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1 如图,点 E 在△ABC 的外部,点 D 在边 BC 上,DE 交 AC 于点 F.若∠1=∠2,∠B=∠ADE,AB=AD,则下列结论正确的是 (
A.△ABC≌△AFE
B.△AFE≌△ADC
C.△AFE≌△DFC
D.△ABC≌△ADE
D
)A.△ABC≌△AFE
B.△AFE≌△ADC
C.△AFE≌△DFC
D.△ABC≌△ADE
答案
1. D
解析
【分析】
解题时先从已知的角相等条件入手：已知∠1=∠2，两角同时加上中间公共的∠DAC，即可推出两个三角形的一组对应角∠BAC=∠DAE相等；再结合题目给出的另一组角相等∠B=∠ADE，以及一组夹边相等AB=AD，对照全等三角形的判定定理，即可判断出对应的全等三角形，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。
在△ABC和△ADE中：
$\{\begin{array}{l}∠BAC=∠DAE\\AB=AD\\∠B=∠ADE\end{array} $
∴△ABC≌△ADE（ASA），故D选项正确。
其余选项中，均缺少足够的对应边、角相等的判定条件，无法证明全等。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的ASA判定；角的和差性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，解题的核心是通过角的和差推导得到全等需要的对应夹角相等，再结合已知条件用判定定理验证即可，要求学生熟练掌握全等三角形的各类判定定理。
【难度系数】
0.85
解题时先从已知的角相等条件入手：已知∠1=∠2，两角同时加上中间公共的∠DAC，即可推出两个三角形的一组对应角∠BAC=∠DAE相等；再结合题目给出的另一组角相等∠B=∠ADE，以及一组夹边相等AB=AD，对照全等三角形的判定定理，即可判断出对应的全等三角形，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。
在△ABC和△ADE中：
$\{\begin{array}{l}∠BAC=∠DAE\\AB=AD\\∠B=∠ADE\end{array} $
∴△ABC≌△ADE（ASA），故D选项正确。
其余选项中，均缺少足够的对应边、角相等的判定条件，无法证明全等。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的ASA判定；角的和差性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，解题的核心是通过角的和差推导得到全等需要的对应夹角相等，再结合已知条件用判定定理验证即可，要求学生熟练掌握全等三角形的各类判定定理。
【难度系数】
0.85
2 如图,线段AD,BC相交于点O.若OC=OD,为了直接使用“ASA”判定$△ AOC ≌ △ BOD$,则应补充的条件是 (
A.$OA=OB$
B.$∠ A=∠ B$
C.$∠ C=∠ D$
D.$AC=BD$
C
)A.$OA=OB$
B.$∠ A=∠ B$
C.$∠ C=∠ D$
D.$AC=BD$
答案
2. C
解析
【分析】
要使用“ASA”判定△AOC≌△BOD，首先明确ASA的判定要求：两个三角形的两个角及其夹边对应相等，则两三角形全等。首先梳理已有的相等条件：①线段AD、BC交于点O，∠AOC和∠BOD是对顶角，可得∠AOC=∠BOD；②已知OC=OD。此时已有一组角相等、一组边相等，且OC、OD分别是两个三角形中已知等角的一条邻边，要满足ASA的“夹边”要求，还需要补充这两条边的另一组邻角对应相等，再对应选项判断即可。
【解析】
在△AOC和△BOD中：
1. 由对顶角的性质可得：$∠ AOC=∠ BOD$
2. 已知$OC=OD$
若要使用ASA判定全等，需满足两个角及夹边对应相等，即夹边OC、OD的另一组邻角相等，也就是$∠ C=∠ D$，此时条件为：
$\begin{cases}∠ AOC=∠ BOD \\OC=OD \\∠ C=∠ D\end{cases}$，完全符合ASA的判定要求。
对各选项逐一分析：
A选项$OA=OB$，结合已知$∠ AOC=∠ BOD$、$OC=OD$，满足SAS判定，不符合ASA要求；
B选项$∠ A=∠ B$，结合已知$∠ AOC=∠ BOD$、$OC=OD$，满足AAS判定，不符合ASA要求；
C选项$∠ C=∠ D$，符合上述ASA的条件要求；
D选项$AC=BD$，结合已知条件为SSA，不能判定三角形全等。
【答案】
C
【知识点】
ASA判定三角形全等；对顶角的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定定理中ASA的应用，解题的核心是明确ASA要求的是“两角及其夹边对应相等”，需注意区分不同全等判定定理的条件，避免将ASA与AAS、SAS混淆。
【难度系数】
0.8
