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1 某口袋中有10个球，其中白球有2个，绿球有5个，其余为黑球.从口袋中任意摸出1个球，若为绿球，则甲获胜；若为黑球，则乙获胜.为使游戏对甲、乙双方公平，需在口袋中再放入黑球 （
A.3个
B.4个
C.1个
D.2个
D
）A.3个
B.4个
C.1个
D.2个
答案
1. D
解析
【分析】要判断游戏是否公平，核心是看甲、乙两人获胜的概率是否相等。首先先计算出口袋中原有黑球的数量，再设放入的黑球个数为未知数，分别表示出甲、乙获胜的概率，令二者相等列方程求解即可得到需放入的黑球数量。
【解析】首先计算原有黑球数量：口袋共有10个球，白球2个，绿球5个，因此原有黑球个数为 $10 - 2 - 5 = 3$ 个。
设需要再放入 $x$ 个黑球时游戏对双方公平。
此时口袋总球数为 $10 + x$ 个，甲获胜（摸到绿球）的概率为 $\frac{5}{10+x}$，乙获胜（摸到黑球）的概率为 $\frac{3+x}{10+x}$。
根据游戏公平的条件，两人获胜概率相等，可得：
$\frac{5}{10+x} = \frac{3+x}{10+x}$
由于 $10+x ≠ 0$，等式两边同时乘 $10+x$ 得：
$5 = 3 + x$
解得 $x = 2$，即需要再放入2个黑球。
故选D。
【答案】D
【知识点】概率的计算；游戏公平性判定；一元一次方程的应用
【点评】本题是概率应用的基础题型，解题的关键是理解游戏公平的本质是双方获胜的概率相等，结合概率公式列方程求解即可，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】首先计算原有黑球数量：口袋共有10个球，白球2个，绿球5个，因此原有黑球个数为 $10 - 2 - 5 = 3$ 个。
设需要再放入 $x$ 个黑球时游戏对双方公平。
此时口袋总球数为 $10 + x$ 个，甲获胜（摸到绿球）的概率为 $\frac{5}{10+x}$，乙获胜（摸到黑球）的概率为 $\frac{3+x}{10+x}$。
根据游戏公平的条件，两人获胜概率相等，可得：
$\frac{5}{10+x} = \frac{3+x}{10+x}$
由于 $10+x ≠ 0$，等式两边同时乘 $10+x$ 得：
$5 = 3 + x$
解得 $x = 2$，即需要再放入2个黑球。
故选D。
【答案】D
【知识点】概率的计算；游戏公平性判定；一元一次方程的应用
【点评】本题是概率应用的基础题型，解题的关键是理解游戏公平的本质是双方获胜的概率相等，结合概率公式列方程求解即可，难度较低。
【难度系数】0.8
2 [2025苏州段考]在联欢晚会上，有三名同学分别站在$△ ABC$的三个顶点处，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在$△ ABC$的 （
A.三边中线的交点处
B.三条角平分线的交点处
C.三边上高的交点处
D.三边垂直平分线的交点处
D
）A.三边中线的交点处
B.三条角平分线的交点处
C.三边上高的交点处
D.三边垂直平分线的交点处
答案
2. D
解析
【分析】
要使抢凳子游戏公平，需保证凳子到三名同学的距离相等，即凳子所在点到△ABC三个顶点的距离相等。解题时先明确公平性的核心条件，再逐一判断各选项中三角形特殊点的性质，找到符合“到三个顶点距离相等”的点即可。
【解析】
游戏公平的前提是凳子到A、B、C三个顶点的距离相等，我们逐一分析选项：
A. 三边中线的交点是三角形的重心，重心的性质是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，不满足到三个顶点距离相等，不符合要求；
B. 三条角平分线的交点是三角形的内心，内心的性质是到三角形三边的距离相等，不是到三个顶点距离相等，不符合要求；
C. 三边上高的交点是三角形的垂心，垂心不具备到三个顶点距离相等的性质，不符合要求；
D. 三边垂直平分线的交点是三角形的外心，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此外心到△ABC三个顶点的距离相等，符合游戏公平的要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形外心的性质、游戏公平的判定
【点评】
本题结合生活场景考查三角形特殊点的性质，解题的核心是将游戏公平的实际需求转化为“点到三角形三个顶点距离相等”的数学条件，再结合各特殊点的性质判断即可，解题的关键是熟记三角形各特殊点的性质。
【难度系数】
0.8
要使抢凳子游戏公平，需保证凳子到三名同学的距离相等，即凳子所在点到△ABC三个顶点的距离相等。解题时先明确公平性的核心条件，再逐一判断各选项中三角形特殊点的性质，找到符合“到三个顶点距离相等”的点即可。
【解析】
游戏公平的前提是凳子到A、B、C三个顶点的距离相等，我们逐一分析选项：
A. 三边中线的交点是三角形的重心，重心的性质是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，不满足到三个顶点距离相等，不符合要求；
B. 三条角平分线的交点是三角形的内心，内心的性质是到三角形三边的距离相等，不是到三个顶点距离相等，不符合要求；
C. 三边上高的交点是三角形的垂心，垂心不具备到三个顶点距离相等的性质，不符合要求；
