.50°
B.60°
C.140°
D.160°
C
）A.50°
B.60°
C.140°
D.160°
答案
10.C
解析
【分析】
首先观察图形，直线a、b相交于点O，∠1和∠2有公共顶点O、一条公共边，另一边互为反向延长线，属于邻补角。根据邻补角和为180°的性质，已知∠1的度数，用180°减去∠1的度数就能求出∠2的度数。
【解析】
解：由图可得∠1与∠2是邻补角，根据邻补角的性质，二者之和为180°，即∠1+∠2=180°。
已知∠1=40°，代入计算得：
∠2=180°-∠1=180°-40°=140°
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
邻补角的性质、平角的定义
【点评】
本题是基础角度计算题，主要考察相交线中邻补角的相关计算，只要掌握邻补角之和为180°的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
首先观察图形，直线a、b相交于点O，∠1和∠2有公共顶点O、一条公共边，另一边互为反向延长线，属于邻补角。根据邻补角和为180°的性质，已知∠1的度数，用180°减去∠1的度数就能求出∠2的度数。
【解析】
解：由图可得∠1与∠2是邻补角，根据邻补角的性质，二者之和为180°，即∠1+∠2=180°。
已知∠1=40°，代入计算得：
∠2=180°-∠1=180°-40°=140°
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
邻补角的性质、平角的定义
【点评】
本题是基础角度计算题，主要考察相交线中邻补角的相关计算，只要掌握邻补角之和为180°的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
11.如图10，三条直线$l_1,l_2,l_3$相交于点O，则$∠1+∠2+∠3$等于（
A.$90°$
B.$120°$
C.$180°$
D.$360°$
图10 图11
C
）A.$90°$
B.$120°$
C.$180°$
D.$360°$
图10 图11
答案
11.C
解析
【分析】
解题时可先回忆对顶角的性质和平角的定义，首先找到∠3的对顶角，利用对顶角相等把∠3替换成它的对顶角，此时∠1、∠2和∠3的对顶角刚好在同一条直线上，共同组成一个平角，平角度数为180°，通过等量代换就能求出三个角的和。
【解析】
解：根据对顶角的性质可知，∠3与它的对顶角大小相等。
因为∠1、∠2和∠3的对顶角共同组成一个平角，由平角的定义可得：$∠ 1+∠ 2+∠ 3\mathrm{的对顶角}=180°$。
通过等量代换，可得$∠ 1+∠ 2+∠ 3=180°$。
【答案】
C
【知识点】
对顶角的性质；平角的定义；等量代换
【点评】
本题属于相交线相关的基础计算题，解题核心是利用对顶角相等将分散的三个角转化到同一个平角中，再结合平角的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时可先回忆对顶角的性质和平角的定义，首先找到∠3的对顶角，利用对顶角相等把∠3替换成它的对顶角，此时∠1、∠2和∠3的对顶角刚好在同一条直线上，共同组成一个平角，平角度数为180°，通过等量代换就能求出三个角的和。
【解析】
解：根据对顶角的性质可知，∠3与它的对顶角大小相等。
因为∠1、∠2和∠3的对顶角共同组成一个平角，由平角的定义可得：$∠ 1+∠ 2+∠ 3\mathrm{的对顶角}=180°$。
通过等量代换，可得$∠ 1+∠ 2+∠ 3=180°$。
【答案】
C
【知识点】
对顶角的性质；平角的定义；等量代换
【点评】
本题属于相交线相关的基础计算题，解题核心是利用对顶角相等将分散的三个角转化到同一个平角中，再结合平角的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.9
12.如图11，已知$AB// DE$，$∠ ABC=70°$，$∠ BCD=20°$，则$∠ CDE$的度数为（
A.$110°$
B.$130°$
C.$150°$
D.$160°$
B
）A.$110°$
B.$130°$
C.$150°$
D.$160°$
答案
12.B
解析
【分析】
已知AB//DE，但两条平行线未被同一直线直接截断，无法直接运用平行线的性质求解角度。我们可以过点C作辅助线CF//AB，根据平行公理的推论可得到CF//DE，这样就能把已知的∠ABC、∠BCD和待求的∠CDE通过平行线的角的性质建立联系，逐步计算即可得到结果。
【解析】
过点C作CF//AB，
∵AB//DE（已知），CF//AB（辅助线作法），
