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3.(2024·江阴模拟)某企业生产A,B两种型号的产品共500件,销往甲、乙两个地区.在两地销售可获得的利润情况如下表：
若该企业计划将生产的A型产品全在乙地区销售,B型产品全在甲地区销售,这样可获得利润7.1万元.
(1)A,B两种型号产品各生产了多少件?
(2)若销往甲地区x件A型产品,余下的所有产品销往乙地区,写出销售这500件产品可获得的利润y(元)与x之间的函数表达式,并求利润的最大值.
若该企业计划将生产的A型产品全在乙地区销售,B型产品全在甲地区销售,这样可获得利润7.1万元.
(1)A,B两种型号产品各生产了多少件?
(2)若销往甲地区x件A型产品,余下的所有产品销往乙地区,写出销售这500件产品可获得的利润y(元)与x之间的函数表达式,并求利润的最大值.
答案
(1)设A型产品生产了$a$件,B型产品生产了$b$件.
根据题意,得$\begin{cases}a+b=500,\\160a+130b=71000,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=200,\\b=300.\end{cases}$
答:A型产品生产了200件,B型产品生产了300件.
(2)由题意,可得$y=180x+160(200-x)+300×120=20x+68000$,$\therefore y$随$x$的增大而增大.
$\because 0≤ x≤200$,$\therefore$当$x=200$时,$y$取得最大值72000.
答:销售这500件产品可获得的利润$y$(元)与$x$之间的函数表达式是$y=20x+68000$,利润的最大值为72000元.
根据题意,得$\begin{cases}a+b=500,\\160a+130b=71000,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=200,\\b=300.\end{cases}$
答:A型产品生产了200件,B型产品生产了300件.
(2)由题意,可得$y=180x+160(200-x)+300×120=20x+68000$,$\therefore y$随$x$的增大而增大.
$\because 0≤ x≤200$,$\therefore$当$x=200$时,$y$取得最大值72000.
答:销售这500件产品可获得的利润$y$(元)与$x$之间的函数表达式是$y=20x+68000$,利润的最大值为72000元.
解析
【分析】
(1) 第一问可通过列二元一次方程组求解，首先找到两个等量关系：①A型产品数量+B型产品数量=总产品数500件；②A型产品全部在乙地区销售的总利润+B型产品全部在甲地区销售的总利润=71000元，根据等量关系设未知数列方程组求解即可。
(2) 第二问求利润y与x的函数表达式，需拆分各部分利润：销往甲地区的x件A型产品利润为180x元；剩余的(200-x)件A型产品在乙地区销售，利润为160(200-x)元；300件B型产品全部在乙地区销售，利润为300×120元，三部分利润相加即可得到函数关系式；再结合x的取值范围，根据一次函数的增减性即可求出利润最大值。
【解析】
(1) 设A型产品生产了$a$件，B型产品生产了$b$件。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}a+b=500\\160a+130b=71000\end{cases}$
将$b=500-a$代入第二个方程得：
$160a+130(500-a)=71000$
$30a=6000$，解得$a=200$
则$b=500-200=300$
(2) 由题意可知x的取值范围为$0≤ x≤200$，总利润：
$\begin{aligned}y&=180x+160(200-x)+300×120\\&=20x+68000\end{aligned}$
$\because k=20＞0$，$\therefore y$随$x$的增大而增大
$\therefore$当$x=200$时，$y$取得最大值，最大值为$20×200+68000=72000$
【答案】
(1) A型产品生产了200件，B型产品生产了300件；
(2) 函数表达式为$y=20x+68000（0≤ x≤200）$，利润的最大值为72000元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一次函数的应用；一次函数的性质
【点评】
本题是典型的一次函数实际应用题，解题核心是准确梳理题干中的数量关系，找准等量关系列方程，再结合一次函数的增减性求最值，是该模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问可通过列二元一次方程组求解，首先找到两个等量关系：①A型产品数量+B型产品数量=总产品数500件；②A型产品全部在乙地区销售的总利润+B型产品全部在甲地区销售的总利润=71000元，根据等量关系设未知数列方程组求解即可。
(2) 第二问求利润y与x的函数表达式，需拆分各部分利润：销往甲地区的x件A型产品利润为180x元；剩余的(200-x)件A型产品在乙地区销售，利润为160(200-x)元；300件B型产品全部在乙地区销售，利润为300×120元，三部分利润相加即可得到函数关系式；再结合x的取值范围，根据一次函数的增减性即可求出利润最大值。
【解析】
(1) 设A型产品生产了$a$件，B型产品生产了$b$件。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}a+b=500\\160a+130b=71000\end{cases}$
将$b=500-a$代入第二个方程得：
$160a+130(500-a)=71000$
$30a=6000$，解得$a=200$
则$b=500-200=300$
(2) 由题意可知x的取值范围为$0≤ x≤200$，总利润：
$\begin{aligned}y&=180x+160(200-x)+300×120\\&=20x+68000\end{aligned}$
$\because k=20＞0$，$\therefore y$随$x$的增大而增大
$\therefore$当$x=200$时，$y$取得最大值，最大值为$20×200+68000=72000$
【答案】
(1) A型产品生产了200件，B型产品生产了300件；
(2) 函数表达式为$y=20x+68000（0≤ x≤200）$，利润的最大值为72000元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一次函数的应用；一次函数的性质
【点评】
本题是典型的一次函数实际应用题，解题核心是准确梳理题干中的数量关系，找准等量关系列方程，再结合一次函数的增减性求最值，是该模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
4.(崇川区一模)为丰富学生的业余生活,学校准备购进甲、乙两种畅销图书.经调查,甲种图书的总费用y(元)与购进本数x之间的函数关系如图所示,乙种图书每本20元.
