1. 下列图形中，由$∠1=∠2$能判定$AB// CD$的是（）

1.B

【分析】
解题时需结合平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等，两直线平行），先判断每个选项中∠1和∠2是哪两条直线被哪条截线所形成的角，再分析∠1=∠2能否推出AB//CD：
1. 核心原则：只有当∠1和∠2是AB、CD被同一条截线所截形成的同位角或内错角时，∠1=∠2才能判定AB//CD；
2. 逐个分析四个选项，排除不符合要求的选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：∠1和∠2是直线AD、BC被直线BD所截得到的内错角，若∠1=∠2，可判定AD//BC，不能判定AB//CD，不符合要求；
选项B：∠1的对顶角和∠2是直线AB、CD被截线所截得到的同位角，根据对顶角相等可知∠1与其对顶角相等，若∠1=∠2，则该对顶角与∠2相等，由“同位角相等，两直线平行”可判定AB//CD，符合要求；
选项C：∠1和∠2不是AB、CD被截线所截形成的同位角或内错角，即使∠1=∠2，也无法推出AB//CD，不符合要求；
选项D：∠1和∠2不是AB、CD被截线所截形成的同位角或内错角，∠1=∠2无法判定AB//CD，不符合要求。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定；同位角与内错角识别；对顶角的性质
【点评】
本题考查平行线判定的实际应用，解题核心是准确分辨角的位置关系，判断两个角是否为待判定平行的两条直线被同一条截线所截形成的同位角或内错角，避免混淆截线和被截直线。
【难度系数】
0.7

2. 如图是小明探索直线平行的条件时所用的学具，木条a,b,c在同一平面内，经测量∠2=110°，要使木条a与b平行，则∠1的度数应为 （）


A.$20°$
B.$70°$
C.$110°$
D.$160°$

2.B

【分析】
要判定木条a与b平行，可结合平行线的判定定理求解。首先可以先求出∠2的邻补角度数，该角与∠1是一组同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，令∠1等于该邻补角的度数即可得到结果；也可以利用对顶角相等得到∠2的对顶角，再结合“同旁内角互补，两直线平行”计算∠1的度数。
【解析】
∵∠2=110°，∠2与直线a下方、截线c右侧的角互为邻补角
∴该邻补角的度数为$180°-∠2=180°-110°=70°$
根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行，当$∠1=70°$时，这组同位角相等，即可得到木条$a// b$，因此选B。
（也可通过同旁内角推导：∠2和它的对顶角相等，即对顶角为$110°$，该角与∠1是同旁内角，要使$a// b$，需$∠1+110°=180°$，解得$∠1=70°$）
【答案】
B
【知识点】
1.邻补角的性质 2.平行线的判定
【点评】
本题是平行线判定的基础应用，需要学生准确识别三线八角中的同位角或同旁内角，结合邻补角的性质即可快速求解，是对基础知识点掌握程度的考查。
【难度系数】
0.8

3. 如图，AF与BD相交于点C，∠B=∠ACB，且CD平分∠ECF. 判断直线AB，CE是否平行，并说明理由.

3. 【解】$AB// CE$.理由如下：
因为CD平分$∠ECF$,所以$∠ECD=∠FCD$.
因为$∠ACB=∠FCD$,所以$∠ECD=∠ACB$.
又因为$∠B=∠ACB$,所以$∠B=∠ECD$.
所以$AB// CE$.

【分析】
要判断直线AB和CE是否平行，可通过平行线的判定定理寻找对应角的相等关系。首先结合角平分线的性质得到∠ECD和∠FCD相等，再利用对顶角相等的性质推出∠ACB和∠FCD相等，进而得到∠ECD与∠ACB相等，最后结合已知∠B=∠ACB，通过等量代换得到同位角∠B和∠ECD相等，即可判定两直线的位置关系。
【解析】
解：$AB// CE$，理由如下：
∵ CD平分$∠ECF$，
∴ $∠ECD=∠FCD$（角平分线的定义）。
∵ $∠ACB$与$∠FCD$是对顶角，
∴ $∠ACB=∠FCD$（对顶角相等）。
∴ $∠ECD=∠ACB$（等量代换）。
又
∵ $∠B=∠ACB$（已知），
∴ $∠B=∠ECD$（等量代换）。
∴ $AB// CE$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
$AB// CE$
【知识点】
对顶角相等；角平分线的定义；平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是通过角平分线、对顶角的性质完成角的等量代换，最终利用平行线的判定定理得出结论，能够有效巩固平行线判定相关知识的应用能力。
【难度系数】
0.8

