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3.已知A,B两地相距60 km,甲、乙两人从两地出发相向而行,甲先出发.如图,图中$l_1$,$l_2$分别表示两人距A地的距离$s$(km)与时间$t$(h)的关系,请结合图象解答下列问题:
(1)甲的速度是
(2)求点P的坐标,并写出点P的实际意义.
(1)甲的速度是
30
km/h,乙的速度是20
km/h;(2)求点P的坐标,并写出点P的实际意义.
答案
3.解:(1)30;20
(2)当0≤t≤2时,设图象$l_1$对应的函数表达式为$s = k_1t + b_1$($k_1,b_1$为常数,且$k_1≠0$).
∵ 当t=0时,s=60;当t=2时,s=0,
∴ $\begin{cases}b_1=60,\\2k_1 + b_1=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=-30,\\b_1=60.\end{cases}$
∴ 图象$l_1$对应的函数表达式为s = -30t + 60(0≤t≤2);当0.5≤t≤3.5时,设图象$l_2$对应的函数表达式为$s = k_2t + b_2$($k_2,b_2$为常数,且$k_2≠0$).
∵ 当t=0.5时,s=0;当t=3.5时,s=60,
∴ $\begin{cases}0.5k_2 + b_2=0,\\3.5k_2 + b_2=60,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_2=20,\\b_2=-10.\end{cases}$
∴ 图象$l_2$对应的函数表达式为s = 20t - 10(0.5≤t≤3.5).联立方程组,得$\begin{cases}s=-30t+60,\\s=20t-10,\end{cases}$解得$\begin{cases}t=1.4,\\s=18.\end{cases}$
∴ 点P的坐标为(1.4,18),其实际意义是甲、乙两人在甲出发后1.4 h相遇,这时距离A地18 km.
(2)当0≤t≤2时,设图象$l_1$对应的函数表达式为$s = k_1t + b_1$($k_1,b_1$为常数,且$k_1≠0$).
∵ 当t=0时,s=60;当t=2时,s=0,
∴ $\begin{cases}b_1=60,\\2k_1 + b_1=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=-30,\\b_1=60.\end{cases}$
∴ 图象$l_1$对应的函数表达式为s = -30t + 60(0≤t≤2);当0.5≤t≤3.5时,设图象$l_2$对应的函数表达式为$s = k_2t + b_2$($k_2,b_2$为常数,且$k_2≠0$).
∵ 当t=0.5时,s=0;当t=3.5时,s=60,
∴ $\begin{cases}0.5k_2 + b_2=0,\\3.5k_2 + b_2=60,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_2=20,\\b_2=-10.\end{cases}$
∴ 图象$l_2$对应的函数表达式为s = 20t - 10(0.5≤t≤3.5).联立方程组,得$\begin{cases}s=-30t+60,\\s=20t-10,\end{cases}$解得$\begin{cases}t=1.4,\\s=18.\end{cases}$
∴ 点P的坐标为(1.4,18),其实际意义是甲、乙两人在甲出发后1.4 h相遇,这时距离A地18 km.
解析
【分析】
(1) 求速度可根据“速度=路程÷对应行驶时间”计算：观察图象，$l_1$代表甲的行程，甲从距A地60km的位置出发，2小时后到达A地，总路程60km，行驶时间2h，即可求出甲的速度；$l_2$代表乙的行程，乙比甲晚0.5h出发，经过$3.5-0.5=3\mathrm{h}$行驶60km到达B地，即可求出乙的速度。
(2) 点P是$l_1$和$l_2$的交点，代表两人距A地的距离相等，即两人相遇。首先用待定系数法分别求出$l_1$、$l_2$对应的一次函数解析式，再联立两个解析式求解，得到的解就是点P的坐标，结合行程场景解释其实际意义即可。
【解析】
(1) 甲的速度：$60÷2=30(\mathrm{km/h})$；
乙的行驶总时长为$3.5-0.5=3(\mathrm{h})$，乙的速度：$60÷3=20(\mathrm{km/h})$。
(2) 当$0≤ t≤2$时，设$l_1$对应的函数表达式为$s = k_1t + b_1$（$k_1,b_1$为常数，且$k_1≠0$）。
将$t=0,s=60$和$t=2,s=0$代入解析式，得：
$\begin{cases}b_1=60\\2k_1 + b_1=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_1=-30\\b_1=60\end{cases}$
因此$l_1$对应的函数表达式为$s = -30t + 60(0≤ t≤2)$。
当$0.5≤ t≤3.5$时，设$l_2$对应的函数表达式为$s = k_2t + b_2$（$k_2,b_2$为常数，且$k_2≠0$）。
将$t=0.5,s=0$和$t=3.5,s=60$代入解析式，得：
