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21.已知当$m,n$都是实数,且满足$2m=8+n$时,称$P(m-1,\dfrac{n+2}{2})$是“开心点”.例如:
点$A(5,3)$是“开心点”.
因为$m-1=5,\dfrac{n+2}{2}=3$,
解得$m=6,n=4$,
所以$2m=2×6=12,8+n=8+4=12$,
所以$2m=8+n$,
所以$A(5,3)$是“开心点”.
(1)点$B(9,6)$是否是“开心点”?请说明理由.
(2)若点$M(a,2a-3)$是“开心点”,则点$M$在第几象限?请说明理由.
点$A(5,3)$是“开心点”.
因为$m-1=5,\dfrac{n+2}{2}=3$,
解得$m=6,n=4$,
所以$2m=2×6=12,8+n=8+4=12$,
所以$2m=8+n$,
所以$A(5,3)$是“开心点”.
(1)点$B(9,6)$是否是“开心点”?请说明理由.
(2)若点$M(a,2a-3)$是“开心点”,则点$M$在第几象限?请说明理由.
答案
21.【解】(1)点$B(9,6)$不是“开心点”.理由如下:
因为$m-1=9$,$\dfrac{n+2}{2}=6$,
解得$m=10$,$n=10$,
所以$2m=20$,$8+n=18$,
所以$2m≠8+n$,
所以点$B(9,6)$不是“开心点”.
(2)点$M$在第四象限.理由如下:
因为点$M(a,2a-3)$是“开心点”,
所以$m-1=a$,$\dfrac{n+2}{2}=2a-3$,
解得$m=a+1$,$n=4a-8$.
因为$2m=8+n$,
所以$2(a+1)=8+4a-8$,
解得$a=1$,
所以$2a-3=-1$,
此时点$M$的坐标为$(1,-1)$,
所以点$M$在第四象限.
因为$m-1=9$,$\dfrac{n+2}{2}=6$,
解得$m=10$,$n=10$,
所以$2m=20$,$8+n=18$,
所以$2m≠8+n$,
所以点$B(9,6)$不是“开心点”.
(2)点$M$在第四象限.理由如下:
因为点$M(a,2a-3)$是“开心点”,
所以$m-1=a$,$\dfrac{n+2}{2}=2a-3$,
解得$m=a+1$,$n=4a-8$.
因为$2m=8+n$,
所以$2(a+1)=8+4a-8$,
解得$a=1$,
所以$2a-3=-1$,
此时点$M$的坐标为$(1,-1)$,
所以点$M$在第四象限.
露营物资采购大挑战
暑假期间，班级计划组织一次户外露营活动.作为后勤小管家，你需要在有限预算内采购帐篷和睡袋.户外用品店给出两种方案：若单独购买，双人帐篷每套200元，单人睡袋每个80元；若团购，5套帐篷与10个睡袋的组合套餐价为1 500元.如何搭配既能满足30人住宿需求，又能将5 000元预算花在刀刃上？用二元一次方程组解决露营物资采购难题，在实践中解锁数学的实用魅力！
1.设购买帐篷x套，睡袋y个，根据人数需求列出方程.
2.根据预算和套餐价格列出另一方程，组成方程组并求解.
3.若增加防潮垫（每个30元），且总预算不变的情况下，如何调整采购方案？
暑假期间，班级计划组织一次户外露营活动.作为后勤小管家，你需要在有限预算内采购帐篷和睡袋.户外用品店给出两种方案：若单独购买，双人帐篷每套200元，单人睡袋每个80元；若团购，5套帐篷与10个睡袋的组合套餐价为1 500元.如何搭配既能满足30人住宿需求，又能将5 000元预算花在刀刃上？用二元一次方程组解决露营物资采购难题，在实践中解锁数学的实用魅力！
1.设购买帐篷x套，睡袋y个，根据人数需求列出方程.
2.根据预算和套餐价格列出另一方程，组成方程组并求解.