∴CF//DE（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵AB//CF，
∴∠ABC=∠BCF（两直线平行，内错角相等），
∵∠ABC=70°，
∴∠BCF=70°。
又
∵∠BCD=20°，
∴∠DCF=∠BCF - ∠BCD = 70° - 20° = 50°。
∵CF//DE，
∴∠CDE + ∠DCF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠CDE = 180° - 50° = 130°。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，角度计算
【点评】
本题是平行线性质的常见应用题型，解题的核心是通过作辅助线构造平行关系，将分散的已知角和待求角建立关联，熟练掌握平行线的内错角、同旁内角的性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
已知AB//DE，但两条平行线未被同一直线直接截断，无法直接运用平行线的性质求解角度。我们可以过点C作辅助线CF//AB，根据平行公理的推论可得到CF//DE，这样就能把已知的∠ABC、∠BCD和待求的∠CDE通过平行线的角的性质建立联系，逐步计算即可得到结果。
【解析】
过点C作CF//AB，
∵AB//DE（已知），CF//AB（辅助线作法），
∴CF//DE（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵AB//CF，
∴∠ABC=∠BCF（两直线平行，内错角相等），
∵∠ABC=70°，
∴∠BCF=70°。
又
∵∠BCD=20°，
∴∠DCF=∠BCF - ∠BCD = 70° - 20° = 50°。
∵CF//DE，
∴∠CDE + ∠DCF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠CDE = 180° - 50° = 130°。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，角度计算
【点评】
本题是平行线性质的常见应用题型，解题的核心是通过作辅助线构造平行关系，将分散的已知角和待求角建立关联，熟练掌握平行线的内错角、同旁内角的性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
13. 一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，则这两次拐弯的角度可能为 （
A.第一次向右拐 $ 38° $，第二次向左拐 $ 142° $
B.第一次向左拐 $ 38° $，第二次向右拐 $ 38° $
C.第一次向左拐 $ 38° $，第二次向右拐 $ 142° $
D.第一次向右拐 $ 38° $，第二次向右拐 $ 40° $
B
）A.第一次向右拐 $ 38° $，第二次向左拐 $ 142° $
B.第一次向左拐 $ 38° $，第二次向右拐 $ 38° $
C.第一次向左拐 $ 38° $，第二次向右拐 $ 142° $
D.第一次向右拐 $ 38° $，第二次向右拐 $ 40° $
答案
13.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确核心要求：两次拐弯后汽车行驶方向与原方向平行且同向。我们可将汽车行驶路线看作直线，两次拐弯相当于两条直线被拐弯前的行驶路线所截，要让最终方向与原方向一致，需两次拐弯角度大小相等、方向相反，才能保证同位角相等、两直线平行，最终行驶方向和原方向相同，接下来逐一分析选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A. 第一次向右拐38°，第二次向左拐142°，相当于整体向左拐了142°-38°=104°，最终方向与原方向存在夹角，不平行，不符合要求；
B. 第一次向左拐38°，第二次向右拐38°，两次拐弯角度大小相等、方向相反，刚好抵消拐弯的影响，最终行驶方向与原方向一致且平行，符合要求；
C. 第一次向左拐38°，第二次向右拐142°，相当于整体向右拐了142°-38°=104°，最终方向与原方向不平行，不符合要求；
D. 两次均向右拐，整体向右拐了38°+40°=78°，最终方向与原方向不平行，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定；方向角的应用
【点评】
