登录
1.一个多边形的内角和为$540°$,则这个多边形可能是（
）
）答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先我们需要用到多边形内角和的计算公式，解题思路如下：第一步，回忆n边形内角和公式；第二步，将已知的内角和度数代入公式，列方程求出多边形的边数；第三步，匹配选项中对应边数的图形即可得到答案。
【解析】
设这个多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式：$n$边形的内角和为$(n-2)×180°$（$n≥3$且$n$为整数），代入已知条件可得：
$(n-2)×180°=540°$
等式两边同时除以$180°$，得：
$n-2=3$
解得$n=5$，即这个多边形是五边形。
观察选项：A为三角形（3条边），B为四边形（4条边），C为五边形（5条边），D为六边形（6条边），因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
多边形内角和公式
【点评】
本题是多边形内角和的基础应用题目，熟练掌握公式即可快速求出边数，进而匹配对应图形得到答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先我们需要用到多边形内角和的计算公式，解题思路如下：第一步，回忆n边形内角和公式；第二步，将已知的内角和度数代入公式，列方程求出多边形的边数；第三步，匹配选项中对应边数的图形即可得到答案。
【解析】
设这个多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式：$n$边形的内角和为$(n-2)×180°$（$n≥3$且$n$为整数），代入已知条件可得：
$(n-2)×180°=540°$
等式两边同时除以$180°$，得：
$n-2=3$
解得$n=5$，即这个多边形是五边形。
观察选项：A为三角形（3条边），B为四边形（4条边），C为五边形（5条边），D为六边形（6条边），因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
多边形内角和公式
【点评】
本题是多边形内角和的基础应用题目，熟练掌握公式即可快速求出边数，进而匹配对应图形得到答案。
【难度系数】
0.9
2.若一个正多边形的每个外角是$72°$,则它的对角线有 (
A.4条
B.5条
C.6条
D.7条
B
)A.4条
B.5条
C.6条
D.7条
答案
2.B
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，利用正多边形外角和为固定值360°的性质，结合已知的每个外角的度数，求出正多边形的边数；第二步，将求得的边数代入多边形对角线总条数的计算公式，即可算出对角线的数量。
【解析】
1. 求正多边形的边数：
任意正多边形的外角和均为360°，已知该正多边形每个外角为72°，因此边数$n = 360° ÷ 72° = 5$，即该图形为正五边形。
2. 计算对角线总条数：
$n$边形的对角线总条数公式为$\frac{n(n-3)}{2}$，将$n=5$代入公式得：
$\frac{5×(5-3)}{2} = \frac{5×2}{2} = 5$（条）
因此该正多边形的对角线有5条。
【答案】
B
【知识点】
正多边形外角和性质；多边形对角线计算公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查正多边形基本性质和对角线公式的应用，解题的关键是牢记正多边形外角和恒为360°，熟练掌握对角线计算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：第一步，利用正多边形外角和为固定值360°的性质，结合已知的每个外角的度数，求出正多边形的边数；第二步，将求得的边数代入多边形对角线总条数的计算公式，即可算出对角线的数量。
【解析】
1. 求正多边形的边数：
任意正多边形的外角和均为360°，已知该正多边形每个外角为72°，因此边数$n = 360° ÷ 72° = 5$，即该图形为正五边形。
2. 计算对角线总条数：
$n$边形的对角线总条数公式为$\frac{n(n-3)}{2}$，将$n=5$代入公式得：
$\frac{5×(5-3)}{2} = \frac{5×2}{2} = 5$（条）
因此该正多边形的对角线有5条。
【答案】
B
【知识点】
正多边形外角和性质；多边形对角线计算公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查正多边形基本性质和对角线公式的应用，解题的关键是牢记正多边形外角和恒为360°，熟练掌握对角线计算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果∠1=50°，∠2=40°，那么∠3的度数为（