$\begin{cases}0.5k_2 + b_2=0\\3.5k_2 + b_2=60\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2=20\\b_2=-10\end{cases}$
因此$l_2$对应的函数表达式为$s = 20t - 10(0.5≤ t≤3.5)$。
联立两个函数解析式，得$\begin{cases}s=-30t+60\\s=20t-10\end{cases}$，解得$\begin{cases}t=1.4\\s=18\end{cases}$。
所以点P的坐标为$(1.4,18)$，实际意义为：甲出发1.4小时后，甲、乙两人相遇，此时两人距离A地18km。
【答案】
(1) $\boxed{30}$；$\boxed{20}$
(2) 点P的坐标为$\boxed{(1.4,18)}$，实际意义是甲出发1.4小时后两人相遇，这时距离A地18km。
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；行程问题
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的实际应用，解题核心是读懂图象横纵坐标、交点的实际含义，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法，能有效锻炼数形结合分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求速度可根据“速度=路程÷对应行驶时间”计算：观察图象，$l_1$代表甲的行程，甲从距A地60km的位置出发，2小时后到达A地，总路程60km，行驶时间2h，即可求出甲的速度；$l_2$代表乙的行程，乙比甲晚0.5h出发，经过$3.5-0.5=3\mathrm{h}$行驶60km到达B地，即可求出乙的速度。
(2) 点P是$l_1$和$l_2$的交点，代表两人距A地的距离相等，即两人相遇。首先用待定系数法分别求出$l_1$、$l_2$对应的一次函数解析式，再联立两个解析式求解，得到的解就是点P的坐标，结合行程场景解释其实际意义即可。
【解析】
(1) 甲的速度：$60÷2=30(\mathrm{km/h})$；
乙的行驶总时长为$3.5-0.5=3(\mathrm{h})$，乙的速度：$60÷3=20(\mathrm{km/h})$。
(2) 当$0≤ t≤2$时，设$l_1$对应的函数表达式为$s = k_1t + b_1$（$k_1,b_1$为常数，且$k_1≠0$）。
将$t=0,s=60$和$t=2,s=0$代入解析式，得：
$\begin{cases}b_1=60\\2k_1 + b_1=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_1=-30\\b_1=60\end{cases}$
因此$l_1$对应的函数表达式为$s = -30t + 60(0≤ t≤2)$。
当$0.5≤ t≤3.5$时，设$l_2$对应的函数表达式为$s = k_2t + b_2$（$k_2,b_2$为常数，且$k_2≠0$）。
将$t=0.5,s=0$和$t=3.5,s=60$代入解析式，得：
$\begin{cases}0.5k_2 + b_2=0\\3.5k_2 + b_2=60\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2=20\\b_2=-10\end{cases}$
因此$l_2$对应的函数表达式为$s = 20t - 10(0.5≤ t≤3.5)$。
联立两个函数解析式，得$\begin{cases}s=-30t+60\\s=20t-10\end{cases}$，解得$\begin{cases}t=1.4\\s=18\end{cases}$。
所以点P的坐标为$(1.4,18)$，实际意义为：甲出发1.4小时后，甲、乙两人相遇，此时两人距离A地18km。
【答案】
(1) $\boxed{30}$；$\boxed{20}$
(2) 点P的坐标为$\boxed{(1.4,18)}$，实际意义是甲出发1.4小时后两人相遇，这时距离A地18km。
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；行程问题
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的实际应用，解题核心是读懂图象横纵坐标、交点的实际含义，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法，能有效锻炼数形结合分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
4. 如图,直线 $ l_1: y=2x+1 $ 与直线 $ l_2: y=mx+4 $ 相交于点 $ P(1,b) $,与 $ x $ 轴分别交于 $ A,B $ 两点.
(1) 求直线 $ l_2 $ 的表达式,并结合图象直接写出关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases} 2x - y = -1, \\ mx - y = -4 \end{cases} $ 的解；
(2) $ △ ABP $ 的面积为
(3) 若垂直于 $ x $ 轴的直线 $ x=a $ 与直线 $ l_1,l_2 $ 分别交于点 $ C,D $,线段 $ CD $ 的长为 2,求 $ a $ 的值.
