22 在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有3个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字0、1、2；乙袋中的小球上分别标有数字－1、－2、1。现从甲袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为x，再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为y，以此确定点M的坐标(x，y)。
（1）请你用画树状图或列表的方法，写出点M所有可能的坐标。
（2）求点M(x，y)落在函数$y=-\dfrac{1}{x}$的图像上的概率。

(1) 画树状图：

则点M所有可能的坐标为(0，－1)、(0，－2)、(0，1)、(1，－1)、(1，－2)、(1，1)、(2，－1)、(2，－2)、(2，1)。
(2) 因为$M(x,y)$在函数$y=-\frac{1}{x}$的图像上的有$(1,-1)$,所以点$M(x,y)$落在函数$y=-\frac{1}{x}$的图像上的概率为$\frac{1}{9}$。

【分析】
（1）本题属于两步随机试验问题，要列出点M的所有坐标，可通过树状图梳理所有等可能结果：第一步先列出从甲袋摸球的3种可能结果，第二步对应每种甲袋的结果，列出从乙袋摸球的3种可能结果，组合后即可得到所有点的坐标。
（2）求点落在反比例函数图像上的概率，首先明确反比例函数图像上的点满足解析式$y=-\dfrac{1}{x}$（注意$x≠0$，否则解析式无意义），从第一步得到的所有坐标中筛选出满足解析式的点的个数，再根据“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”的公式计算即可。
【解析】
（1）通过画树状图梳理所有摸球结果：
第一层为从甲袋摸出的数字，分别为0、1、2；对应每个甲袋的数字，第二层为从乙袋摸出的数字，分别为-1、-2、1。
组合后可得点M所有可能的坐标为：$(0,-1)$、$(0,-2)$、$(0,1)$、$(1,-1)$、$(1,-2)$、$(1,1)$、$(2,-1)$、$(2,-2)$、$(2,1)$，共9种等可能的结果。
（2）若点$M(x,y)$在函数$y=-\dfrac{1}{x}$的图像上，则需满足$xy=-1$且$x≠0$：
$x=0$时分母为0，解析式无意义，对应3个坐标均不符合；$x=1$时，$(1,-1)$满足$1×(-1)=-1$，符合要求；$x=2$时，三个坐标对应的乘积分别为-2、-4、2，均不满足$xy=-1$。
综上符合条件的点共1个，因此概率为$\dfrac{1}{9}$。
【答案】
(1) 画树状图：

则点M所有可能的坐标为(0，－1)、(0，－2)、(0，1)、(1，－1)、(1，－2)、(1，1)、(2，－1)、(2，－2)、(2，1)。
(2) 因为$M(x,y)$在函数$y=-\frac{1}{x}$的图像上的有$(1,-1)$,所以点$M(x,y)$落在函数$y=-\frac{1}{x}$的图像上的概率为$\frac{1}{9}$。
【知识点】
树状图法求概率，反比例函数图象上点的坐标特征，概率公式
【点评】
本题结合了反比例函数性质与概率计算知识点，核心考查用树状图列举等可能事件的能力，解题时需注意反比例函数自变量不能为0的隐含限制，避免多算不符合要求的点，属于基础综合类题目。
【难度系数】
0.7

23 电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光。
（1）请根据题意，画出符合要求的电路图。
（2）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率为多少？
（3）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率。

解：
(1) 电路图设计：将开关A、B、C串联组成一条支路，开关D单独作为另一条支路，将两条支路并联后，再与小灯泡、电源串联，即可满足题设要求。
(2) 任意闭合一个开关，共有4种等可能的结果：闭合A、闭合B、闭合C、闭合D，其中只有闭合D时小灯泡发光，
因此小灯泡发光的概率为 $P=\frac{1}{4}$。
(3) 用列表法列出所有任意闭合两个开关的等可能结果：
| | A | B | C | D |
|----|----|----|----|----|
| A | - | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | - | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | - | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | - |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中包含开关D的6种组合闭合后小灯泡均可发光，其余组合无法让小灯泡发光。
因此小灯泡发光的概率为 $P=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。

【分析】
（1）首先明确电路发光的两个触发条件：仅闭合开关D小灯泡就发光，说明D可独立形成通路；需同时闭合A、B、C小灯泡才发光，说明A、B、C必须全部接通才能形成通路。因此可将A、B、C串联为一条支路，D单独作为一条支路，两条支路并联后再与电源、小灯泡串联即可满足要求。
（2）第二问属于基础概率计算，先确定任意闭合1个开关的所有等可能结果总数，再筛选出能使小灯泡发光的结果数，用发光结果数除以总结果数即可得到对应概率。
（3）第三问需要用列表法或树状图列举出任意闭合2个开关的所有等可能结果，由于闭合2个开关不可能同时接通A、B、C三个开关，因此只要组合包含D就能使小灯泡发光，统计符合条件的结果数后计算概率即可。
【解析】
（1）电路图设计：将开关A、B、C串联组成一条支路，开关D单独作为另一条支路，将两条支路并联后，再与小灯泡、电源串联，即可满足题设要求。
（2）任意闭合一个开关时，共有闭合A、闭合B、闭合C、闭合D4种等可能的结果，其中只有闭合D时小灯泡发光，因此小灯泡发光的概率为 $P=\frac{1}{4}$。
（3）用列表法列出所有任意闭合两个开关的等可能结果：
| | A | B | C | D |
|----|----|----|----|----|
| A | - | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | - | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | - | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | - |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中包含开关D的6种组合闭合后小灯泡均可发光，其余组合无法让小灯泡发光，因此小灯泡发光的概率为 $P=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
（1）A、B、C串联后与D并联，再与电源、小灯泡串联（电路图设计如上）；
（2）$\frac{1}{4}$；
（3）$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 串并联电路设计
2. 简单概率计算
3. 列表法求概率
【点评】
本题将电路原理与概率计算相结合，既考查了对串并联电路工作逻辑的理解，又考查了用列举法求解概率的能力，解题时需准确判断符合小灯泡发光条件的情况，避免计数失误。
【难度系数】
0.7