A.20°
B.18°
C.15°
D.12°
D
）A.20°
B.18°
C.15°
D.12°
答案
3.D
解析
【分析】解题时首先回忆正多边形内角的计算方法，先求出等边三角形、正方形、正五边形的内角度数；再观察图形中角的位置关系，可发现三个正多边形的内角与∠1、∠2、∠3的和等于周角360°；最后将已知角度代入数量关系，计算即可得到∠3的度数。
【解析】
1. 计算各正多边形的内角度数：
等边三角形的内角为：$180°÷3=60°$
正方形的内角为：$360°÷4=90°$
正五边形的内角为：$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
2. 根据图形的角度关系可得：
$∠1+∠2+∠3+60°+90°+108°=360°$
3. 代入$∠1=50°$，$∠2=40°$计算：
$∠3=360°-50°-40°-60°-90°-108°=12°$
【答案】D
【知识点】正多边形内角计算、角度和运算
【点评】本题结合正多边形的性质考查角度计算，解题的核心是准确找到多个角之间的数量关系，难度不大，需要熟练掌握正多边形内角的计算方法，提升对组合图形中角度关系的观察能力。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 计算各正多边形的内角度数：
等边三角形的内角为：$180°÷3=60°$
正方形的内角为：$360°÷4=90°$
正五边形的内角为：$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
2. 根据图形的角度关系可得：
$∠1+∠2+∠3+60°+90°+108°=360°$
3. 代入$∠1=50°$，$∠2=40°$计算：
$∠3=360°-50°-40°-60°-90°-108°=12°$
【答案】D
【知识点】正多边形内角计算、角度和运算
【点评】本题结合正多边形的性质考查角度计算，解题的核心是准确找到多个角之间的数量关系，难度不大，需要熟练掌握正多边形内角的计算方法，提升对组合图形中角度关系的观察能力。
【难度系数】0.7
4. 在$□ ABCD$中，$∠ A: ∠ B: ∠ C: ∠ D$的值可能是 （
A.$2:1:1:2$
B.$2:2:1:1$
C.$1:2:1:2$
D.$1:1:2:2$
C
）A.$2:1:1:2$
B.$2:2:1:1$
C.$1:2:1:2$
D.$1:1:2:2$
答案
4.C
解析
【分析】
首先回忆平行四边形的核心性质：平行四边形的两组对角分别相等。因此在∠A:∠B:∠C:∠D的比值中，代表∠A和∠C的第一、第三项数值必须相等，代表∠B和∠D的第二、第四项数值必须相等，我们只需要按照这个规律逐一比对选项就能选出正确答案。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴根据平行四边形的性质可得：∠A=∠C，∠B=∠D。
观察各选项的比例：
A选项：2:1:1:2，∠A对应2，∠C对应1，不相等，不符合要求；
B选项：2:2:1:1，∠A对应2，∠C对应1，不相等，不符合要求；
C选项：1:2:1:2，∠A=∠C=1份，∠B=∠D=2份，符合对角相等的性质，符合要求；
D选项：1:1:2:2，∠A对应1，∠C对应2，不相等，不符合要求。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形对角相等，比的应用
【点评】
本题是基础类题目，解题的关键是熟练掌握平行四边形对角相等的性质，结合比例的特点快速排除错误选项即可得出答案。
【难度系数】
0.9
首先回忆平行四边形的核心性质：平行四边形的两组对角分别相等。因此在∠A:∠B:∠C:∠D的比值中，代表∠A和∠C的第一、第三项数值必须相等，代表∠B和∠D的第二、第四项数值必须相等，我们只需要按照这个规律逐一比对选项就能选出正确答案。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴根据平行四边形的性质可得：∠A=∠C，∠B=∠D。
观察各选项的比例：
A选项：2:1:1:2，∠A对应2，∠C对应1，不相等，不符合要求；
B选项：2:2:1:1，∠A对应2，∠C对应1，不相等，不符合要求；
C选项：1:2:1:2，∠A=∠C=1份，∠B=∠D=2份，符合对角相等的性质，符合要求；
D选项：1:1:2:2，∠A对应1，∠C对应2，不相等，不符合要求。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形对角相等，比的应用
【点评】
本题是基础类题目，解题的关键是熟练掌握平行四边形对角相等的性质，结合比例的特点快速排除错误选项即可得出答案。
【难度系数】
0.9