(1) 求直线 $ l_2 $ 的表达式,并结合图象直接写出关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases} 2x - y = -1, \\ mx - y = -4 \end{cases} $ 的解；
(2) $ △ ABP $ 的面积为
$\frac{27}{4}$
；(3) 若垂直于 $ x $ 轴的直线 $ x=a $ 与直线 $ l_1,l_2 $ 分别交于点 $ C,D $,线段 $ CD $ 的长为 2,求 $ a $ 的值.
答案
4.解:(1)把点P(1,b)的坐标代入y = 2x + 1,得b = 2 + 1 = 3,
∴ P(1,3).把点P(1,3)的坐标代入y = mx + 4,得m + 4 = 3,
∴ m = -1.
∴ 直线$l_2$的表达式为y = -x + 4.关于x,y的方程组$\begin{cases}2x - y = -1,\\mx - y = -4\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=1,\\y=3.\end{cases}$
(2)$\frac{27}{4}$
(3)
∵ 直线x = a与直线$l_1$,$l_2$分别交于点C,D,
∴ C(a,2a + 1),D(a,-a + 4).
∵ CD = 2,
∴ |2a + 1 - (-a + 4)| = 2,即|3a - 3| = 2.
∴ 3a - 3 = ±2.
∴ a = $\frac{5}{3}$或$\frac{1}{3}$.
∴ P(1,3).把点P(1,3)的坐标代入y = mx + 4,得m + 4 = 3,
∴ m = -1.
∴ 直线$l_2$的表达式为y = -x + 4.关于x,y的方程组$\begin{cases}2x - y = -1,\\mx - y = -4\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=1,\\y=3.\end{cases}$
(2)$\frac{27}{4}$
(3)
∵ 直线x = a与直线$l_1$,$l_2$分别交于点C,D,
∴ C(a,2a + 1),D(a,-a + 4).
∵ CD = 2,
∴ |2a + 1 - (-a + 4)| = 2,即|3a - 3| = 2.
∴ 3a - 3 = ±2.
∴ a = $\frac{5}{3}$或$\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先点P(1,b)在直线$l_1$上，将x=1代入$l_1$的解析式即可求出b的值，得到P点完整坐标；再将P点坐标代入$l_2$的解析式，求出m的值，即可得到$l_2$的表达式。题目给出的方程组是由两条直线的解析式移项得到的，因此方程组的解就是两条直线交点的坐标。
(2) 求$△ ABP$的面积，首先要求出A、B两点的坐标：直线与x轴交点的纵坐标为0，分别将y=0代入$l_1$、$l_2$的解析式，求出A、B的横坐标，计算出线段AB的长度；$△ ABP$的高就是点P到x轴的距离，即P点的纵坐标，再利用三角形面积公式计算即可。
(3) 垂直于x轴的直线x=a上所有点的横坐标都是a，将x=a分别代入$l_1$、$l_2$的解析式，得到C、D两点的纵坐标；线段CD的长度是两点纵坐标差的绝对值，结合CD=2列绝对值方程，求解即可得到a的值。
【解析】
(1) 把点P(1,b)代入$y=2x+1$，得：
$b = 2×1 + 1 = 3$，
∴P点坐标为$(1,3)$。
把$P(1,3)$代入$y=mx+4$，得：
$m + 4 = 3$，解得$m=-1$，
∴直线$l_2$的表达式为$y = -x + 4$。
∵方程组$\begin{cases}2x - y = -1\\mx - y = -4\end{cases}$对应直线$l_1$和$l_2$的解析式，方程组的解为两直线交点坐标，
∴方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}$。
(2) 求A、B两点坐标：
对于$l_1:y=2x+1$，令$y=0$，得$2x+1=0$，解得$x=-\frac{1}{2}$，
∴$A(-\frac{1}{2},0)$；
对于$l_2:y=-x+4$，令$y=0$，得$-x+4=0$，解得$x=4$，
∴$B(4,0)$。
∴AB的长度为$4 - (-\frac{1}{2}) = \frac{9}{2}$，
点P到x轴的距离为P点纵坐标3，
∴$S_{△ ABP} = \frac{1}{2}×AB×3 = \frac{1}{2}×\frac{9}{2}×3 = \frac{27}{4}$。
(3) 由题意，直线x=a与$l_1$交于C，与$l_2$交于D，
∴C点坐标为$(a,2a+1)$，D点坐标为$(a,-a+4)$，
∵CD=2，
