8. [2025 德阳] 德阳市正积极推进城市轨道交通建设，假设已经规划的5条线路的长度分别为28公里、30公里、30公里、26公里、32公里。若后续又新增一条线路，使得新增后这6条线路的长度的中位数变为29公里，众数保持不变，那么新增线路的长度可能是（）

A.25公里
B.28公里
C.29公里
D.30公里

8.A 【点拨】A. 若新增线路的长度是25公里,则数据排序为25,26,28,30,30,32.第3,4个数为28和30,平均值为29,即中位数为29.而众数仍为30(出现2次),符合题意.B. 若新增线路的长度是28公里,数据排序为26,28,28,30,30,32.第3,4个数为28和30,平均值为29,即中位数为29,但众数变为28和30(各出现2次),与原众数30不一致,不符合题意.C. 若新增线路的长度是29公里,数据排序为26,28,29,30,30,32.第3,4个数为29和30,平均值为29.5,即中位数为29.5,不符合题意.D. 若新增线路的长度是30公里,数据排序为26,28,30,30,30,32.第3,4个数均为30,平均值为30,即中位数为30,不符合题意.故选A.

【分析】
解题首先要明确中位数和众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数，原5条线路长度中30出现次数最多，所以原众数是30，要求新增后众数不变，说明30仍是出现次数最多的数；偶数个数据的中位数是排序后中间两个数的平均值，6个数据的中位数为第3、4个数据的平均数，题目要求中位数为29，因此第3、4个数据的和应为29×2=58。我们可以通过逐个代入选项验证是否同时满足中位数为29、众数仍为30两个条件。
【解析】
首先将原5条线路的长度从小到大排序：26公里，28公里，30公里，30公里，32公里，原众数为30。新增1条线路后共6个数据，中位数为排序后第3、4个数据的平均数，要求中位数为29，且众数保持为30，逐一分析选项：
A. 新增25公里时，数据排序为25，26，28，30，30，32，第3、4个数据为28和30，中位数=(28+30)÷2=29，众数仍为30（仅30出现2次，其余数各出现1次），符合要求；
B. 新增28公里时，数据排序为26，28，28，30，30，32，中位数=(28+30)÷2=29，但众数变为28和30（均出现2次），众数改变，不符合要求；
C. 新增29公里时，数据排序为26，28，29，30，30，32，中位数=(29+30)÷2=29.5≠29，不符合要求；
D. 新增30公里时，数据排序为26，28，30，30，30，32，中位数=(30+30)÷2=30≠29，不符合要求。
【答案】
A
【知识点】
中位数；众数
【点评】
本题考查统计中中位数和众数的基础应用，解题时要注意偶数个数据的中位数计算方式，同时不要忽略“众数保持不变”的限制条件，采用代入排除法可以高效解题。
【难度系数】
0.6

9. 有11个正整数，平均数是10，中位数是9，唯一的众数是8，则最大的正整数最大为（）

A.25
B.30
C.35
D.40

9.C 【点拨】因为有11个正整数,平均数是10,所以这11个数的和为110,设最大的正整数为x.由于中位数是9,唯一的众数是8,若有2个8,则其他数至多有1个,符合条件的数据可以是1,2,3,8,8,9,10,11,12,13,x,此时x=33;若数据中有3个8,则其他数至多有2个,符合条件的数据可以是1,1,8,8,8,9,9,10,10,11,x,此时x=35;若数据中有4个8,则其他数至多有3个,符合条件的数据可以是1,8,8,8,8,9,9,9,10,10,x,此时x=30;若数据中有5个8,则其他数至多有4个,符合条件的数据可以是8,8,8,8,8,9,9,9,9,10,x,此时x=24.因为24＜30＜33＜35,所以最大的正整数最大为35.