5.已知四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于O,给出下列四个条件:①$AB// CD$;②$OA=OC$;③$AD=BC$;④$∠ A=∠ C$.任取两个条件,可得出四边形ABCD是平行四边形这一结论的情况有 (
A.5种
B.4种
C.3种
D.2种
D
)A.5种
B.4种
C.3种
D.2种
答案
5.D
解析
【分析】
解决本题需先列出4个条件的所有两两组合，再结合平行四边形的判定定理逐一验证每种组合是否能推出四边形为平行四边形，验证过程中要注意结合反例排除不符合的情况，最后统计符合要求的组合数量即可。
【解析】
4个条件两两组合共6种情况，逐一分析如下：
1. 取①②：
∵$AB// CD$，
∴$∠ OAB=∠ OCD$，
在$△ AOB$和$△ COD$中，$\begin{cases}∠ OAB=∠ OCD\\OA=OC\\∠ AOB=∠ COD\end{cases}$，
∴$△ AOB≌△ COD(\mathrm{ASA})$，
∴$AB=CD$，
又
∵$AB// CD$，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定为平行四边形。
2. 取①③：
一组对边平行、另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形。
3. 取①④：
∵$AB// CD$，
∴$∠ A+∠ D=180°$，
又
∵$∠ A=∠ C$，
∴$∠ C+∠ D=180°$，
∴$AD// BC$，
两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定为平行四边形。
4. 取②③：
仅已知$OA=OC$和$AD=BC$，无法证明三角形全等，也无法推出对边平行或相等，不能判定为平行四边形。
5. 取②④：
仅已知$OA=OC$和$∠ A=∠ C$，缺少全等或平行的推导条件，无法推出对边平行或相等，不能判定为平行四边形。
6. 取③④：
仅已知$AD=BC$和$∠ A=∠ C$，无法推出对边平行或另一组对边相等，不能判定为平行四边形。
综上，能判定四边形ABCD是平行四边形的组合共2种。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题考查平行四边形判定的灵活应用，解题核心是分类讨论所有组合，同时要牢记等腰梯形等特殊四边形的性质，避免因忽略反例出现误判。
【难度系数】
0.6
解决本题需先列出4个条件的所有两两组合，再结合平行四边形的判定定理逐一验证每种组合是否能推出四边形为平行四边形，验证过程中要注意结合反例排除不符合的情况，最后统计符合要求的组合数量即可。
【解析】
4个条件两两组合共6种情况，逐一分析如下：
1. 取①②：
∵$AB// CD$，
∴$∠ OAB=∠ OCD$，
在$△ AOB$和$△ COD$中，$\begin{cases}∠ OAB=∠ OCD\\OA=OC\\∠ AOB=∠ COD\end{cases}$，
∴$△ AOB≌△ COD(\mathrm{ASA})$，
∴$AB=CD$，
又
∵$AB// CD$，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定为平行四边形。
2. 取①③：
一组对边平行、另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形。
3. 取①④：
∵$AB// CD$，
∴$∠ A+∠ D=180°$，
又
∵$∠ A=∠ C$，
∴$∠ C+∠ D=180°$，
∴$AD// BC$，
两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定为平行四边形。
4. 取②③：
仅已知$OA=OC$和$AD=BC$，无法证明三角形全等，也无法推出对边平行或相等，不能判定为平行四边形。
5. 取②④：
仅已知$OA=OC$和$∠ A=∠ C$，缺少全等或平行的推导条件，无法推出对边平行或相等，不能判定为平行四边形。
6. 取③④：
仅已知$AD=BC$和$∠ A=∠ C$，无法推出对边平行或另一组对边相等，不能判定为平行四边形。
综上，能判定四边形ABCD是平行四边形的组合共2种。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题考查平行四边形判定的灵活应用，解题核心是分类讨论所有组合，同时要牢记等腰梯形等特殊四边形的性质，避免因忽略反例出现误判。
【难度系数】
0.6
6. 如图,在平面直角坐标系中,已知点 A 在 x 轴正半轴上,且 OA =1,点 B 在 y 轴负半轴上,且OB=2.若点 C(-1,3),D 是象限内的一点,则使得以 A,B,C,D 为顶点的四边形是平行四边形的点 D 的坐标为 (