D. 三边垂直平分线的交点是三角形的外心，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此外心到△ABC三个顶点的距离相等，符合游戏公平的要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形外心的性质、游戏公平的判定
【点评】
本题结合生活场景考查三角形特殊点的性质，解题的核心是将游戏公平的实际需求转化为“点到三角形三个顶点距离相等”的数学条件，再结合各特殊点的性质判断即可，解题的关键是熟记三角形各特殊点的性质。
【难度系数】
0.8
3 某学校在进行防溺水安全教育活动中，将下列几种在游泳时的相关事项写在纸条上并折好，内容分别是① 互相关心；② 互相提醒；③ 不要相互嬉水；④ 相互比潜水深度；⑤ 选择水流湍急的水域；⑥ 选择有人看护的游泳池.小颖从这6张纸条中随机抽出1张，抽到内容描述正确的纸条的概率是
$\frac{2}{3}$
.答案
3. $\frac{2}{3}$
解析
【分析】
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路分为两步：第一步先结合防溺水安全常识，判断6张纸条的内容是否正确，统计出内容正确的纸条总数；第二步利用等可能事件的概率公式：P(事件发生)=符合条件的情况数÷总情况数，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
首先判断6条游泳相关事项的正确性：
①互相关心：属于游泳时的正确安全注意事项，符合要求；
②互相提醒：属于游泳时的正确安全注意事项，符合要求；
③不要相互嬉水：嬉水容易引发落水、呛水等危险，属于正确要求；
④相互比潜水深度：容易导致体力不支、溺水等意外，是错误做法；
⑤选择水流湍急的水域：该水域危险性极高，极易引发溺水，是错误做法；
⑥选择有人看护的游泳池：能在发生意外时及时得到救助，是正确做法。
综上，内容描述正确的纸条共有4张，总共有6张纸条，且抽取每张纸条的可能性相等，
因此抽到内容描述正确的纸条的概率$P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
等可能事件概率计算；事件合理性判断
【点评】
本题结合生活中的防溺水安全教育场景考查概率基础计算，解题的关键是先准确判断正确事项的数量，再代入概率公式求解，既考察了数学知识，也普及了安全常识。
【难度系数】
0.7
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路分为两步：第一步先结合防溺水安全常识，判断6张纸条的内容是否正确，统计出内容正确的纸条总数；第二步利用等可能事件的概率公式：P(事件发生)=符合条件的情况数÷总情况数，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
首先判断6条游泳相关事项的正确性：
①互相关心：属于游泳时的正确安全注意事项，符合要求；
②互相提醒：属于游泳时的正确安全注意事项，符合要求；
③不要相互嬉水：嬉水容易引发落水、呛水等危险，属于正确要求；
④相互比潜水深度：容易导致体力不支、溺水等意外，是错误做法；
⑤选择水流湍急的水域：该水域危险性极高，极易引发溺水，是错误做法；
⑥选择有人看护的游泳池：能在发生意外时及时得到救助，是正确做法。
综上，内容描述正确的纸条共有4张，总共有6张纸条，且抽取每张纸条的可能性相等，
因此抽到内容描述正确的纸条的概率$P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
等可能事件概率计算；事件合理性判断
【点评】
本题结合生活中的防溺水安全教育场景考查概率基础计算，解题的关键是先准确判断正确事项的数量，再代入概率公式求解，既考察了数学知识，也普及了安全常识。
【难度系数】
0.7
4 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转。如果这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口时，第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率是
$\frac{1}{9}$
。答案
4. $\frac{1}{9}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确本题是求两个独立事件同时发生的概率，第一步先确定单辆车选择任意一种行驶方向的概率：由于直行、左转、右转三种可能性大小相同，所以单辆车选择每个方向的概率相等，均为$\frac{1}{3}$；第二步判断两辆车的行驶方向属于独立事件，互不影响，既可以用独立事件同时发生的概率公式计算，也可以用列举法列出所有可能的情况，再通过古典概型的概率公式（符合条件的情况数÷总情况数）求解。
【解析】
方法一：独立事件概率计算
因为单辆车直行、左转、右转的可能性相同，所以每种行驶方向的概率为$\frac{1}{3}$。
两辆车的行驶方向互不影响，属于独立事件，因此第一辆车左转、第二辆车右转的概率为两个事件各自概率的乘积：
$P=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$
方法二：列举法
将两辆车的行驶方向组合全部列出，共有9种等可能的情况：（直，直）、（直，左）、（直，右）、（左，直）、（左，左）、（左，右）、（右，直）、（右，左）、（右，右）。
其中符合“第一辆车向左转，第二辆车向右转”的情况只有1种，根据古典概型概率公式：
$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{1}{9}$