要使用“ASA”判定△AOC≌△BOD，首先明确ASA的判定要求：两个三角形的两个角及其夹边对应相等，则两三角形全等。首先梳理已有的相等条件：①线段AD、BC交于点O，∠AOC和∠BOD是对顶角，可得∠AOC=∠BOD；②已知OC=OD。此时已有一组角相等、一组边相等，且OC、OD分别是两个三角形中已知等角的一条邻边，要满足ASA的“夹边”要求，还需要补充这两条边的另一组邻角对应相等，再对应选项判断即可。
【解析】
在△AOC和△BOD中：
1. 由对顶角的性质可得：$∠ AOC=∠ BOD$
2. 已知$OC=OD$
若要使用ASA判定全等，需满足两个角及夹边对应相等，即夹边OC、OD的另一组邻角相等，也就是$∠ C=∠ D$，此时条件为：
$\begin{cases}∠ AOC=∠ BOD \\OC=OD \\∠ C=∠ D\end{cases}$，完全符合ASA的判定要求。
对各选项逐一分析：
A选项$OA=OB$，结合已知$∠ AOC=∠ BOD$、$OC=OD$，满足SAS判定，不符合ASA要求；
B选项$∠ A=∠ B$，结合已知$∠ AOC=∠ BOD$、$OC=OD$，满足AAS判定，不符合ASA要求；
C选项$∠ C=∠ D$，符合上述ASA的条件要求；
D选项$AC=BD$，结合已知条件为SSA，不能判定三角形全等。
【答案】
C
【知识点】
ASA判定三角形全等；对顶角的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定定理中ASA的应用，解题的核心是明确ASA要求的是“两角及其夹边对应相等”，需注意区分不同全等判定定理的条件，避免将ASA与AAS、SAS混淆。
【难度系数】
0.8
3 如图,点A,B,C,D在同一条直线上,AB=CD,AE//BF.给出下列条件:① AE=BF;② AC=BD;③ EC=FD;④ EC//FD.如果要得到△AEC≌△BFD,那么可以添加的一个条件是
①或④
(填序号).答案
3. ①或④
解析
【分析】
首先从题目已知条件入手推导可直接得到的结论：1. 由AB=CD，结合A、B、C、D共线，根据等式性质可得AC=BD；2. 由AE//BF，根据平行线的同位角相等可得∠A=∠FBD。此时要判定△AEC≌△BFD，已经具备一组边相等、一组角相等的条件，接下来结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS），逐一分析给出的4个条件是否能补足判定所需的条件即可，注意SSA不能判定三角形全等。
【解析】
已知AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD。
已知AE//BF，
∴∠A=∠FBD（两直线平行，同位角相等）。
对给出的条件逐一分析：
1. 若添加①AE=BF：
在△AEC和△BFD中，
$\{\begin{array}{l}AE=BF \\∠A=∠FBD \\AC=BD\end{array} $
∴△AEC≌△BFD（SAS），符合要求。
2. 若添加②AC=BD：
该结论可由AB=CD直接推导得到，添加后仍仅满足一边一角对应相等，无法判定全等，不符合要求。
3. 若添加③EC=FD：
此时条件为两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不属于全等三角形的判定定理，无法判定全等，不符合要求。
4. 若添加④EC//FD：
∵EC//FD，
∴∠ECA=∠D（两直线平行，同位角相等）。
在△AEC和△BFD中，
$\{\begin{array}{l}∠A=∠FBD \\AC=BD \\∠ECA=∠D\end{array} $
∴△AEC≌△BFD（ASA），符合要求。
综上，可添加的条件为①或④。
【答案】
①或④
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定
【点评】
本题是全等三角形判定的条件补充类题型，解题的关键是先梳理出已知条件可推导得到的边角相等关系，再结合全等判定定理验证补充条件是否成立，要特别注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免误选。
【难度系数】
0.7
首先从题目已知条件入手推导可直接得到的结论：1. 由AB=CD，结合A、B、C、D共线，根据等式性质可得AC=BD；2. 由AE//BF，根据平行线的同位角相等可得∠A=∠FBD。此时要判定△AEC≌△BFD，已经具备一组边相等、一组角相等的条件，接下来结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS），逐一分析给出的4个条件是否能补足判定所需的条件即可，注意SSA不能判定三角形全等。
【解析】
已知AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD。
已知AE//BF，
∴∠A=∠FBD（两直线平行，同位角相等）。
对给出的条件逐一分析：
1. 若添加①AE=BF：
在△AEC和△BFD中，