A.(0,5)
B.(2,-5)
C.(-2,1)
D.(2,-5)或(-2,1)
D
)A.(0,5)
B.(2,-5)
C.(-2,1)
D.(2,-5)或(-2,1)
答案
6.D
解析
【分析】
首先确定已知点A、B的坐标，由于平行四边形的顶点顺序未明确给出，需分三类讨论：分别以AB、AC、BC为平行四边形的对角线，再利用平行四边形对角线互相平分的性质，即两条对角线的中点坐标重合，列等式求解点D的坐标，最后根据“D是象限内的点”（坐标轴上的点不属于任何象限）排除不符合要求的解即可。
【解析】
由题意得，点A坐标为$(1,0)$，点B坐标为$(0,-2)$，已知$C(-1,3)$，设点D的坐标为$(x,y)$，分三种情况讨论：
1. 当AB为平行四边形的对角线时：
AB的中点坐标为$( \frac{1+0}{2}, \frac{0+(-2)}{2} ) = ( 0.5, -1 )$
平行四边形对角线互相平分，故CD的中点与AB的中点重合，得：
$\frac{-1+x}{2}=0.5$，$\frac{3+y}{2}=-1$
解得$x=2$，$y=-5$，即$D(2,-5)$，该点在第四象限，符合要求。
2. 当AC为平行四边形的对角线时：
AC的中点坐标为$( \frac{1+(-1)}{2}, \frac{0+3}{2} ) = ( 0, 1.5 )$
故BD的中点与AC的中点重合，得：
$\frac{0+x}{2}=0$，$\frac{-2+y}{2}=1.5$
解得$x=0$，$y=5$，即$D(0,5)$，该点在y轴上，不属于象限内的点，舍去。
3. 当BC为平行四边形的对角线时：
BC的中点坐标为$( \frac{0+(-1)}{2}, \frac{-2+3}{2} ) = ( -0.5, 0.5 )$
故AD的中点与BC的中点重合，得：
$\frac{1+x}{2}=-0.5$，$\frac{0+y}{2}=0.5$
解得$x=-2$，$y=1$，即$D(-2,1)$，该点在第二象限，符合要求。
综上，符合条件的点D的坐标为$(2,-5)$或$(-2,1)$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质，中点坐标公式，分类讨论
【点评】
本题解题的关键是明确未给出平行四边形顶点顺序时，要分三种对角线情况讨论，同时要注意题目中“象限内的点”的限制条件，排除坐标轴上的点，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.6
首先确定已知点A、B的坐标，由于平行四边形的顶点顺序未明确给出，需分三类讨论：分别以AB、AC、BC为平行四边形的对角线，再利用平行四边形对角线互相平分的性质，即两条对角线的中点坐标重合，列等式求解点D的坐标，最后根据“D是象限内的点”（坐标轴上的点不属于任何象限）排除不符合要求的解即可。
【解析】
由题意得，点A坐标为$(1,0)$，点B坐标为$(0,-2)$，已知$C(-1,3)$，设点D的坐标为$(x,y)$，分三种情况讨论：
1. 当AB为平行四边形的对角线时：
AB的中点坐标为$( \frac{1+0}{2}, \frac{0+(-2)}{2} ) = ( 0.5, -1 )$
平行四边形对角线互相平分，故CD的中点与AB的中点重合，得：
$\frac{-1+x}{2}=0.5$，$\frac{3+y}{2}=-1$
解得$x=2$，$y=-5$，即$D(2,-5)$，该点在第四象限，符合要求。
2. 当AC为平行四边形的对角线时：
AC的中点坐标为$( \frac{1+(-1)}{2}, \frac{0+3}{2} ) = ( 0, 1.5 )$
故BD的中点与AC的中点重合，得：
$\frac{0+x}{2}=0$，$\frac{-2+y}{2}=1.5$
解得$x=0$，$y=5$，即$D(0,5)$，该点在y轴上，不属于象限内的点，舍去。
3. 当BC为平行四边形的对角线时：
BC的中点坐标为$( \frac{0+(-1)}{2}, \frac{-2+3}{2} ) = ( -0.5, 0.5 )$
故AD的中点与BC的中点重合，得：
$\frac{1+x}{2}=-0.5$，$\frac{0+y}{2}=0.5$
解得$x=-2$，$y=1$，即$D(-2,1)$，该点在第二象限，符合要求。
综上，符合条件的点D的坐标为$(2,-5)$或$(-2,1)$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质，中点坐标公式，分类讨论
【点评】
本题解题的关键是明确未给出平行四边形顶点顺序时，要分三种对角线情况讨论，同时要注意题目中“象限内的点”的限制条件，排除坐标轴上的点，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.6
