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17.在数学活动课上，王老师要求学生将如图
所示的$3×3$的正方形方格纸剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形.规定:凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图的四幅图就视为同一种设计方案(阴影部分为要剪掉的部分).
请在中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂上阴影(每个$3×3$的正方形方格中画一种，例图除外).
所示的$3×3$的正方形方格纸剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形.规定:凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图的四幅图就视为同一种设计方案(阴影部分为要剪掉的部分).请在中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂上阴影(每个$3×3$的正方形方格中画一种，例图除外).
答案
17. 解:如图所示.
解析
【分析】
解决这道题首先要明确两个核心要求：一是剪掉两个方格后剩余的图形是轴对称图形，即存在一条直线，沿这条直线对折后直线两侧的图形能完全重合；二是旋转后能重合的图形属于同一种，设计的方案不能通过旋转互相重合。我们可以先找出3×3方格的所有常见对称轴：水平中线、竖直中线、两条对角线，再分别围绕不同的对称轴选择两个对称的方格作为要剪掉的阴影部分，同时避免设计出的图形可以通过旋转得到另一个方案，就能得到符合要求的不同设计。
【解析】
1. 回忆轴对称图形定义：平面内沿某条直线折叠，直线两侧的部分能够完全重合的图形是轴对称图形。
2. 确定3×3方格的可选对称轴：水平方向中线、竖直方向中线、左上到右下的对角线、右上到左下的对角线。
3. 针对不同对称轴，分别选取2个关于该对称轴对称的方格涂黑（代表剪掉），同时保证不同方案的图形无法通过旋转重合，即可得到4种不同的符合要求的设计方案。
【答案】
【知识点】
轴对称图形判定，旋转的特征
【点评】
本题属于开放型设计题，解题时需紧扣轴对称的性质和旋转重合的规则设计方案，能有效锻炼学生的空间想象能力与发散思维，答案不唯一，满足题目要求即可。
【难度系数】
0.6
解决这道题首先要明确两个核心要求：一是剪掉两个方格后剩余的图形是轴对称图形，即存在一条直线，沿这条直线对折后直线两侧的图形能完全重合；二是旋转后能重合的图形属于同一种，设计的方案不能通过旋转互相重合。我们可以先找出3×3方格的所有常见对称轴：水平中线、竖直中线、两条对角线，再分别围绕不同的对称轴选择两个对称的方格作为要剪掉的阴影部分，同时避免设计出的图形可以通过旋转得到另一个方案，就能得到符合要求的不同设计。
【解析】
1. 回忆轴对称图形定义：平面内沿某条直线折叠，直线两侧的部分能够完全重合的图形是轴对称图形。
2. 确定3×3方格的可选对称轴：水平方向中线、竖直方向中线、左上到右下的对角线、右上到左下的对角线。
3. 针对不同对称轴，分别选取2个关于该对称轴对称的方格涂黑（代表剪掉），同时保证不同方案的图形无法通过旋转重合，即可得到4种不同的符合要求的设计方案。
【答案】
【知识点】
轴对称图形判定，旋转的特征
【点评】
本题属于开放型设计题，解题时需紧扣轴对称的性质和旋转重合的规则设计方案，能有效锻炼学生的空间想象能力与发散思维，答案不唯一，满足题目要求即可。
【难度系数】
0.6
18.作图:在直线a,b上分别找到点M,N,使AM+MN+BN的值最小.
答案
18. 解:如图所示,点M,N即为所求作.
解析
【分析】
要使AM+MN+BN的值最小，我们可以利用轴对称的性质将折线转化为直线，结合“两点之间线段最短”的原理求解：首先通过作对称点，把AM、BN转化为和MN共线的线段，即作点A关于直线a的对称点A'，点B关于直线b的对称点B'，此时AM=A'M、BN=B'N，原线段和就转化为A'M+MN+B'N；根据两点之间线段最短，连接A'B'，它与直线a、b的交点就是所求的M、N，此时三条线段的和恰好等于A'B'的长度，为最小值。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作点A关于直线a的对称点A'；
2. 作点B关于直线b的对称点B'；
3. 连接A'B'，交直线a于点M，交直线b于点N。
此时AM=A'M，BN=B'N，因此AM+MN+BN=A'M+MN+B'N=A'B'，依据两点之间线段最短，该值为最小值，点M、N即为所求。
【答案】
如图所示，点M,N即为所求作.
