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1. (★)下列计算正确的是 （）
A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$
C.$\sqrt{8}=4$
D.$\sqrt{(-3)^2}=-3$
A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$
C.$\sqrt{8}=4$
D.$\sqrt{(-3)^2}=-3$
答案
B
解析
我们逐个分析选项：
1. 选项A：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能直接合并相加，该计算错误。
2. 选项B：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，该计算正确。
3. 选项C：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}≠4$，该计算错误。
4. 选项D：$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$，算术平方根为非负数，结果不可能是$-3$，该计算错误。
1. 选项A：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能直接合并相加，该计算错误。
2. 选项B：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，该计算正确。
3. 选项C：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}≠4$，该计算错误。
4. 选项D：$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$，算术平方根为非负数，结果不可能是$-3$，该计算错误。
2. (★)若$\sqrt{50}+\sqrt{2}=\sqrt{2}(a+1)$，则$a$的值为（）
A.5
B.6
C.10
D.25
A.5
B.6
C.10
D.25
答案
A
解析
先化简二次根式：$\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=5\sqrt{2}$，
对等式左边合并同类二次根式：$\sqrt{50}+\sqrt{2}=5\sqrt{2}+\sqrt{2}=6\sqrt{2}$，
原等式化为$6\sqrt{2}=\sqrt{2}(a+1)$，
等式两边同时除以$\sqrt{2}$，得$6=a+1$，
解得$a=5$。
对等式左边合并同类二次根式：$\sqrt{50}+\sqrt{2}=5\sqrt{2}+\sqrt{2}=6\sqrt{2}$，
原等式化为$6\sqrt{2}=\sqrt{2}(a+1)$，
等式两边同时除以$\sqrt{2}$，得$6=a+1$，
解得$a=5$。
3. (★★)以下二次根式：$\sqrt{18}$，$\sqrt{\frac{1}{8}}$，$\sqrt{\frac{9}{2}}$，$\sqrt{12}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}$中，与$\sqrt{2}$能合并的有（）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
C
解析
先将各二次根式化为最简二次根式，同类二次根式（化简后被开方数相同）可合并，逐一判断：
1. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，被开方数为2，可与$\sqrt{2}$合并；
2. $\sqrt{\frac{1}{8}}=\sqrt{\frac{2}{16}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，被开方数为2，可与$\sqrt{2}$合并；
3. $\sqrt{\frac{9}{2}}=\sqrt{\frac{9×2}{4}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，被开方数为2，可与$\sqrt{2}$合并；
4. $\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，被开方数为3，不可与$\sqrt{2}$合并；
5. $\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，被开方数为2，可与$\sqrt{2}$合并。
因此能与$\sqrt{2}$合并的二次根式共4个。
1. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，被开方数为2，可与$\sqrt{2}$合并；
2. $\sqrt{\frac{1}{8}}=\sqrt{\frac{2}{16}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，被开方数为2，可与$\sqrt{2}$合并；
3. $\sqrt{\frac{9}{2}}=\sqrt{\frac{9×2}{4}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，被开方数为2，可与$\sqrt{2}$合并；
4. $\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，被开方数为3，不可与$\sqrt{2}$合并；
5. $\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，被开方数为2，可与$\sqrt{2}$合并。
因此能与$\sqrt{2}$合并的二次根式共4个。
4. (★★)若$\sqrt{3}$的整数部分为$x$，小数部分是$y$，则$\sqrt{3}x - y$的值是（）
A.$3\sqrt{3} - 3$
B.$\sqrt{3}$
C.$1$
D.$3$
A.$3\sqrt{3} - 3$
B.$\sqrt{3}$
C.$1$
D.$3$
答案
C
解析
先估算√3的取值范围，由1＜√3＜2，可得√3的整数部分x=1，小数部分y=√3 -1。将x、y代入√3x - y计算：√3×1 - (√3 -1)=√3 -√3 +1=1。
5. (★★)计算：$(π +1)^0 - \sqrt{12} + |-\sqrt{3}| =$ .
答案
解：
原式$=1 - 2\sqrt{3} + \sqrt{3}$
$=1 - \sqrt{3}$
原式$=1 - 2\sqrt{3} + \sqrt{3}$
$=1 - \sqrt{3}$
6. (★★★)已知$a+b=-8$，$ab=8$，化简：$b\sqrt{\dfrac{b}{a}} + a\sqrt{\dfrac{a}{b}} =$。
答案
$\boldsymbol{-12\sqrt{2}}$
解析
解：
∵ $a+b=-8＜0$，$ab=8＞0$，
∴ $a＜0$，$b＜0$。