4. 新题型动手操作题 数学活动中老师要求同学们利用三角板作已知直线a的平行线b，如图是甲同学和乙同学作图的过程，下列判断正确的是 （）


A.甲、乙都正确
B.甲正确，乙错误
C.甲错误，乙正确
D.甲、乙都错误

4.A

【分析】
要判断两位同学的作图是否正确，需结合平行线的判定定理分析两人的作图原理：首先回忆平行线的常用判定方法：同位角相等，两直线平行；垂直于同一条直线的两条直线互相平行。先看甲同学的操作：作图中直线a、b都和中间的截线形成90°的直角，即同位角相等，满足平行线判定条件，可推出a//b，做法正确。再看乙同学的操作：属于平移三角板作平行线的方法，平移前后三角板的同一个角可构成一对相等的同位角，同样满足平行线判定条件，可推出a//b，做法也正确。因此两人的作图都正确。
【解析】
对甲同学的作图：直线a和直线b与中间截线的夹角均为90°，即同位角相等，根据“同位角相等，两直线平行”，可得a//b，故甲的做法正确。
对乙同学的作图：通过平移三角板作图，平移前后三角板的同一个角在截线同侧形成一对相等的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可得a//b，故乙的做法正确。
因此甲、乙的作图都正确，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平行线的判定，平移的性质，同位角的应用
【点评】
本题结合动手作图的情境考查平行线的判定，需要同学们理解日常作图方法背后的几何原理，能有效考查对平行线判定定理的理解与应用能力。
【难度系数】
0.8

5. 如图，直线MN分别与直线AP，DG交于点B，F，且$∠ 1=∠ 2$. $∠ ABF$的平分线BE交直线DG于点E，$∠ BFG$的平分线FC交直线AP于点C.
(1)请判断直线AP与DG的位置关系，并说明理由.
(2)BE平行于CF吗？请说明理由.

5. 【解】(1)$AP// DG$.
理由如下:因为$∠ABF=∠1$,$∠1=∠2$,
所以$∠ABF=∠2$,
所以$AP// DG$.
(2)$BE// CF$.理由如下：
由(1)知$AP// DG$,所以$∠ABF=∠BFG$.
因为$∠ABF$的平分线BE交直线DG于点E,$∠BFG$的平分线FC交直线AP于点C，
所以$∠EBF=\frac{1}{2}∠ABF$,$∠CFB=\frac{1}{2}∠BFG$,
所以$∠EBF=∠CFB$,
所以$BE// CF$.

【分析】
(1)判断AP与DG的位置关系可结合平行线判定定理分析：首先∠1与∠ABF是对顶角，二者天然相等，结合已知∠1=∠2，可等量代换得到同位角∠ABF=∠2，根据同位角相等即可判定两直线平行。
(2)判断BE与CF是否平行，可验证二者被截得的内错角是否相等：先由(1)得到的AP//DG，根据平行线性质可得∠ABF=∠BFG；再结合BE、CF是对应角的平分线，根据角平分线定义可推出∠EBF=∠CFB，内错角相等即可判定两直线平行。
【解析】
(1)$AP// DG$，理由如下：
因为对顶角相等，所以$∠ABF=∠1$，又已知$∠1=∠2$，
所以$∠ABF=∠2$，
根据“同位角相等，两直线平行”，可得$AP// DG$。
(2)$BE// CF$，理由如下：
由(1)知$AP// DG$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ABF=∠BFG$。
因为$∠ABF$的平分线BE交直线DG于点E，$∠BFG$的平分线FC交直线AP于点C，
根据角平分线的定义，得$∠EBF=\frac{1}{2}∠ABF$，$∠CFB=\frac{1}{2}∠BFG$，
所以$∠EBF=∠CFB$，
根据“内错角相等，两直线平行”，可得$BE// CF$。
【答案】
(1)$AP// DG$；(2)$BE// CF$
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是平行线相关的基础题型，解题核心是准确识别角的位置关系，借助对顶角、角平分线的性质完成角的等量代换，结合平行线的判定与性质即可求解，需注意区分平行线的判定和性质的适用条件。
【难度系数】
0.8

6.[2026太原小店区期末]将文具套尺中的量角器和三角板按照如图方式摆放，其中$∠ A=30°$，三角板的直角顶点C与量角器的中心重合，DE为量角器的直径。下列条件中，不能判定$AB// DE$的是（）