【知识点】
轴对称的性质；两点之间线段最短；最短路径作图
【点评】
本题是典型的最短路径作图题，解题核心是通过轴对称变换将折线长度和转化为两点间的线段长度，体现了几何中的转化思想，熟练掌握对称点的作法是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.6
要使AM+MN+BN的值最小，我们可以利用轴对称的性质将折线转化为直线，结合“两点之间线段最短”的原理求解：首先通过作对称点，把AM、BN转化为和MN共线的线段，即作点A关于直线a的对称点A'，点B关于直线b的对称点B'，此时AM=A'M、BN=B'N，原线段和就转化为A'M+MN+B'N；根据两点之间线段最短，连接A'B'，它与直线a、b的交点就是所求的M、N，此时三条线段的和恰好等于A'B'的长度，为最小值。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作点A关于直线a的对称点A'；
2. 作点B关于直线b的对称点B'；
3. 连接A'B'，交直线a于点M，交直线b于点N。
此时AM=A'M，BN=B'N，因此AM+MN+BN=A'M+MN+B'N=A'B'，依据两点之间线段最短，该值为最小值，点M、N即为所求。
【答案】
如图所示，点M,N即为所求作.
【知识点】
轴对称的性质；两点之间线段最短；最短路径作图
【点评】
本题是典型的最短路径作图题，解题核心是通过轴对称变换将折线长度和转化为两点间的线段长度，体现了几何中的转化思想，熟练掌握对称点的作法是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.6
19. 如图，已知点 P 在∠AOB 的内部，且点 P 与点 M 关于 OA 对称，PM 交 OA 于点 Q，点 P 与点 N 关于 OB 对称，PN 交 OB 于点 R，MN 分别交 OA，OB 于点 E，F，连接 PE，PF。若 MN＝15，求△PEF 的周长。
答案
19. $△ PEF$ 的周长为 15.
解析
【分析】
本题可利用轴对称的性质求解，首先回忆轴对称相关性质：若两个点关于某条直线对称，那么这条直线是两点连线的垂直平分线，垂直平分线上的点到两个对称点的距离相等。首先根据P与M关于OA对称，可推出PE=ME；再根据P与N关于OB对称，可推出PF=FN。最后将△PEF的周长通过等量代换转化为MN的长度，即可求出结果。
【解析】
解：
∵点P与点M关于OA对称，
∴OA是线段PM的垂直平分线，
又
∵点E在OA上，
∴PE = ME（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
同理，点P与点N关于OB对称，OB是线段PN的垂直平分线，点F在OB上，
∴PF = FN，
△PEF的周长为$C_{△ PEF}=PE + EF + PF$，
将$PE=ME$、$PF=FN$代入上式得：
$C_{△ PEF}=ME + EF + FN = MN$，
已知$MN=15$，
∴△PEF的周长为15。
【答案】
△PEF的周长为15。
【知识点】
轴对称的性质；垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是轴对称性质的基础应用题型，解题核心是通过轴对称的性质实现线段的等量代换，将未知的三角形周长转化为已知长度的线段，解题过程体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
本题可利用轴对称的性质求解，首先回忆轴对称相关性质：若两个点关于某条直线对称，那么这条直线是两点连线的垂直平分线，垂直平分线上的点到两个对称点的距离相等。首先根据P与M关于OA对称，可推出PE=ME；再根据P与N关于OB对称，可推出PF=FN。最后将△PEF的周长通过等量代换转化为MN的长度，即可求出结果。
【解析】
解：
∵点P与点M关于OA对称，
∴OA是线段PM的垂直平分线，
又
∵点E在OA上，
∴PE = ME（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
同理，点P与点N关于OB对称，OB是线段PN的垂直平分线，点F在OB上，
∴PF = FN，
△PEF的周长为$C_{△ PEF}=PE + EF + PF$，
将$PE=ME$、$PF=FN$代入上式得：
$C_{△ PEF}=ME + EF + FN = MN$，
已知$MN=15$，
∴△PEF的周长为15。
【答案】
△PEF的周长为15。
【知识点】
轴对称的性质；垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是轴对称性质的基础应用题型，解题核心是通过轴对称的性质实现线段的等量代换，将未知的三角形周长转化为已知长度的线段，解题过程体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
