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19 从背面相同的同一副扑克牌中取出9张红桃、10张黑桃、11张方块。
（1）将取出的这些牌洗匀，背面朝上放在桌面上，求从中随机抽出一张是红桃的概率。
（2）若先从取出的这些牌中抽掉9张红桃和$m(m ＞ 6)$张黑桃后，将剩下的牌洗匀，背面朝上放在桌面上，再从桌面上随机抽出一张牌。
① 当$m$为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件？
② 当$m$为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件？并求出这个事件的概率的最小值。
（1）将取出的这些牌洗匀，背面朝上放在桌面上，求从中随机抽出一张是红桃的概率。
（2）若先从取出的这些牌中抽掉9张红桃和$m(m ＞ 6)$张黑桃后，将剩下的牌洗匀，背面朝上放在桌面上，再从桌面上随机抽出一张牌。
① 当$m$为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件？
② 当$m$为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件？并求出这个事件的概率的最小值。
答案
(1) 从中随机抽出一张牌共$9+10+11=30$种等可能的结果,其中随机抽出一张是红桃共有9种等可能的情况,所以$P=\frac{9}{30}=\frac{3}{10}$。
(2) ① 因为必然事件的概率为1,即剩下的所有的牌均为方块,所以$m=10$。
② 因为“再抽出的这张牌是方块”为随机事件,所以剩余的牌中必须要有黑桃,所以$6＜m＜10$,即$m=7,8,9$。当$m=7$时,剩余3张黑桃,所以$P=\frac{11}{11+3}=\frac{11}{14}$;当$m=8$时,剩余2张黑桃,所以$P=\frac{11}{11+2}=\frac{11}{13}$;当$m=9$时,剩余1张黑桃,所以$P=\frac{11}{11+1}=\frac{11}{12}$。 概率最小值为$\frac{11}{14}$。
(2) ① 因为必然事件的概率为1,即剩下的所有的牌均为方块,所以$m=10$。
② 因为“再抽出的这张牌是方块”为随机事件,所以剩余的牌中必须要有黑桃,所以$6＜m＜10$,即$m=7,8,9$。当$m=7$时,剩余3张黑桃,所以$P=\frac{11}{11+3}=\frac{11}{14}$;当$m=8$时,剩余2张黑桃,所以$P=\frac{11}{11+2}=\frac{11}{13}$;当$m=9$时,剩余1张黑桃,所以$P=\frac{11}{11+1}=\frac{11}{12}$。 概率最小值为$\frac{11}{14}$。
解析
【分析】
（1）第一问属于简单古典概型计算，解题思路为先计算取出的牌的总数量，再明确红桃的数量，根据“概率=所求事件的情况数÷所有等可能情况的总数”的公式直接计算即可。
（2）①必然事件是一定发生的事件，要使抽中方块为必然事件，剩余的牌必须全部是方块，已知红桃已全部抽走，因此只需黑桃也全部被抽走，即可求出m的取值。
②随机事件是可能发生也可能不发生的事件，要使抽中方块为随机事件，说明剩余牌中除了方块还有其他牌，红桃已全部抽完，因此剩余牌中必须有黑桃，结合题干m＞6的限制，可确定m的取值范围；方块数量固定为11张，要使抽中方块的概率最小，只需剩余总牌数最大，即剩余黑桃数量最多（m最小），代入计算即可得到最小概率。
【解析】
（1）取出的牌总数量为$9+10+11=30$张，所有牌被抽取的可能性相等，其中红桃有9张，因此随机抽出一张是红桃的概率：
$P=\frac{红桃的数量}{总牌数}=\frac{9}{30}=\frac{3}{10}$
（2）① 若事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件，说明剩余的牌全部是方块。已知9张红桃已全部抽走，因此10张黑桃也需要全部抽走，即$m=10$。
② 若事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件，说明剩余牌中除方块外还有其他牌，红桃已全部抽完，因此剩余牌中必须有黑桃，即抽走的黑桃数量$m＜10$，结合已知$m＞6$且m为正整数，可得$m=7,8,9$。
抽中方块的概率$P=\frac{方块数量}{剩余总牌数}=\frac{11}{11+(10-m)}$：
当$m=7$时，剩余黑桃3张，$P=\frac{11}{11+3}=\frac{11}{14}$；
当$m=8$时，剩余黑桃2张，$P=\frac{11}{11+2}=\frac{11}{13}$；
当$m=9$时，剩余黑桃1张，$P=\frac{11}{11+1}=\frac{11}{12}$；
比较可得概率最小值为$\frac{11}{14}$。
【答案】
(1) $\frac{3}{10}$
(2) ① $m=10$；② $m$的值为7、8、9，概率最小值为$\frac{11}{14}$
【知识点】
概率公式，必然事件，随机事件
【点评】
本题结合抽牌场景考查概率相关基础知识点，需要熟练掌握概率计算公式，理解必然事件、随机事件的定义，解题时要注意题干给出的$m＞6$的限制条件，避免取值遗漏或错误。
【难度系数】
0.7
（1）第一问属于简单古典概型计算，解题思路为先计算取出的牌的总数量，再明确红桃的数量，根据“概率=所求事件的情况数÷所有等可能情况的总数”的公式直接计算即可。
（2）①必然事件是一定发生的事件，要使抽中方块为必然事件，剩余的牌必须全部是方块，已知红桃已全部抽走，因此只需黑桃也全部被抽走，即可求出m的取值。
②随机事件是可能发生也可能不发生的事件，要使抽中方块为随机事件，说明剩余牌中除了方块还有其他牌，红桃已全部抽完，因此剩余牌中必须有黑桃，结合题干m＞6的限制，可确定m的取值范围；方块数量固定为11张，要使抽中方块的概率最小，只需剩余总牌数最大，即剩余黑桃数量最多（m最小），代入计算即可得到最小概率。
【解析】