这道题是几何知识在实际生活中的应用，解题关键是理解两次拐弯后仍沿原方向平行行驶的隐含条件，结合平行线判定规则即可快速判断，要注意避免混淆拐弯方向和角度的关系。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确核心要求：两次拐弯后汽车行驶方向与原方向平行且同向。我们可将汽车行驶路线看作直线，两次拐弯相当于两条直线被拐弯前的行驶路线所截，要让最终方向与原方向一致，需两次拐弯角度大小相等、方向相反，才能保证同位角相等、两直线平行，最终行驶方向和原方向相同，接下来逐一分析选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A. 第一次向右拐38°，第二次向左拐142°，相当于整体向左拐了142°-38°=104°，最终方向与原方向存在夹角，不平行，不符合要求；
B. 第一次向左拐38°，第二次向右拐38°，两次拐弯角度大小相等、方向相反，刚好抵消拐弯的影响，最终行驶方向与原方向一致且平行，符合要求；
C. 第一次向左拐38°，第二次向右拐142°，相当于整体向右拐了142°-38°=104°，最终方向与原方向不平行，不符合要求；
D. 两次均向右拐，整体向右拐了38°+40°=78°，最终方向与原方向不平行，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定；方向角的应用
【点评】
这道题是几何知识在实际生活中的应用，解题关键是理解两次拐弯后仍沿原方向平行行驶的隐含条件，结合平行线判定规则即可快速判断，要注意避免混淆拐弯方向和角度的关系。
【难度系数】
0.8
14.如图12，$AB=4\ \mathrm{cm}$，$BC=5\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$，将三角形$ABC$沿$BC$方向平移$a\ \mathrm{cm}(0＜a＜5)$，得到三角形$DEF$，连接$AD$，则阴影部分的周长为
$12$
$\mathrm{cm}$.答案
14.12
解析
【分析】
解题时先回忆平移的性质：平移前后图形的对应边相等，对应点的连线长度等于平移距离。我们先明确△ABC平移得到△DEF后的各对应边、对应点连线的等量关系，再把阴影部分的周长拆解为几条线段的和，通过等量替换，将未知的线段用已知的△ABC的边长代替，即可算出结果，不需要单独求出平移距离a的具体值。
【解析】
∵ △ABC沿BC方向平移a cm得到△DEF
∴ 根据平移的性质可得：$AD=BE=a\ \mathrm{cm}$，$DE=AB=4\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$，$BC=5\ \mathrm{cm}$
设AC与DE的交点为O，阴影部分的周长为两个阴影三角形的周长和，即：
$C_{\mathrm{阴影}} = AO + OD + AD + EO + OC + EC$
对线段进行分组整理：
$= (AO + OC) + (OD + EO) + (AD + EC)$
其中$AO+OC=AC=3\ \mathrm{cm}$，$OD+EO=DE=AB=4\ \mathrm{cm}$，$AD+EC=BE+EC=BC=5\ \mathrm{cm}$
代入得：$C_{\mathrm{阴影}}=3+4+5=12\ \mathrm{cm}$
【答案】
12
【知识点】
平移的性质，周长计算
【点评】
本题重点考查平移性质的应用，解题核心是通过等量代换将阴影部分的未知边长转化为已知三角形的边长，避免了对未知参数a的求解，是平移类周长计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆平移的性质：平移前后图形的对应边相等，对应点的连线长度等于平移距离。我们先明确△ABC平移得到△DEF后的各对应边、对应点连线的等量关系，再把阴影部分的周长拆解为几条线段的和，通过等量替换，将未知的线段用已知的△ABC的边长代替，即可算出结果，不需要单独求出平移距离a的具体值。
【解析】
∵ △ABC沿BC方向平移a cm得到△DEF
∴ 根据平移的性质可得：$AD=BE=a\ \mathrm{cm}$，$DE=AB=4\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$，$BC=5\ \mathrm{cm}$
设AC与DE的交点为O，阴影部分的周长为两个阴影三角形的周长和，即：
$C_{\mathrm{阴影}} = AO + OD + AD + EO + OC + EC$
对线段进行分组整理：
$= (AO + OC) + (OD + EO) + (AD + EC)$
其中$AO+OC=AC=3\ \mathrm{cm}$，$OD+EO=DE=AB=4\ \mathrm{cm}$，$AD+EC=BE+EC=BC=5\ \mathrm{cm}$
代入得：$C_{\mathrm{阴影}}=3+4+5=12\ \mathrm{cm}$
