9.如图,已知等边三角形 ABC 的边长为 6.请建立适当的平面直角坐标系,并写出顶点 A,B,C 的坐标.

9.解:过点 A 作AO⊥BC 于点O,以 BC 所在的直线为x 轴,AO 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系,如答图所示.
则点 O 为坐标原点，
∵△ABC 是等边三角形,且边长为 6，
∴AB=BC=AC=6.
∵AO⊥BC 于点O，
∴OB=OC=$\frac{1}{2}$BC=3,∠AOC=90°，
∴点 B 的坐标为(-3,0),点 C 的坐标为(3,0).
在△AOC 中,∠AOC=90°，
由勾股定理得，
$OA=\sqrt{AC^2-OC^2}=\sqrt{36-9}=3\sqrt{3}$，
∴点 A 的坐标为$(0,3\sqrt{3})$，
∴点$A(0,3\sqrt{3})$,点$B(-3,0)$,点$C(3,0)$.

【分析】
要解决该问题，首先需要选择便于计算的平面直角坐标系，优先让更多的点落在坐标轴上可简化运算。我们可以将BC边放在x轴上，过点A作BC的垂线作为y轴建立坐标系，之后利用等边三角形三线合一的性质求出B、C的坐标，再通过勾股定理求出等边三角形的高，即可得到A点的坐标。
【解析】
过点A作AO⊥BC于点O，以BC所在的直线为x轴，AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，点O为坐标原点。
已知△ABC是边长为6的等边三角形，因此AB=BC=AC=6。
根据等边三角形三线合一的性质，AO是BC边上的中线，因此$OB=OC=\frac{1}{2}BC=3$，可得点B坐标为$(-3,0)$，点C坐标为$(3,0)$。
在$Rt△ AOC$中，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AC^2-OC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{36-9}=3\sqrt{3}$，因此点A的坐标为$(0,3\sqrt{3})$。
【答案】
过点 A 作AO⊥BC 于点O,以 BC 所在的直线为x 轴,AO 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系,如答图所示.
则点 O 为坐标原点，
∵△ABC 是等边三角形,且边长为 6，
∴AB=BC=AC=6.
∵AO⊥BC 于点O，
∴OB=OC=$\frac{1}{2}$BC=3,∠AOC=90°，
∴点 B 的坐标为(-3,0),点 C 的坐标为(3,0).
在△AOC 中,∠AOC=90°，
由勾股定理得，
$OA=\sqrt{AC^2-OC^2}=\sqrt{36-9}=3\sqrt{3}$，
∴点 A 的坐标为$(0,3\sqrt{3})$，
∴点$A(0,3\sqrt{3})$,点$B(-3,0)$,点$C(3,0)$.
【知识点】
平面直角坐标系建系，等边三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何图形结合的基础题型，解题核心是选择合理的坐标系简化运算，考查了等边三角形的性质和勾股定理的基础应用，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

10.如图,在平面直角坐标系中,点 B 的坐标为$(1,0)$,点 A 位于第三象限,且到 x 轴的距离为 1,到 y 轴的距离为 3.
(1)写出点 C 的坐标,并在图中画出点 A 及$△ ABC$;
(2)将$△ ABC$各顶点的纵坐标保持不变,横坐标分别乘$-1$,则所得图形与原$△ ABC$的位置关于轴对称;
(3)若$BC// AD$,且$BC=AD$,直接写出点 D 的坐标.

10.解:(1)点 C 的坐标为(1,2).作图如答图所示.
(2)y.
(3)$D(-3,1)$或$D(-3,-3)$.