$\{\begin{array}{l}AE=BF \\∠A=∠FBD \\AC=BD\end{array} $
∴△AEC≌△BFD（SAS），符合要求。
2. 若添加②AC=BD：
该结论可由AB=CD直接推导得到，添加后仍仅满足一边一角对应相等，无法判定全等，不符合要求。
3. 若添加③EC=FD：
此时条件为两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不属于全等三角形的判定定理，无法判定全等，不符合要求。
4. 若添加④EC//FD：
∵EC//FD，
∴∠ECA=∠D（两直线平行，同位角相等）。
在△AEC和△BFD中，
$\{\begin{array}{l}∠A=∠FBD \\AC=BD \\∠ECA=∠D\end{array} $
∴△AEC≌△BFD（ASA），符合要求。
综上，可添加的条件为①或④。
【答案】
①或④
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定
【点评】
本题是全等三角形判定的条件补充类题型，解题的关键是先梳理出已知条件可推导得到的边角相等关系，再结合全等判定定理验证补充条件是否成立，要特别注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免误选。
【难度系数】
0.7
4 [2024 攀枝花]如图，AB//CD，AE//CF，BF＝DE. 求证：AB＝CD.
答案
4. $\because AB// CD,AE// CF,\therefore ∠ B=∠ D,∠ AEB=∠ CFD.$
$\because BF = DE,\therefore BE = DF.$ 在 $△ ABE$ 和 $△ CDF$ 中,
$\begin{cases}∠ B=∠ D,\\BE=DF,\\∠ AEB=∠ CFD,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ CDF(\mathrm{ASA}),\therefore AB=CD$
$\because BF = DE,\therefore BE = DF.$ 在 $△ ABE$ 和 $△ CDF$ 中,
$\begin{cases}∠ B=∠ D,\\BE=DF,\\∠ AEB=∠ CFD,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ CDF(\mathrm{ASA}),\therefore AB=CD$
解析
【分析】
要证明AB=CD，可通过证明AB、CD所在的△ABE和△CDF全等实现。首先根据平行线的性质，由AB//CD可得∠B=∠D，由AE//CF可得∠AEB=∠CFD；再结合已知BF=DE，利用线段和差关系推出BE=DF，即可通过“角边角”判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等得到结论。
【解析】
证明：
$\because AB// CD,AE// CF,$
$\therefore ∠ B=∠ D,∠ AEB=∠ CFD.$
$\because BF=DE,$
$\therefore BF+EF=DE+EF$，即$BE=DF$.
在$△ ABE$和$△ CDF$中，
$\begin{cases}∠ B=∠ D,\\BE=DF,\\∠ AEB=∠ CFD,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ CDF(\mathrm{ASA}),$
$\therefore AB=CD$.
【答案】
$AB=CD$
【知识点】
平行线的性质，ASA判定全等，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，核心考查利用全等证明线段相等的常规思路，解题关键是结合平行条件推导对应角相等，通过线段和差得到全等所需的对应边相等，侧重对基础定理的理解和应用。
【难度系数】
0.85
要证明AB=CD，可通过证明AB、CD所在的△ABE和△CDF全等实现。首先根据平行线的性质，由AB//CD可得∠B=∠D，由AE//CF可得∠AEB=∠CFD；再结合已知BF=DE，利用线段和差关系推出BE=DF，即可通过“角边角”判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等得到结论。
【解析】
证明：
$\because AB// CD,AE// CF,$
$\therefore ∠ B=∠ D,∠ AEB=∠ CFD.$
$\because BF=DE,$
$\therefore BF+EF=DE+EF$，即$BE=DF$.
在$△ ABE$和$△ CDF$中，
$\begin{cases}∠ B=∠ D,\\BE=DF,\\∠ AEB=∠ CFD,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ CDF(\mathrm{ASA}),$
$\therefore AB=CD$.