【答案】
12
【知识点】
平移的性质，周长计算
【点评】
本题重点考查平移性质的应用，解题核心是通过等量代换将阴影部分的未知边长转化为已知三角形的边长，避免了对未知参数a的求解，是平移类周长计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
15. 如图13，AB//CD，∠B=∠D。求证：∠1=∠2。
图13
图13答案
证明：
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ B + ∠ BCD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
又∵ $∠ B = ∠ D$，
∴ $∠ D + ∠ BCD = 180°$（等量代换），
∴ $AD// BC$（同旁内角互补，两直线平行），
∴ $∠ 1 = ∠ 2$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ B + ∠ BCD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
又∵ $∠ B = ∠ D$，
∴ $∠ D + ∠ BCD = 180°$（等量代换），
∴ $AD// BC$（同旁内角互补，两直线平行），
∴ $∠ 1 = ∠ 2$（两直线平行，内错角相等）。
解析
【分析】
要证明∠1=∠2，首先观察图形可知∠1和∠2是AD、BC被AC所截形成的内错角，因此只需证明AD//BC即可。我们先从已知的AB//CD出发，利用平行线的性质得到∠B与∠BCD互补，再结合已知∠B=∠D，通过等量代换得到∠D与∠BCD互补，由此可判定AD//BC，最后利用平行线的性质就能推出∠1=∠2。
【解析】
证明：
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ B + ∠ BCD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
又
∵ $∠ B = ∠ D$，
∴ $∠ D + ∠ BCD = 180°$（等量代换），
∴ $AD// BC$（同旁内角互补，两直线平行），
∴ $∠ 1 = ∠ 2$（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
证明过程如上，可证得∠1=∠2。
【知识点】
平行线的性质，平行线的判定，等量代换
【点评】
本题是平行线性质与判定的基础综合应用，解题时要注意区分两类定理的使用场景：由线的平行关系推导角的数量关系用平行线的性质，由角的数量关系推导线的平行关系用平行线的判定，熟练掌握相关定理是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
要证明∠1=∠2，首先观察图形可知∠1和∠2是AD、BC被AC所截形成的内错角，因此只需证明AD//BC即可。我们先从已知的AB//CD出发，利用平行线的性质得到∠B与∠BCD互补，再结合已知∠B=∠D，通过等量代换得到∠D与∠BCD互补，由此可判定AD//BC，最后利用平行线的性质就能推出∠1=∠2。
【解析】
证明：
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ B + ∠ BCD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
又
∵ $∠ B = ∠ D$，
∴ $∠ D + ∠ BCD = 180°$（等量代换），
∴ $AD// BC$（同旁内角互补，两直线平行），
∴ $∠ 1 = ∠ 2$（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
证明过程如上，可证得∠1=∠2。
【知识点】
平行线的性质，平行线的判定，等量代换
【点评】
本题是平行线性质与判定的基础综合应用，解题时要注意区分两类定理的使用场景：由线的平行关系推导角的数量关系用平行线的性质，由角的数量关系推导线的平行关系用平行线的判定，熟练掌握相关定理是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
16. 如图14，已知直线AB与CD相交于点O，射线OE在∠AOD的内部，∠AOC=70°−$\frac{1}{2}$∠AOE.
(1) 如图14①，当∠AOE=40°时，请写出与∠BOD互余的角；
(2) 如图14②，若OF平分∠BOE，求∠DOF的度数.
(1) 如图14①，当∠AOE=40°时，请写出与∠BOD互余的角；
(2) 如图14②，若OF平分∠BOE，求∠DOF的度数.