【分析】
(1) 求点C坐标时，观察点C和点B的位置关系，二者横坐标相同，点C在点B上方2个单位，结合B(1,0)即可得C的坐标；求点A坐标时，根据第三象限点横、纵坐标均为负的特征，结合点到x轴的距离是纵坐标的绝对值、到y轴的距离是横坐标的绝对值，即可确定A的坐标，再依次连接三个点得到△ABC。
(2) 回忆坐标轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数时，两点关于y轴对称，据此可判断图形的对称关系。
(3) 先分析BC的特征：BC是竖直方向的线段，长度为2，结合AD//BC且AD=BC可知AD也为竖直线段、长度为2，分D在A的上方、下方两种情况计算即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 观察坐标系，点C与点B(1,0)横坐标相同，纵坐标比B大2，因此点C的坐标为$\boldsymbol{(1,2)}$；
点A在第三象限，到x轴距离为1，则纵坐标为-1，到y轴距离为3，则横坐标为-3，即$A(-3,-1)$，描出点A后，依次连接A、B、C三点即可画出$△ ABC$，作图如答图所示。
(2) 若点的纵坐标不变，横坐标乘-1，即对应点的坐标为$(-x,y)$，满足关于y轴对称的点的坐标特征，因此所得图形与原$△ ABC$关于y轴对称。
(3) 由$B(1,0)$、$C(1,2)$可知，BC为竖直线段，长度为2，且BC平行于y轴；
因为$AD// BC$且$AD=BC$，所以AD也平行于y轴，即D的横坐标与$A(-3,-1)$相同，均为-3，AD长度为2：
① 当D在A上方时，D的纵坐标为$-1+2=1$，即$D(-3,1)$；
② 当D在A下方时，D的纵坐标为$-1-2=-3$，即$D(-3,-3)$。
综上，点D的坐标为$(-3,1)$或$(-3,-3)$。
【答案】
(1) 点C的坐标为(1,2).作图如答图所示.
(2) y
(3) $D(-3,1)$或$D(-3,-3)$
【知识点】
点的坐标特征，轴对称坐标规律，平行线段坐标运算
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，侧重考查坐标的基本性质和分类讨论思想，易错点是第三问容易漏掉其中一种D点的位置，解题时要注意考虑全面。
【难度系数】
0.7

11.(1)如图,在平面直角坐标系中描出下列各点:$A(2,0),B(1,3),C(-2,-2),D(1,-2)$;
(2)按$A→B→C→D→A$的顺序将所描出的点用线段连接起来,看看得到的是什么图形;
(3)计算所得到的图形面积.

11.解:(1)在平面直角坐标系中描出点 A,B,C,D 如答图.
(2)按$A→B→C→D→A$的顺序将所描出的点用线段连接起来得到的是四边形.
(3)连接 BD 如答图所示,$S_{四边形ABCD}=S_{△ BCD}+S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×5×(3+1)=10$.

【分析】
(1) 描点时根据坐标的对应规则：横坐标对应x轴刻度，纵坐标对应y轴刻度，找到横、纵坐标的交点即可确定各点位置；
(2) 按给定顺序依次连接各点后，直接观察即可判断图形形状；
(3) 所得四边形是不规则图形，可通过分割法转化为规则图形求解：观察发现点B和点D横坐标相同，连接BD可将四边形分为两个共底的三角形，BD为公共底，分别求出两个三角形对应底边上的高，结合三角形面积公式即可算出总面积。
【解析】
(1) 按坐标特征描点：A(2,0)在x轴正半轴刻度2处，B(1,3)在x=1、y=3的交点处，C(-2,-2)在x负半轴刻度2、y负半轴刻度2的交点处，D(1,-2)在x=1、y=-2的交点处，描点结果如答图。
(2) 按$A→B→C→D→A$的顺序依次连接各点，观察可得所得图形为四边形。
(3) 连接BD辅助计算：
∵ 点B坐标为(1,3)，点D坐标为(1,-2)，二者横坐标相同，
∴ 线段BD的长度为$3-(-2)=5$；
△BCD以BD为底时，高为点C到直线BD（直线x=1）的水平距离：$1-(-2)=3$；
△ABD以BD为底时，高为点A到直线BD的水平距离：$2-1=1$；
∴ $S_{四边形ABCD}=S_{△BCD}+S_{△ABD}=\frac{1}{2}×5×3+\frac{1}{2}×5×1=\frac{1}{2}×5×(3+1)=10$。
【答案】
(1) 在平面直角坐标系中描出点 A,B,C,D 如答图.
(2) 按$A→B→C→D→A$的顺序将所描出的点用线段连接起来得到的是四边形.
(3) 所得到的图形面积为10.
【知识点】
平面直角坐标系描点、割补法求面积、三角形面积计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系的基础应用和不规则图形的面积计算，将不规则四边形分割为两个共底的三角形是解题的核心，解题时注意观察点的坐标特征，可大幅简化计算步骤。
【难度系数】
0.7