【答案】
$AB=CD$
【知识点】
平行线的性质，ASA判定全等，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，核心考查利用全等证明线段相等的常规思路，解题关键是结合平行条件推导对应角相等，通过线段和差得到全等所需的对应边相等，侧重对基础定理的理解和应用。
【难度系数】
0.85
5 [2025镇江]如图，$△ ABC ≌ △ DEF$，边$BC$与$EF$，$DF$分别交于点$O$，$M$，$AC$与$EF$交于点$N$，$OB=OE$.求证:$△ MOF ≌ △ NOC$.
答案
5. $\because △ ABC≌△ DEF,\therefore BC=EF,∠ C=∠ F.\because OB=OE,$
$\therefore BC-OB=EF-OE,\mathrm{即 }OC=OF.\mathrm{在}△ MOF\mathrm{ 和 }△ NOC\mathrm{ 中},$
$\begin{cases}∠ MOF=∠ NOC,\\OF=OC,\\∠ F=∠ C,\end{cases}$
$\therefore △ MOF≌△ NOC(\mathrm{ASA})$
$\therefore BC-OB=EF-OE,\mathrm{即 }OC=OF.\mathrm{在}△ MOF\mathrm{ 和 }△ NOC\mathrm{ 中},$
$\begin{cases}∠ MOF=∠ NOC,\\OF=OC,\\∠ F=∠ C,\end{cases}$
$\therefore △ MOF≌△ NOC(\mathrm{ASA})$
解析
【分析】
要证明$△ MOF ≌ △ NOC$，首先需梳理两个三角形的对应边、对应角关系：
1. 从已知$△ ABC ≌ △ DEF$入手，根据全等三角形的性质可得到对应角$∠ C=∠ F$、对应边$BC=EF$；
2. 结合已知$OB=OE$，通过等式性质可推出$OC=OF$；
3. 观察图形可知$∠ MOF$和$∠ NOC$是对顶角，二者相等；
此时两个三角形满足“角边角”的全等判定条件，即可完成证明。
【解析】
$\because △ ABC≌△ DEF$，
$\therefore BC=EF$，$∠ C=∠ F$。
$\because OB=OE$，
$\therefore BC-OB=EF-OE$，即$OC=OF$。
在$△ MOF$和$△ NOC$中：
$\begin{cases}∠ MOF=∠ NOC,\\OF=OC,\\∠ F=∠ C,\end{cases}$
$\therefore △ MOF≌△ NOC(\mathrm{ASA})$
【答案】
$△ MOF≌△ NOC$
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 全等三角形的ASA判定
3. 对顶角的性质
【点评】
本题属于基础的全等证明题，核心是结合已知全等三角形的性质推导得到待证全等三角形的边角等量关系，再结合图形隐含的对顶角相等的条件即可完成证明，需熟练掌握全等三角形的性质和判定定理的应用。
【难度系数】
0.8
要证明$△ MOF ≌ △ NOC$，首先需梳理两个三角形的对应边、对应角关系：
1. 从已知$△ ABC ≌ △ DEF$入手，根据全等三角形的性质可得到对应角$∠ C=∠ F$、对应边$BC=EF$；
2. 结合已知$OB=OE$，通过等式性质可推出$OC=OF$；
3. 观察图形可知$∠ MOF$和$∠ NOC$是对顶角，二者相等；
此时两个三角形满足“角边角”的全等判定条件，即可完成证明。
【解析】
$\because △ ABC≌△ DEF$，
$\therefore BC=EF$，$∠ C=∠ F$。
$\because OB=OE$，
$\therefore BC-OB=EF-OE$，即$OC=OF$。
在$△ MOF$和$△ NOC$中：
$\begin{cases}∠ MOF=∠ NOC,\\OF=OC,\\∠ F=∠ C,\end{cases}$
$\therefore △ MOF≌△ NOC(\mathrm{ASA})$
【答案】
$△ MOF≌△ NOC$
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 全等三角形的ASA判定
3. 对顶角的性质
【点评】
本题属于基础的全等证明题，核心是结合已知全等三角形的性质推导得到待证全等三角形的边角等量关系，再结合图形隐含的对顶角相等的条件即可完成证明，需熟练掌握全等三角形的性质和判定定理的应用。
【难度系数】
0.8