3.若增加防潮垫（每个30元），且总预算不变的情况下，如何调整采购方案？
答案
解：
1. 已知双人帐篷每套可容纳2人，总住宿人数为30人，因此根据人数需求列出的方程为：
$2x = 30$
注：睡袋为单人使用，满足30人住宿的前提下睡袋总数$y$需满足$y\ge30$，若要求每人配备1个睡袋，也可列得$y=30$。
2. 首先计算团购套餐的单品等效单价：5套帐篷与10个睡袋的组合套餐价为1500元，等效单套帐篷价格为$1500÷5=300$元、等效单个睡袋价格为$1500÷10=150$元，对比单独购买的价格（帐篷200元/套，睡袋80元/个），单独采购的成本更低，因此选择全部单独采购的方式适配5000元总预算，结合人数条件组成方程组：
$\begin{cases}2x = 30 \\200x + 80y = 5000\end{cases}$
求解过程：
由第一个方程解得$x=15$，将$x=15$代入第二个方程，得$200×15 +80y=5000$，计算得$3000+80y=5000$，解得$y=25$，该解不满足30人每人1个睡袋的需求，因此调整逻辑：在满足30人住宿的基础上把5000元预算尽可能用完，优先保障每人1套住宿装备，即$y\ge30$、$x\ge15$，最终符合要求的方案为：采购15套双人帐篷、30个单人睡袋，总花费为$15×200+30×80=5400$元，超出5000元预算，因此选择团购方案压缩成本：采购3份5套帐篷+10个睡袋的组合套餐，恰好获得15套帐篷、30个睡袋，总花费为$3×1500=4500$元，剩余500元预算可灵活支配。
3. 总预算仍为5000元，需要额外为每人配备1个30元的防潮垫，30个防潮垫的总花费为$30×30=900$元，剩余可用于帐篷和睡袋的预算为$5000-900=4100$元。调整采购方案：采购2份5套帐篷+10个睡袋的组合套餐，花费$2×1500=3000$元，获得10套帐篷、20个睡袋；剩余需要的帐篷数量为$15-10=5$套，剩余需要的睡袋数量为$30-20=10$个，单独采购这部分物资的花费为$5×200+10×80=1800$元，该总花费超出剩余预算，因此调整为：采购2份团购套餐，再单独采购5套双人帐篷，可容纳$2×10 +5×2=30$人，搭配30个单独购买的睡袋，总花费为$2×1500 +5×200 +30×80 +30×30=3000+1000+2400+900=7300$元不符合要求，最终适配方案：选择采购2份5套帐篷+10个睡袋的团购套餐，花费3000元，获得10套帐篷、20个睡袋，再单独采购5套双人帐篷、10个睡袋的采购替换为：用剩余2000元预算，采购5套双人帐篷花费1000元，采购30个防潮垫花费900元，剩余100元预留，将20个睡袋重复分配给30人（露营场景下可错峰使用睡袋），既满足30人的住宿容量，也在总预算内配齐了所有人员的防潮垫；更合理的全配齐方案为：采购3份团购套餐花费4500元，剩余500元可采购16个防潮垫，优先分配给有需求的同学，剩余防潮垫从结余经费补充，最终实现30人全部有住宿位置，尽可能配齐防潮垫，总花费控制在5000元以内。
1. 已知双人帐篷每套可容纳2人，总住宿人数为30人，因此根据人数需求列出的方程为：
$2x = 30$
注：睡袋为单人使用，满足30人住宿的前提下睡袋总数$y$需满足$y\ge30$，若要求每人配备1个睡袋，也可列得$y=30$。
2. 首先计算团购套餐的单品等效单价：5套帐篷与10个睡袋的组合套餐价为1500元，等效单套帐篷价格为$1500÷5=300$元、等效单个睡袋价格为$1500÷10=150$元，对比单独购买的价格（帐篷200元/套，睡袋80元/个），单独采购的成本更低，因此选择全部单独采购的方式适配5000元总预算，结合人数条件组成方程组：
$\begin{cases}2x = 30 \\200x + 80y = 5000\end{cases}$
求解过程：
由第一个方程解得$x=15$，将$x=15$代入第二个方程，得$200×15 +80y=5000$，计算得$3000+80y=5000$，解得$y=25$，该解不满足30人每人1个睡袋的需求，因此调整逻辑：在满足30人住宿的基础上把5000元预算尽可能用完，优先保障每人1套住宿装备，即$y\ge30$、$x\ge15$，最终符合要求的方案为：采购15套双人帐篷、30个单人睡袋，总花费为$15×200+30×80=5400$元，超出5000元预算，因此选择团购方案压缩成本：采购3份5套帐篷+10个睡袋的组合套餐，恰好获得15套帐篷、30个睡袋，总花费为$3×1500=4500$元，剩余500元预算可灵活支配。
3. 总预算仍为5000元，需要额外为每人配备1个30元的防潮垫，30个防潮垫的总花费为$30×30=900$元，剩余可用于帐篷和睡袋的预算为$5000-900=4100$元。调整采购方案：采购2份5套帐篷+10个睡袋的组合套餐，花费$2×1500=3000$元，获得10套帐篷、20个睡袋；剩余需要的帐篷数量为$15-10=5$套，剩余需要的睡袋数量为$30-20=10$个，单独采购这部分物资的花费为$5×200+10×80=1800$元，该总花费超出剩余预算，因此调整为：采购2份团购套餐，再单独采购5套双人帐篷，可容纳$2×10 +5×2=30$人，搭配30个单独购买的睡袋，总花费为$2×1500 +5×200 +30×80 +30×30=3000+1000+2400+900=7300$元不符合要求，最终适配方案：选择采购2份5套帐篷+10个睡袋的团购套餐，花费3000元，获得10套帐篷、20个睡袋，再单独采购5套双人帐篷、10个睡袋的采购替换为：用剩余2000元预算，采购5套双人帐篷花费1000元，采购30个防潮垫花费900元，剩余100元预留，将20个睡袋重复分配给30人（露营场景下可错峰使用睡袋），既满足30人的住宿容量，也在总预算内配齐了所有人员的防潮垫；更合理的全配齐方案为：采购3份团购套餐花费4500元，剩余500元可采购16个防潮垫，优先分配给有需求的同学，剩余防潮垫从结余经费补充，最终实现30人全部有住宿位置，尽可能配齐防潮垫，总花费控制在5000元以内。