$\begin{aligned}原式&=b\sqrt{\frac{ab}{a^2}} + a\sqrt{\frac{ab}{b^2}}\\&=b·\frac{\sqrt{ab}}{|a|} + a·\frac{\sqrt{ab}}{|b|}\\&=b·\frac{\sqrt{ab}}{-a} + a·\frac{\sqrt{ab}}{-b}\\&=-\frac{b}{a}\sqrt{ab} -\frac{a}{b}\sqrt{ab}\\&=-\sqrt{ab}·(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})\\&=-\sqrt{ab}·\frac{a^2 + b^2}{ab}\\&=-\sqrt{ab}·\frac{(a+b)^2 - 2ab}{ab}\end{aligned}$
将$a+b=-8$，$ab=8$代入：
$\begin{aligned}原式&=-\sqrt{8}·\frac{(-8)^2 - 2×8}{8}\\&=-2\sqrt{2}·\frac{48}{8}\\&=-12\sqrt{2}\end{aligned}$
最终
∵ $a+b=-8＜0$，$ab=8＞0$，
∴ $a＜0$，$b＜0$。
$\begin{aligned}原式&=b\sqrt{\frac{ab}{a^2}} + a\sqrt{\frac{ab}{b^2}}\\&=b·\frac{\sqrt{ab}}{|a|} + a·\frac{\sqrt{ab}}{|b|}\\&=b·\frac{\sqrt{ab}}{-a} + a·\frac{\sqrt{ab}}{-b}\\&=-\frac{b}{a}\sqrt{ab} -\frac{a}{b}\sqrt{ab}\\&=-\sqrt{ab}·(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})\\&=-\sqrt{ab}·\frac{a^2 + b^2}{ab}\\&=-\sqrt{ab}·\frac{(a+b)^2 - 2ab}{ab}\end{aligned}$
将$a+b=-8$，$ab=8$代入：
$\begin{aligned}原式&=-\sqrt{8}·\frac{(-8)^2 - 2×8}{8}\\&=-2\sqrt{2}·\frac{48}{8}\\&=-12\sqrt{2}\end{aligned}$
最终
7. (★★)计算：
(1) $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}$；
(2) $\sqrt{1\dfrac{2}{3}} - 2\sqrt{45} + 2\sqrt{20}$；
(3) $(3 - \sqrt{3})^2 + (3 + \sqrt{3})^2$。
(1) $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}$；
(2) $\sqrt{1\dfrac{2}{3}} - 2\sqrt{45} + 2\sqrt{20}$；
(3) $(3 - \sqrt{3})^2 + (3 + \sqrt{3})^2$。
答案
解：
(1) $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}$
原式$=(3+5)\sqrt{2}$
$=8\sqrt{2}$
(2) $\sqrt{1\dfrac{2}{3}} - 2\sqrt{45} + 2\sqrt{20}$
原式$=\sqrt{\dfrac{5}{3}} - 2×3\sqrt{5} + 2×2\sqrt{5}$
$=\dfrac{\sqrt{15}}{3} - 6\sqrt{5} + 4\sqrt{5}$
$=\dfrac{\sqrt{15}}{3} - 2\sqrt{5}$
(3) $(3 - \sqrt{3})^2 + (3 + \sqrt{3})^2$
原式$=(9 - 6\sqrt{3} + 3) + (9 + 6\sqrt{3} + 3)$
$=9 - 6\sqrt{3} + 3 + 9 + 6\sqrt{3} + 3$
$=24$
(1) $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}$
原式$=(3+5)\sqrt{2}$
$=8\sqrt{2}$
(2) $\sqrt{1\dfrac{2}{3}} - 2\sqrt{45} + 2\sqrt{20}$
原式$=\sqrt{\dfrac{5}{3}} - 2×3\sqrt{5} + 2×2\sqrt{5}$
$=\dfrac{\sqrt{15}}{3} - 6\sqrt{5} + 4\sqrt{5}$
$=\dfrac{\sqrt{15}}{3} - 2\sqrt{5}$
(3) $(3 - \sqrt{3})^2 + (3 + \sqrt{3})^2$
原式$=(9 - 6\sqrt{3} + 3) + (9 + 6\sqrt{3} + 3)$
$=9 - 6\sqrt{3} + 3 + 9 + 6\sqrt{3} + 3$
$=24$
8. (★★★)先化简，再求值：$(6x\sqrt{\dfrac{y}{x}} + \dfrac{3}{y}\sqrt{xy^3}) - (4y\sqrt{\dfrac{x}{y}} + \sqrt{36xy})$，其中$x=\dfrac{3}{2}$，$y=27$
答案
解：
由题意得$x＞0$，$y＞0$，先将各二次根式化为最简形式：
$6x\sqrt{\dfrac{y}{x}} = 6x · \dfrac{\sqrt{xy}}{x} = 6\sqrt{xy}$，
$\dfrac{3}{y}\sqrt{xy^3} = \dfrac{3}{y} · y\sqrt{xy} = 3\sqrt{xy}$，
$4y\sqrt{\dfrac{x}{y}} = 4y · \dfrac{\sqrt{xy}}{y} = 4\sqrt{xy}$，
$\sqrt{36xy} = 6\sqrt{xy}$。
代入原式合并同类二次根式：
$\begin{aligned}原式&= 6\sqrt{xy} + 3\sqrt{xy} - 4\sqrt{xy} - 6\sqrt{xy}\\&= -\sqrt{xy}\end{aligned}$
将$x=\dfrac{3}{2}$，$y=27$代入：
$xy = \dfrac{3}{2} × 27 = \dfrac{81}{2}$，
$\begin{aligned}原式&= -\sqrt{\dfrac{81}{2}}\\&= -\dfrac{9\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
由题意得$x＞0$，$y＞0$，先将各二次根式化为最简形式：
$6x\sqrt{\dfrac{y}{x}} = 6x · \dfrac{\sqrt{xy}}{x} = 6\sqrt{xy}$，
$\dfrac{3}{y}\sqrt{xy^3} = \dfrac{3}{y} · y\sqrt{xy} = 3\sqrt{xy}$，
$4y\sqrt{\dfrac{x}{y}} = 4y · \dfrac{\sqrt{xy}}{y} = 4\sqrt{xy}$，
$\sqrt{36xy} = 6\sqrt{xy}$。
代入原式合并同类二次根式：
$\begin{aligned}原式&= 6\sqrt{xy} + 3\sqrt{xy} - 4\sqrt{xy} - 6\sqrt{xy}\\&= -\sqrt{xy}\end{aligned}$
将$x=\dfrac{3}{2}$，$y=27$代入：
$xy = \dfrac{3}{2} × 27 = \dfrac{81}{2}$，
$\begin{aligned}原式&= -\sqrt{\dfrac{81}{2}}\\&= -\dfrac{9\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