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
1. 古典概型计算
2. 独立事件概率
3. 列举法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，两种解题方法都属于概率部分的核心内容，解题时要注意判断事件的独立性，或者准确列举所有等可能的结果，避免漏算、错算情况数。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先明确本题是求两个独立事件同时发生的概率，第一步先确定单辆车选择任意一种行驶方向的概率：由于直行、左转、右转三种可能性大小相同，所以单辆车选择每个方向的概率相等，均为$\frac{1}{3}$；第二步判断两辆车的行驶方向属于独立事件，互不影响，既可以用独立事件同时发生的概率公式计算，也可以用列举法列出所有可能的情况，再通过古典概型的概率公式（符合条件的情况数÷总情况数）求解。
【解析】
方法一：独立事件概率计算
因为单辆车直行、左转、右转的可能性相同，所以每种行驶方向的概率为$\frac{1}{3}$。
两辆车的行驶方向互不影响，属于独立事件，因此第一辆车左转、第二辆车右转的概率为两个事件各自概率的乘积：
$P=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$
方法二：列举法
将两辆车的行驶方向组合全部列出，共有9种等可能的情况：（直，直）、（直，左）、（直，右）、（左，直）、（左，左）、（左，右）、（右，直）、（右，左）、（右，右）。
其中符合“第一辆车向左转，第二辆车向右转”的情况只有1种，根据古典概型概率公式：
$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{1}{9}$
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
1. 古典概型计算
2. 独立事件概率
3. 列举法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，两种解题方法都属于概率部分的核心内容，解题时要注意判断事件的独立性，或者准确列举所有等可能的结果，避免漏算、错算情况数。
【难度系数】
0.8
5 小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：如图，A，B两个转盘可以自由转动，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形.同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色（若指针指向分界线，则重转）.若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看.这个游戏公平吗？请说明理由.
答案
5. 这个游戏公平 理由:根据题意,画树状图如图所示.由树状图可知,同时转动两个转盘,共有6种等可能的结果,其中配成紫色(红+蓝)的结果有3种,配不成紫色的结果有3种,
∴ P(小颖去观看)=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$,P(小亮去观看)=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$,
∴ P(小颖去观看)=P(小亮去观看),
∴ 这个游戏公平.
解析
【分析】
要判断游戏是否公平，核心是比较小颖和小亮两人获得入场券的概率是否相等，若概率相等则游戏公平，否则不公平。解题时先分析两个转盘各自的等可能结果，再通过画树状图的方法列举出同时转动两个转盘的所有等可能结果，接着统计能配成紫色（一红一蓝）的结果数，分别计算两人获胜的概率，最后比较概率大小即可得出结论。
【解析】
解：判断游戏公平性需计算双方获胜的概率，步骤如下：
1. 分析转盘的等可能结果：转盘A被平均分成2份，有蓝、红2种等可能结果；转盘B被平均分成3份，有蓝、蓝、红3种等可能结果。
2. 画树状图列举所有结果：可得同时转动两个转盘共有6种等可能的结果，分别为(蓝,蓝)、(蓝,蓝)、(蓝,红)、(红,蓝)、(红,蓝)、(红,红)。
3. 统计符合条件的结果：配成紫色要求一个转盘转出红色、另一个转出蓝色，符合要求的结果有3种，配不成紫色的结果也有3种。
4. 计算概率：
$P(\mathrm{小颖去观看})=\frac{\mathrm{配成紫色的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
$P(\mathrm{小亮去观看})=\frac{\mathrm{配不成紫色的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
5. 比较概率：因为$P(\mathrm{小颖去观看})=P(\mathrm{小亮去观看})$，因此该游戏公平。
【答案】
这个游戏公平 理由:根据题意,画树状图如图所示.由树状图可知,同时转动两个转盘,共有6种等可能的结果,其中配成紫色(红+蓝)的结果有3种,配不成紫色的结果有3种,
∴ P(小颖去观看)=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$,P(小亮去观看)=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$,
∴ P(小颖去观看)=P(小亮去观看),
∴ 这个游戏公平.