(1)直接写出当0≤x≤100和x＞100时,y与x的函数表达式;
(2)现学校准备购买300本图书,且两种图书均不少于80本,请设计购买方案,使总费用最少,并求最少总费用.
(1)直接写出当0≤x≤100和x＞100时,y与x的函数表达式;
(2)现学校准备购买300本图书,且两种图书均不少于80本,请设计购买方案,使总费用最少,并求最少总费用.
答案
(1)当$0≤ x≤100$时,设$y=ax$,
把$(100,2500)$代入,得$a=25$,$\therefore y=25x$;
当$x＞100$时,设$y$与$x$的函数表达式为$y=kx+b$,
把$(100,2500)$和$(150,3450)$代入,得
$\begin{cases}100k+b=2500,\\150k+b=3450,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=19,\\b=600.\end{cases}$$\therefore y=19x+600$.
$\therefore y$与$x$的函数表达式为$y=\begin{cases}25x(0≤ x≤100),\\19x+600(x＞100).\end{cases}$
(2)设总费用为$w$元,根据题意,得$80≤ x≤220$.
当$80≤ x≤100$时,$w=25x+20(300-x)=5x+6000$,
$\because 5＞0$,$\therefore w$随$x$的增大而增大,
$\therefore$当$x=80$时,$w_{\mathrm{最小}}=5×80+6000=6400$;
当$100＜x≤220$时,$w=19x+600+20(300-x)=-x+6600$,
$\because -1＜0$,$\therefore w$随$x$的增大而减小,
$\therefore$当$x=220$时,$w_{\mathrm{最小}}=-220+6600=6380$.
$\because 6380＜6400$,$\therefore$当$x=220$时,
总费用最少,此时购进乙种图书80本.
答:购买甲种图书220本,乙种图书80本,才能使总费用最少,最少总费用是6380元.
把$(100,2500)$代入,得$a=25$,$\therefore y=25x$;
当$x＞100$时,设$y$与$x$的函数表达式为$y=kx+b$,
把$(100,2500)$和$(150,3450)$代入,得
$\begin{cases}100k+b=2500,\\150k+b=3450,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=19,\\b=600.\end{cases}$$\therefore y=19x+600$.
$\therefore y$与$x$的函数表达式为$y=\begin{cases}25x(0≤ x≤100),\\19x+600(x＞100).\end{cases}$
(2)设总费用为$w$元,根据题意,得$80≤ x≤220$.
当$80≤ x≤100$时,$w=25x+20(300-x)=5x+6000$,
$\because 5＞0$,$\therefore w$随$x$的增大而增大,
$\therefore$当$x=80$时,$w_{\mathrm{最小}}=5×80+6000=6400$;
当$100＜x≤220$时,$w=19x+600+20(300-x)=-x+6600$,
$\because -1＜0$,$\therefore w$随$x$的增大而减小,
$\therefore$当$x=220$时,$w_{\mathrm{最小}}=-220+6600=6380$.
$\because 6380＜6400$,$\therefore$当$x=220$时,
总费用最少,此时购进乙种图书80本.
答:购买甲种图书220本,乙种图书80本,才能使总费用最少,最少总费用是6380元.