（1）取出的牌总数量为$9+10+11=30$张，所有牌被抽取的可能性相等，其中红桃有9张，因此随机抽出一张是红桃的概率：
$P=\frac{红桃的数量}{总牌数}=\frac{9}{30}=\frac{3}{10}$
（2）① 若事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件，说明剩余的牌全部是方块。已知9张红桃已全部抽走，因此10张黑桃也需要全部抽走，即$m=10$。
② 若事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件，说明剩余牌中除方块外还有其他牌，红桃已全部抽完，因此剩余牌中必须有黑桃，即抽走的黑桃数量$m＜10$，结合已知$m＞6$且m为正整数，可得$m=7,8,9$。
抽中方块的概率$P=\frac{方块数量}{剩余总牌数}=\frac{11}{11+(10-m)}$：
当$m=7$时，剩余黑桃3张，$P=\frac{11}{11+3}=\frac{11}{14}$；
当$m=8$时，剩余黑桃2张，$P=\frac{11}{11+2}=\frac{11}{13}$；
当$m=9$时，剩余黑桃1张，$P=\frac{11}{11+1}=\frac{11}{12}$；
比较可得概率最小值为$\frac{11}{14}$。
【答案】
(1) $\frac{3}{10}$
(2) ① $m=10$；② $m$的值为7、8、9，概率最小值为$\frac{11}{14}$
【知识点】
概率公式，必然事件，随机事件
【点评】
本题结合抽牌场景考查概率相关基础知识点，需要熟练掌握概率计算公式，理解必然事件、随机事件的定义，解题时要注意题干给出的$m＞6$的限制条件，避免取值遗漏或错误。
【难度系数】
0.7
20 有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其中正面分别画有四个不同的几何图形（如图），小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张。
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）。
（2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率。
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）。
（2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率。
答案
(1) 画树状图：
则共有16种等可能的结果。
(2) 因为既是中心对称又是轴对称图形的只有B、C,所以既是轴对称图形又是中心对称图形的有4种情况,所以既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
解析
【分析】
对于第（1）问，本次是放回摸牌试验，两次摸牌相互独立，第一次摸牌有A、B、C、D共4种等可能结果，第二次摸牌时每张牌仍都有可能被摸到，每种第一次的结果对应4种第二次的结果，因此可以用树状图完整列举出所有等可能的结果，总共有4×4=16种。
对于第（2）问，首先需要根据轴对称图形、中心对称图形的定义，逐个判断4个图形是否同时满足两类对称的要求，筛选出符合条件的纸牌；再统计两次摸出的牌都属于符合条件的纸牌的情况数，最后根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”计算即可。
【解析】
（1）画树状图如下：
由树状图可知，两次摸牌共有16种等可能的结果。
（2）先判断4个图形的对称性：
①平行四边形（A）：是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合要求；
②圆（B）：既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合要求；
③正方形（C）：既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合要求；
④正五边形（D）：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求。
因此符合“既是轴对称图形又是中心对称图形”要求的纸牌是B、C，两次摸牌都为B或C的情况有(B,B)、(B,C)、(C,B)、(C,C)，共4种。
所以所求概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) 画树状图：
则共有16种等可能的结果。
(2) $\frac{1}{4}$
【知识点】
列表法与树状图法；轴对称图形判定；中心对称图形判定
【点评】
本题将图形对称性识别和概率计算结合考查，需要先准确掌握两类对称图形的概念筛选出符合条件的图形，再用列举法统计对应事件的情况数计算概率，属于基础综合题，解题时注意不要漏数或多数情况。
【难度系数】
0.7
对于第（1）问，本次是放回摸牌试验，两次摸牌相互独立，第一次摸牌有A、B、C、D共4种等可能结果，第二次摸牌时每张牌仍都有可能被摸到，每种第一次的结果对应4种第二次的结果，因此可以用树状图完整列举出所有等可能的结果，总共有4×4=16种。
对于第（2）问，首先需要根据轴对称图形、中心对称图形的定义，逐个判断4个图形是否同时满足两类对称的要求，筛选出符合条件的纸牌；再统计两次摸出的牌都属于符合条件的纸牌的情况数，最后根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”计算即可。
【解析】
（1）画树状图如下：
由树状图可知，两次摸牌共有16种等可能的结果。
（2）先判断4个图形的对称性：
①平行四边形（A）：是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合要求；
②圆（B）：既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合要求；
③正方形（C）：既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合要求；