【分析】
要解决这个问题，核心思路是“求最大数的最大值，需让其余10个数尽可能小”。首先根据平均数计算出11个数的总和，再结合中位数、唯一众数的限制条件，分类讨论众数8出现的次数，构造出其余数最小的符合条件的数列，最后计算对应最大数的大小，比较得出最大值。
【解析】
第一步：计算11个正整数的总和
已知11个正整数的平均数是10，因此总和为 $11 × 10 = 110$。
第二步：明确统计量的限制要求
11个数按从小到大排序后，中位数是第6个数，因此第6个数为9；唯一众数是8，说明8出现的次数比其他所有数的出现次数都多。
第三步：分类讨论8的出现次数，求对应最大数$x$
要让最大数$x$最大，其余10个数需尽可能小：
1. 若8出现2次：其余数最多出现1次，最小符合条件的数列为1,2,3,8,8,9,10,11,12,13，这10个数的和为$1+2+3+8+8+9+10+11+12+13=77$，则$x=110-77=33$；
2. 若8出现3次：其余数最多出现2次，最小符合条件的数列为1,1,8,8,8,9,9,10,10,11，这10个数的和为$1+1+8+8+8+9+9+10+10+11=75$，则$x=110-75=35$；
3. 若8出现4次：其余数最多出现3次，最小符合条件的数列为1,8,8,8,8,9,9,9,10,10，这10个数的和为$1+8×4+9×3+10×2=80$，则$x=110-80=30$；
4. 若8出现5次：其余数最多出现4次，最小符合条件的数列为8,8,8,8,8,9,9,9,9,10，这10个数的和为$8×5+9×4+10=86$，则$x=110-86=24$。
第四步：对比结果得最大值
四个结果大小关系为$24＜30＜33＜35$，因此最大的正整数最大为35。
【答案】
C
【知识点】
平均数计算，中位数定义，众数定义
【点评】
本题综合考查三个统计量的应用，解题的关键是抓住“求最大值则其余数取最小”的极值思路，同时结合三个统计量的限制条件分类讨论，能够有效锻炼逻辑推理和分类讨论的能力。
【难度系数】
0.6

10. 七名学生投篮，每人投了10个球后，统计他们每人投中球的个数，得到七个数据，并对这组数据进行整理和分析，得出如下信息：

其中小陈同学投中了4个，下列判断：
①可能有学生投中了9个；
②投中6个的学生只有1人；
③这七个数据之和可能为42；
④m的值可能为5.
其中正确的序号是.

10. ①④ 【点拨】由中位数为6,众数为7可知,大于6的数中,有可能有两个是7,一个是9,故①正确;当这七个数据为2,4,6,6,7,7,7时符合题意,故②错误;当这七个数据为2,4,5,6,7,7,10时,这七个数据的和最大,最大值为41,故③错误;当这七个数据为2,2,4,6,7,7,7时,平均数为5,故④正确.

【分析】
解题时首先明确中位数、众数、平均数的定义：7个数据从小到大排列后，第4个数据是中位数6，说明第4个数为6；众数是7，说明7出现的次数最多；已知最小值为2，还有小陈投中的4，先确定数据的大致范围，再逐个分析四个判断是否成立：对于可能性的判断，只要能举出符合所有条件的例子即可证明成立；对于不可能的判断，可通过计算极值或者举反例证明。
【解析】
首先将7个投中个数从小到大排列，根据题意可得：第1个数是2，存在数据4，第4个数为6，7出现的次数最多，且全部在第4个数之后。
逐个判断如下：
①构造数据2,4,5,6,7,7,9，满足最小值为2、中位数为6、众数为7的所有条件，因此可能有学生投中9个，①正确；
②举反例：数据为2,4,6,6,7,7,7，满足所有已知条件，此时有2人投中6个，因此投中6个的学生不一定只有1人，②错误；
③计算数据和的最大值：要使总和最大，需让各数尽可能大，取前3个数为2,4,5，第4个数为6，后三个数取7,7,10，此时7出现2次，其余数均只出现1次，7是唯一众数，总和为$2+4+5+6+7+7+10=41$，是数据和的最大值，小于42，因此七个数据之和不可能为42，③错误；
④若平均数$m=5$，则数据总和为$5×7=35$，构造数据2,2,4,6,7,7,7，总和为$2+2+4+6+7+7+7=35$，满足所有已知条件，因此m的值可能为5，④正确。
【答案】
①④
【知识点】
中位数；众数；平均数
【点评】
本题考查统计特征量的理解与运用，解题时需要结合各统计量的定义，通过举例验证、极值分析的方法判断结论，需注意多个统计量的限制条件要同时满足。
【难度系数】
0.6