答案
16.(1)$∠AOE$ (2)$∠DOF=20°$
解析
【分析】
(1) 首先根据对顶角相等可知∠BOD=∠AOC，将已知∠AOE的度数代入题给式子算出∠AOC的度数，即可得到∠BOD的度数，再根据互余的定义（两角之和为90°则两角互余），找出与∠BOD相加等于90°的角即可。
(2) 先由对顶角相等得到∠BOD=∠AOC，再结合角平分线的性质得到∠BOF与∠BOE的关系，利用平角为180°将∠BOE用∠AOE表示，最后根据角的和差关系列出∠DOF的表达式，化简后即可消去未知量得到∠DOF的度数。
【解析】
(1) 当∠AOE=40°时，代入$∠ AOC=70°-\frac{1}{2}∠ AOE$，得：
$∠ AOC=70°-\frac{1}{2}×40°=50°$
∵直线AB与CD相交于点O，对顶角相等
∴$∠ BOD=∠ AOC=50°$
∵$∠ BOD+∠ AOE=50°+40°=90°$，符合互余的定义
∴与∠BOD互余的角是∠AOE。
(2)
∵直线AB与CD相交于点O，对顶角相等
∴$∠ BOD=∠ AOC=70°-\frac{1}{2}∠ AOE$
∵OF平分∠BOE
∴$∠ BOF=\frac{1}{2}∠ BOE$
又
∵∠AOE和∠BOE组成平角，即$∠ AOE+∠ BOE=180°$
∴$∠ BOE=180°-∠ AOE$，代入得：
$∠ BOF=\frac{1}{2}(180°-∠ AOE)=90°-\frac{1}{2}∠ AOE$
根据角的和差关系：$∠ DOF=∠ BOF-∠ BOD$，代入表达式：
$∠ DOF=(90°-\frac{1}{2}∠ AOE)-(70°-\frac{1}{2}∠ AOE)=20°$
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠AOE}$
(2) $\boldsymbol{∠DOF=20°}$
【知识点】
对顶角相等，余角的定义，角平分线的性质
【点评】
本题考查相交线相关的角度计算，解题核心是结合图形理清各角的等量关系、和差关系，第二小问通过代数式化简消去未知角，无需知道∠AOE的具体度数即可求解，体现了整体代换的解题思想。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据对顶角相等可知∠BOD=∠AOC，将已知∠AOE的度数代入题给式子算出∠AOC的度数，即可得到∠BOD的度数，再根据互余的定义（两角之和为90°则两角互余），找出与∠BOD相加等于90°的角即可。
(2) 先由对顶角相等得到∠BOD=∠AOC，再结合角平分线的性质得到∠BOF与∠BOE的关系，利用平角为180°将∠BOE用∠AOE表示，最后根据角的和差关系列出∠DOF的表达式，化简后即可消去未知量得到∠DOF的度数。
【解析】
(1) 当∠AOE=40°时，代入$∠ AOC=70°-\frac{1}{2}∠ AOE$，得：
$∠ AOC=70°-\frac{1}{2}×40°=50°$
∵直线AB与CD相交于点O，对顶角相等
∴$∠ BOD=∠ AOC=50°$
∵$∠ BOD+∠ AOE=50°+40°=90°$，符合互余的定义
∴与∠BOD互余的角是∠AOE。
(2)
∵直线AB与CD相交于点O，对顶角相等
∴$∠ BOD=∠ AOC=70°-\frac{1}{2}∠ AOE$
∵OF平分∠BOE
∴$∠ BOF=\frac{1}{2}∠ BOE$
又
∵∠AOE和∠BOE组成平角，即$∠ AOE+∠ BOE=180°$
∴$∠ BOE=180°-∠ AOE$，代入得：
$∠ BOF=\frac{1}{2}(180°-∠ AOE)=90°-\frac{1}{2}∠ AOE$
根据角的和差关系：$∠ DOF=∠ BOF-∠ BOD$，代入表达式：
$∠ DOF=(90°-\frac{1}{2}∠ AOE)-(70°-\frac{1}{2}∠ AOE)=20°$
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠AOE}$
(2) $\boldsymbol{∠DOF=20°}$
【知识点】
对顶角相等，余角的定义，角平分线的性质
【点评】
本题考查相交线相关的角度计算，解题核心是结合图形理清各角的等量关系、和差关系，第二小问通过代数式化简消去未知角，无需知道∠AOE的具体度数即可求解，体现了整体代换的解题思想。
【难度系数】
0.7