A.$∠ ACD=30°$
B.$∠ BCE=60°$
C.$∠ B+∠ BCD=180°$
D.$∠ BCE+∠ BCD=180°$

6.D

【分析】
解题时首先回忆平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。结合已知直角三角板的角度特征：∠A=30°，∠B=60°，∠ACB=90°，逐一验证每个选项的条件能否推出AB//DE，最终选出无法判定的选项即可。
【解析】
已知△ABC为直角三角板，∠ACB=90°，∠A=30°，故∠B=90°-30°=60°，点C在直线DE上。
选项A：若∠ACD=30°，则∠A=∠ACD=30°，二者是直线AB、DE被AC所截形成的内错角，内错角相等，两直线平行，可判定AB//DE，不符合题意。
选项B：若∠BCE=60°，则∠B=∠BCE=60°，二者是直线AB、DE被BC所截形成的内错角，内错角相等，两直线平行，可判定AB//DE，不符合题意。
选项C：若∠B+∠BCD=180°，二者是直线AB、DE被BC所截形成的同旁内角，同旁内角互补，两直线平行，可判定AB//DE，不符合题意。
选项D：∠BCE与∠BCD是邻补角，无论AB与DE是否平行，恒有∠BCE+∠BCD=180°，该条件无法判定AB//DE，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定；直角三角板角度特征；邻补角性质
【点评】
本题属于平行线判定的基础应用题，需要熟练掌握平行线的几个判定定理，注意区分邻补角天然互补的性质和同旁内角互补的判定条件，避免混淆导致出错。
【难度系数】
0.7

7. [2026 南阳期末] 如图，$∠ 1=25°$，$∠ B=65°$，$AB⊥ AC$.
(1)AD与BC有怎样的位置关系？为什么？
(2)AB与CD平行吗？若平行，请说明理由；若不平行，那么再加上什么条件就平行了呢？

7. 【解】(1)AD与BC的位置关系是$AD// BC$.理由如下：
因为$AB⊥AC$,所以$∠BAC=90°$.
因为$∠1=25°$,
所以$∠BAD=∠BAC+∠1=90°+25°=115°$.
又因为$∠B=65°$,所以$∠BAD+∠B=115°+65°=180°$,
所以$AD// BC$.
(2)AB与CD不平行,添加条件①$∠BCD=115°$或②$AC⊥CD$或③$∠D=65°$时,$AB// CD$.

【分析】
(1)要判断AD与BC的位置关系，可结合平行线的判定定理分析：首先根据垂直的定义得出∠BAC的度数，再结合∠1的度数计算出∠BAD的度数，验证∠BAD与∠B的和是否为180°，若满足同旁内角互补，即可判定两直线平行。
(2)判断AB与CD是否平行，需看现有条件是否满足平行线的判定要求，现有条件无法得到AB、CD被截形成的角满足平行的判定条件，因此不平行；添加条件时只需符合平行线的任意一个判定规则即可，答案不唯一。
【解析】
(1)AD与BC的位置关系是$AD// BC$，理由如下：
因为$AB⊥ AC$，所以$∠ BAC=90°$。
因为$∠ 1=25°$，所以$∠ BAD=∠ BAC+∠ 1=90°+25°=115°$。
又因为$∠ B=65°$，所以$∠ BAD+∠ B=115°+65°=180°$，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$AD// BC$。
(2)AB与CD不平行，添加以下任意一个条件即可证明$AB// CD$：
①添加$∠ BCD=115°$：此时$∠ B+∠ BCD=180°$，同旁内角互补，两直线平行；
②添加$AC⊥ CD$：此时$∠ BAC=∠ ACD=90°$，内错角相等，两直线平行；
③添加$∠ D=65°$：可推导出同旁内角互补，两直线平行。
【答案】
(1)$AD// BC$，理由见上述解析；
(2)AB与CD不平行，添加$∠ BCD=115°$（或$AC⊥ CD$、$∠ D=65°$，答案不唯一）时，$AB// CD$。
【知识点】
平行线的判定，垂直的定义，角的和差计算
【点评】
本题是平行线判定的基础应用类题目，核心是通过已知条件推导角的数量关系，结合平行线的判定规则判断直线的位置关系；第二问为开放性问题，能有效考查对平行线判定定理的灵活应用能力和发散思维。
【难度系数】
0.7