解析
【分析】
(1) 求分段函数解析式时，0≤x≤100的部分图像过原点，属于正比例函数，设解析式为y=ax，代入已知点(100,2500)即可求出系数a；x＞100的部分为普通一次函数，设解析式为y=kx+b，代入图像上的两个已知点(100,2500)、(150,3450)，解二元一次方程组即可求出k、b的值。
(2) 设购进甲种图书x本，则乙种图书为(300-x)本，先根据“两种图书均不少于80本”确定x的取值范围，再分80≤x≤100和100＜x≤220两种情况，分别列出总费用w关于x的函数表达式，结合一次函数的增减性求出对应区间的最小费用，比较两个最小值即可得到最优方案和最少总费用。
【解析】
(1) 当$0≤ x≤100$时，设$y=ax$，
把$(100,2500)$代入，得$100a=2500$，解得$a=25$，$\therefore y=25x$；
当$x＞100$时，设$y$与$x$的函数表达式为$y=kx+b$，
把$(100,2500)$和$(150,3450)$代入，得
$\begin{cases}100k+b=2500\\150k+b=3450\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=19\\b=600\end{cases}$，$\therefore y=19x+600$。
综上，$y$与$x$的函数表达式为$y=\begin{cases}25x(0≤ x≤100)\\19x+600(x＞100)\end{cases}$。
(2) 设总费用为$w$元，购进甲种图书$x$本，则购进乙种图书$(300-x)$本，根据题意得$\begin{cases}x≥80\\300-x≥80\end{cases}$，解得$80≤ x≤220$。
当$80≤ x≤100$时，$w=25x+20(300-x)=5x+6000$，
$\because 5＞0$，$\therefore w$随$x$的增大而增大，
$\therefore$当$x=80$时，$w_{\mathrm{最小}}=5×80+6000=6400$；
当$100＜x≤220$时，$w=19x+600+20(300-x)=-x+6600$，
$\because -1＜0$，$\therefore w$随$x$的增大而减小，
$\therefore$当$x=220$时，$w_{\mathrm{最小}}=-220+6600=6380$。
$\because 6380＜6400$，$\therefore$当$x=220$时总费用最少，此时乙种图书数量为$300-220=80$本。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}25x&(0≤ x≤100)\\19x+600&(x＞100)\end{cases}$
(2) 购买甲种图书220本，乙种图书80本时总费用最少，最少总费用为6380元。
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数的增减性
3. 一次函数方案选择
【点评】
本题以实际采购场景为载体，考查分段一次函数的应用，解题时需要先准确求出分段函数的解析式，再结合自变量的取值范围分类讨论，利用一次函数的增减性求最值，是一次函数实际应用类的典型题型，对学生的分类讨论意识和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1) 求分段函数解析式时，0≤x≤100的部分图像过原点，属于正比例函数，设解析式为y=ax，代入已知点(100,2500)即可求出系数a；x＞100的部分为普通一次函数，设解析式为y=kx+b，代入图像上的两个已知点(100,2500)、(150,3450)，解二元一次方程组即可求出k、b的值。
(2) 设购进甲种图书x本，则乙种图书为(300-x)本，先根据“两种图书均不少于80本”确定x的取值范围，再分80≤x≤100和100＜x≤220两种情况，分别列出总费用w关于x的函数表达式，结合一次函数的增减性求出对应区间的最小费用，比较两个最小值即可得到最优方案和最少总费用。
【解析】
(1) 当$0≤ x≤100$时，设$y=ax$，
把$(100,2500)$代入，得$100a=2500$，解得$a=25$，$\therefore y=25x$；
当$x＞100$时，设$y$与$x$的函数表达式为$y=kx+b$，
把$(100,2500)$和$(150,3450)$代入，得
$\begin{cases}100k+b=2500\\150k+b=3450\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=19\\b=600\end{cases}$，$\therefore y=19x+600$。
综上，$y$与$x$的函数表达式为$y=\begin{cases}25x(0≤ x≤100)\\19x+600(x＞100)\end{cases}$。
(2) 设总费用为$w$元，购进甲种图书$x$本，则购进乙种图书$(300-x)$本，根据题意得$\begin{cases}x≥80\\300-x≥80\end{cases}$，解得$80≤ x≤220$。
当$80≤ x≤100$时，$w=25x+20(300-x)=5x+6000$，
$\because 5＞0$，$\therefore w$随$x$的增大而增大，
$\therefore$当$x=80$时，$w_{\mathrm{最小}}=5×80+6000=6400$；
当$100＜x≤220$时，$w=19x+600+20(300-x)=-x+6600$，
$\because -1＜0$，$\therefore w$随$x$的增大而减小，
$\therefore$当$x=220$时，$w_{\mathrm{最小}}=-220+6600=6380$。
$\because 6380＜6400$，$\therefore$当$x=220$时总费用最少，此时乙种图书数量为$300-220=80$本。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}25x&(0≤ x≤100)\\19x+600&(x＞100)\end{cases}$
(2) 购买甲种图书220本，乙种图书80本时总费用最少，最少总费用为6380元。
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数的增减性
3. 一次函数方案选择
【点评】
本题以实际采购场景为载体，考查分段一次函数的应用，解题时需要先准确求出分段函数的解析式，再结合自变量的取值范围分类讨论，利用一次函数的增减性求最值，是一次函数实际应用类的典型题型，对学生的分类讨论意识和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