11. ::某洗车公司安装了$A,B$两款自动洗车设备，工作人员从消费者对$A,B$两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析(评分分数用$x$表示，分为四个等级：不满意：$x＜70$，比较满意：$70≤x＜80$，满意：$80≤x＜90$；非常满意：$x≥90$)，下面给出了部分信息：
抽取的对$A$款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：83,85,85,87,87,89；
抽取的对$B$款设备的评分数据：
68,69,76,78,81,84,85,86,87,87,87,89,95,97,98,98,98,98,99,100.
抽取的对$A,B$两款设备的评分统计表

抽取的对$A$款设备的评分扇形统计图

根据以上信息，解答下列各题：
(1)填空：$a=$，$m=$，$n=$.
(2)有800名消费者对$A$款自动洗车设备进行评分，估计对$A$款自动洗车设备“比较满意”的人数.
(3)根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由(写出一条理由即可).

11.【解】(1)15;88;98
(2)由(1)知$a=15$,故$800×15\%=120$.
所以估计对A款自动洗车设备“比较满意”的人数为120.
(3)(答案不唯一)A款自动洗车设备更受消费者欢迎.理由如下:依题意,两款自动洗车设备的评分数据的平均数相同,但A款自动洗车设备的评分数据的中位数比B款高,所以A款自动洗车设备更受消费者欢迎.

【分析】
(1) 求$a$时，先算出A款“满意”等级的占比，再用1减去其余已知等级的占比即可；求$m$（A款评分中位数）时，先根据各等级占比算出对应人数，找到排序后第10、11位的评分，求平均值即为中位数；求$n$（B款评分众数）时，直接找出B款数据中出现次数最多的数即可。
(2) 用样本中A款“比较满意”的占比乘总评分人数，即可估计总体中对应人数，运用样本估计总体的思想。
(3) 可从中位数、众数、高分段占比等统计量角度对比两款设备，给出合理理由即可。
【解析】
(1) ①计算$a$：
A款“满意”的共6个，占比为$\frac{6}{20}×100\%=30\%$，由扇形图可知“不满意”占10%，“非常满意”占45%，因此$a=100\%-10\%-45\%-30\%=15$。
②计算$m$：
A款共20个数据，中位数是排序后第10、11个数据的平均数。“不满意”人数为$20×10\%=2$，“比较满意”人数为$20×15\%=3$，前两个等级共5人，因此第6~11个数据都是“满意”等级的83,85,85,87,87,89，第10个是87，第11个是89，故$m=\frac{87+89}{2}=88$。
③计算$n$：
B款评分中98共出现4次，出现次数最多，因此众数$n=98$。
(2) 样本中A款“比较满意”的占比为15%，因此800名消费者中“比较满意”的人数约为$800×15\%=120$（人）。
(3) 示例：A款自动洗车设备更受消费者欢迎。理由：两款设备评分的平均数相同时，A款评分的中位数比B款高，说明A款的中等评分更高，更受消费者欢迎。（理由合理即可）
【答案】
(1) $\boldsymbol{15}$；$\boldsymbol{88}$；$\boldsymbol{98}$
(2) 估计对A款自动洗车设备“比较满意”的人数为$\boldsymbol{120}$人。
(3) 示例：A款更受消费者欢迎，理由：两款评分平均数相同，A款评分的中位数更高（合理即可）
【知识点】
扇形统计图；中位数与众数；用样本估计总体
【点评】
本题结合生活中的满意度调查场景，考查统计模块的基础知识点，要求学生掌握常见统计量的计算方法，能运用样本估计总体的思想解决实际问题，同时能结合统计量进行合理的数据分析。
【难度系数】
0.7