∴$|(2a+1) - (-a+4)| = 2$，
整理得$|3a - 3|=2$，
∴$3a - 3 = 2$或$3a - 3 = -2$，
解得$a = \frac{5}{3}$或$a = \frac{1}{3}$。
【答案】
(1) 直线$l_2$的表达式为$\boldsymbol{y=-x+4}$，方程组的解为$\boldsymbol{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}}$；
(2) $\boldsymbol{\frac{27}{4}}$；
(3) $\boldsymbol{a=\frac{5}{3}}$或$\boldsymbol{a=\frac{1}{3}}$。
【知识点】
一次函数解析式求解，一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数线段长度计算
【点评】
本题是一次函数的综合基础题，涵盖了一次函数解析式确定、函数与方程的联系、图形面积计算、线段长度求解等内容，解题核心是理解一次函数图象上点的坐标特征，处理线段长度时要注意用绝对值避免漏解，熟练掌握基础知识点即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：首先点P(1,b)在直线$l_1$上，将x=1代入$l_1$的解析式即可求出b的值，得到P点完整坐标；再将P点坐标代入$l_2$的解析式，求出m的值，即可得到$l_2$的表达式。题目给出的方程组是由两条直线的解析式移项得到的，因此方程组的解就是两条直线交点的坐标。
(2) 求$△ ABP$的面积，首先要求出A、B两点的坐标：直线与x轴交点的纵坐标为0，分别将y=0代入$l_1$、$l_2$的解析式，求出A、B的横坐标，计算出线段AB的长度；$△ ABP$的高就是点P到x轴的距离，即P点的纵坐标，再利用三角形面积公式计算即可。
(3) 垂直于x轴的直线x=a上所有点的横坐标都是a，将x=a分别代入$l_1$、$l_2$的解析式，得到C、D两点的纵坐标；线段CD的长度是两点纵坐标差的绝对值，结合CD=2列绝对值方程，求解即可得到a的值。
【解析】
(1) 把点P(1,b)代入$y=2x+1$，得：
$b = 2×1 + 1 = 3$，
∴P点坐标为$(1,3)$。
把$P(1,3)$代入$y=mx+4$，得：
$m + 4 = 3$，解得$m=-1$，
∴直线$l_2$的表达式为$y = -x + 4$。
∵方程组$\begin{cases}2x - y = -1\\mx - y = -4\end{cases}$对应直线$l_1$和$l_2$的解析式，方程组的解为两直线交点坐标，
∴方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}$。
(2) 求A、B两点坐标：
对于$l_1:y=2x+1$，令$y=0$，得$2x+1=0$，解得$x=-\frac{1}{2}$，
∴$A(-\frac{1}{2},0)$；
对于$l_2:y=-x+4$，令$y=0$，得$-x+4=0$，解得$x=4$，
∴$B(4,0)$。
∴AB的长度为$4 - (-\frac{1}{2}) = \frac{9}{2}$，
点P到x轴的距离为P点纵坐标3，
∴$S_{△ ABP} = \frac{1}{2}×AB×3 = \frac{1}{2}×\frac{9}{2}×3 = \frac{27}{4}$。
(3) 由题意，直线x=a与$l_1$交于C，与$l_2$交于D，
∴C点坐标为$(a,2a+1)$，D点坐标为$(a,-a+4)$，
∵CD=2，
∴$|(2a+1) - (-a+4)| = 2$，
整理得$|3a - 3|=2$，
∴$3a - 3 = 2$或$3a - 3 = -2$，
解得$a = \frac{5}{3}$或$a = \frac{1}{3}$。
【答案】
(1) 直线$l_2$的表达式为$\boldsymbol{y=-x+4}$，方程组的解为$\boldsymbol{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}}$；
(2) $\boldsymbol{\frac{27}{4}}$；
(3) $\boldsymbol{a=\frac{5}{3}}$或$\boldsymbol{a=\frac{1}{3}}$。
【知识点】
一次函数解析式求解，一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数线段长度计算
【点评】
本题是一次函数的综合基础题，涵盖了一次函数解析式确定、函数与方程的联系、图形面积计算、线段长度求解等内容，解题核心是理解一次函数图象上点的坐标特征，处理线段长度时要注意用绝对值避免漏解，熟练掌握基础知识点即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