【知识点】
游戏公平性判断、树状图求概率、概率计算
【点评】
这道题是概率在实际生活中的典型应用，解题关键是明确游戏公平的判断依据是双方获胜概率相等，使用树状图可以清晰、不重不漏地列举所有等可能结果，进而准确计算概率。
【难度系数】
0.8
要判断游戏是否公平，核心是比较小颖和小亮两人获得入场券的概率是否相等，若概率相等则游戏公平，否则不公平。解题时先分析两个转盘各自的等可能结果，再通过画树状图的方法列举出同时转动两个转盘的所有等可能结果，接着统计能配成紫色（一红一蓝）的结果数，分别计算两人获胜的概率，最后比较概率大小即可得出结论。
【解析】
解：判断游戏公平性需计算双方获胜的概率，步骤如下：
1. 分析转盘的等可能结果：转盘A被平均分成2份，有蓝、红2种等可能结果；转盘B被平均分成3份，有蓝、蓝、红3种等可能结果。
2. 画树状图列举所有结果：可得同时转动两个转盘共有6种等可能的结果，分别为(蓝,蓝)、(蓝,蓝)、(蓝,红)、(红,蓝)、(红,蓝)、(红,红)。
3. 统计符合条件的结果：配成紫色要求一个转盘转出红色、另一个转出蓝色，符合要求的结果有3种，配不成紫色的结果也有3种。
4. 计算概率：
$P(\mathrm{小颖去观看})=\frac{\mathrm{配成紫色的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
$P(\mathrm{小亮去观看})=\frac{\mathrm{配不成紫色的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
5. 比较概率：因为$P(\mathrm{小颖去观看})=P(\mathrm{小亮去观看})$，因此该游戏公平。
【答案】
这个游戏公平 理由:根据题意,画树状图如图所示.由树状图可知,同时转动两个转盘,共有6种等可能的结果,其中配成紫色(红+蓝)的结果有3种,配不成紫色的结果有3种,
∴ P(小颖去观看)=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$,P(小亮去观看)=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$,
∴ P(小颖去观看)=P(小亮去观看),
∴ 这个游戏公平.
【知识点】
游戏公平性判断、树状图求概率、概率计算
【点评】
这道题是概率在实际生活中的典型应用，解题关键是明确游戏公平的判断依据是双方获胜概率相等，使用树状图可以清晰、不重不漏地列举所有等可能结果，进而准确计算概率。
【难度系数】
0.8
6 [2024 齐齐哈尔]在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种球类运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同一种球类运动项目的概率是（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
C
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
答案
6. C
解析
【分析】
这是一道典型的两步等可能事件概率计算题，解题思路如下：第一步先确定所有等可能的总结果数，甲、乙两人各自独立从4种球类项目中选1种，分别计算两人的选择数后相乘即可得到总结果数；第二步确定“甲、乙参加同一种球类项目”的符合条件的结果数，即两人同时选篮球、同时选足球、同时选排球、同时选羽毛球这4种情况；最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可得到答案。
【解析】
解：已知共有4种球类运动项目，甲、乙每人各有4种选择，且每种选择的可能性相等。
1. 计算总等可能结果数：甲有4种选择，乙也有4种选择，总结果数为 $4 × 4 = 16$ 种；
2. 计算符合条件的结果数：甲、乙选择同一种球类的情况有4种（同选篮球、同选足球、同选排球、同选羽毛球）；
3. 代入概率公式计算：
$P(\mathrm{甲乙参加同一种项目}) = \frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
概率公式，列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础应用题，核心考查两步等可能事件的概率计算，解题的关键是准确梳理总结果数和满足题意的结果数，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
这是一道典型的两步等可能事件概率计算题，解题思路如下：第一步先确定所有等可能的总结果数，甲、乙两人各自独立从4种球类项目中选1种，分别计算两人的选择数后相乘即可得到总结果数；第二步确定“甲、乙参加同一种球类项目”的符合条件的结果数，即两人同时选篮球、同时选足球、同时选排球、同时选羽毛球这4种情况；最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可得到答案。
【解析】
解：已知共有4种球类运动项目，甲、乙每人各有4种选择，且每种选择的可能性相等。
1. 计算总等可能结果数：甲有4种选择，乙也有4种选择，总结果数为 $4 × 4 = 16$ 种；
2. 计算符合条件的结果数：甲、乙选择同一种球类的情况有4种（同选篮球、同选足球、同选排球、同选羽毛球）；
3. 代入概率公式计算：
$P(\mathrm{甲乙参加同一种项目}) = \frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
概率公式，列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础应用题，核心考查两步等可能事件的概率计算，解题的关键是准确梳理总结果数和满足题意的结果数，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