④正五边形（D）：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求。
因此符合“既是轴对称图形又是中心对称图形”要求的纸牌是B、C，两次摸牌都为B或C的情况有(B,B)、(B,C)、(C,B)、(C,C)，共4种。
所以所求概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) 画树状图：
则共有16种等可能的结果。
(2) $\frac{1}{4}$
【知识点】
列表法与树状图法；轴对称图形判定；中心对称图形判定
【点评】
本题将图形对称性识别和概率计算结合考查，需要先准确掌握两类对称图形的概念筛选出符合条件的图形，再用列举法统计对应事件的情况数计算概率，属于基础综合题，解题时注意不要漏数或多数情况。
【难度系数】
0.7
21 一袋中装有形状大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是1、4、7、8。现规定从袋中任取一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位数；然后将小球放回袋中并搅拌均匀，再任取一个小球，对应的数字作为这个两位数的十位数。
（1）写出按上述规定得到所有可能的两位数。
（2）从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于4且小于7的概率。
（1）写出按上述规定得到所有可能的两位数。
（2）从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于4且小于7的概率。
答案
(1) 画树状图：
共有16种等可能的结果数,它们是:11、41、71、81、14、44、74、84、17、47、77、87、18、48、78、88。
(2) 算术平方根大于4且小于7的数有6个,所以算术平方根大于4且小于7的概率为$\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。
解析
【分析】
（1）本次取球属于有放回的两次独立试验，第一次取出的数字作为两位数的个位，第二次取出的数字作为两位数的十位，可通过树状图列举两次取球的所有组合，即可得到所有可能的两位数；
（2）先将“算术平方根大于4且小于7”的条件转化为两位数的取值范围：若$\sqrt{x}$满足$4＜\sqrt{x}＜7$，对不等式同时平方可得$16＜x＜49$，再从第一问得到的所有两位数中统计符合该范围的数的个数，最后根据概率公式计算所求概率即可。
【解析】
（1）按照试验规则绘制树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，对应的两位数分别为：11、41、71、81、14、44、74、84、17、47、77、87、18、48、78、88。
（2）设选取的两位数为$x$，根据题意得$4＜\sqrt{x}＜7$，对不等式各部分同时平方，可得$16＜x＜49$。
在上述16个两位数中，满足$16＜x＜49$的数有41、17、44、47、18、48，共6个。
根据概率公式，所求概率为$\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。
【答案】
(1) 画树状图：
共有16种等可能的结果数,它们是:11、41、71、81、14、44、74、84、17、47、77、87、18、48、78、88。
(2) 算术平方根大于4且小于7的数有6个,所以算术平方根大于4且小于7的概率为$\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。
【知识点】
树状图法求概率，概率计算公式，算术平方根的性质
【点评】
本题是概率与实数性质相结合的基础题，解题核心是正确列举有放回试验的所有可能结果，同时能根据算术平方根的取值范围反推原数的取值范围，整体难度较低，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
（1）本次取球属于有放回的两次独立试验，第一次取出的数字作为两位数的个位，第二次取出的数字作为两位数的十位，可通过树状图列举两次取球的所有组合，即可得到所有可能的两位数；
（2）先将“算术平方根大于4且小于7”的条件转化为两位数的取值范围：若$\sqrt{x}$满足$4＜\sqrt{x}＜7$，对不等式同时平方可得$16＜x＜49$，再从第一问得到的所有两位数中统计符合该范围的数的个数，最后根据概率公式计算所求概率即可。
【解析】
（1）按照试验规则绘制树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，对应的两位数分别为：11、41、71、81、14、44、74、84、17、47、77、87、18、48、78、88。
（2）设选取的两位数为$x$，根据题意得$4＜\sqrt{x}＜7$，对不等式各部分同时平方，可得$16＜x＜49$。
在上述16个两位数中，满足$16＜x＜49$的数有41、17、44、47、18、48，共6个。
根据概率公式，所求概率为$\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。
【答案】
(1) 画树状图：
共有16种等可能的结果数,它们是:11、41、71、81、14、44、74、84、17、47、77、87、18、48、78、88。
(2) 算术平方根大于4且小于7的数有6个,所以算术平方根大于4且小于7的概率为$\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。
【知识点】
树状图法求概率，概率计算公式，算术平方根的性质
【点评】
本题是概率与实数性质相结合的基础题，解题核心是正确列举有放回试验的所有可能结果，同时能根据算术平方根的取值范围反推原数的取值范围，整体难度较低，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
