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某商店将进货价为每个 40 元的商品按每个 50 元出售时，能卖出 500 个，若出售该商品时，单价每涨 1 元，则其销售量减少 10 个.该商品的出售价定为每个多少元时，该商店正好赚 8 000 元？（只考虑进货成本，不考虑其他成本）
答案
60元或80元
1. 某商场礼品柜台购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可销售 500 张，每张盈利 0.3 元. 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出 300 张，商场要想平均每天盈利 160 元，每张贺年卡应降价多少元？
答案
0.1元
解析
【分析】
本题属于销售利润类实际问题，核心等量关系为：总盈利=单件商品利润×销售总量。解题时先设每张贺年卡降价x元，分别表示出降价后的单件利润和总销售量，再根据总盈利160元列一元二次方程求解，最后结合“尽快减少库存”的要求对根进行取舍，选择降价幅度更大的解即可。
【解析】
设每张贺年卡应降价x元。
降价后每张贺年卡的盈利为$(0.3-x)$元；
已知售价每降低0.1元，日均多售出300张，因此降价x元后日均多售出$\frac{x}{0.1}×300=3000x$张，此时日均总销售量为$(500+3000x)$张。
根据总盈利为160元列方程：
$(0.3-x)(500+3000x)=160$
展开并整理方程：
$150+400x-3000x^2=160$
$300x^2-40x+1=0$
因式分解得：
$(10x-1)(30x-1)=0$
解得$x_1=0.1$，$x_2=\frac{1}{30}\approx0.03$。
由于要尽快减少库存，降价幅度越大，日均销售量越高，库存消耗越快，因此舍去$x_2=\frac{1}{30}$，取$x=0.1$。
【答案】
0.1元
【知识点】
一元二次方程的应用、销售利润问题
【点评】
本题是典型的一元二次方程实际应用题型，解题的关键是准确找到利润、销量和总盈利之间的等量关系列方程，同时需要注意结合题目给出的限制条件对解进行合理取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.65
本题属于销售利润类实际问题，核心等量关系为：总盈利=单件商品利润×销售总量。解题时先设每张贺年卡降价x元，分别表示出降价后的单件利润和总销售量，再根据总盈利160元列一元二次方程求解，最后结合“尽快减少库存”的要求对根进行取舍，选择降价幅度更大的解即可。
【解析】
设每张贺年卡应降价x元。
降价后每张贺年卡的盈利为$(0.3-x)$元；
已知售价每降低0.1元，日均多售出300张，因此降价x元后日均多售出$\frac{x}{0.1}×300=3000x$张，此时日均总销售量为$(500+3000x)$张。
根据总盈利为160元列方程：
$(0.3-x)(500+3000x)=160$
展开并整理方程：
$150+400x-3000x^2=160$
$300x^2-40x+1=0$
因式分解得：
$(10x-1)(30x-1)=0$
解得$x_1=0.1$，$x_2=\frac{1}{30}\approx0.03$。
由于要尽快减少库存，降价幅度越大，日均销售量越高，库存消耗越快，因此舍去$x_2=\frac{1}{30}$，取$x=0.1$。
【答案】
0.1元
【知识点】
一元二次方程的应用、销售利润问题
【点评】
本题是典型的一元二次方程实际应用题型，解题的关键是准确找到利润、销量和总盈利之间的等量关系列方程，同时需要注意结合题目给出的限制条件对解进行合理取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.65
2. 有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售，甲公司用如下方法促销：买一台价格为780元，买两台每台价格都为760元。以此类推，即每多买一台，所买各台单价均再减20元，但最低不能低于每台440元；乙公司一律按原售价的75%促销。某单位需要购买一批图形计算器。
（1）若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少？
（2）若此单位恰好花费7500元在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，则此单位是在哪家公司购买的？数量是多少？
（1）若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少？
（2）若此单位恰好花费7500元在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，则此单位是在哪家公司购买的？数量是多少？
答案
（1）去乙公司 （2）甲公司 15台
解析
【分析】
对于（1），只需分别计算在甲、乙两公司购买6台图形计算器的总花费，比较大小即可得出结论。计算甲公司花费时，先按促销规则算出6台对应的单价，再乘数量得总价；计算乙公司花费时，先算出乙的促销单价，再乘数量得总价。
对于（2），分别假设在甲、乙公司购买，结合总价列方程求解，再结合实际限制条件（购买数量为正整数、甲公司最低单价440元）判断解是否合理，筛选出符合要求的结果即可。
【解析】
（1）计算购买6台时两家公司的花费：
①甲公司：每台单价为 $ 800 - 20×6 = 680 $ 元，总花费为 $ 680×6 = 4080 $ 元。
②乙公司：每台单价为 $ 800×75\% = 600 $ 元，总花费为 $ 600×6 = 3600 $ 元。
因为 $ 4080 ＞ 3600 $，所以去乙公司购买花费更少。
（2）分两种情况讨论：
情况1：在乙公司购买
设购买数量为$ x $台，可列方程：$ 600x = 7500 $
解得 $ x = 12.5 $，购买数量不能为小数，不符合实际，舍去。
情况2：在甲公司购买
先求甲公司单价不低于440元的最大购买数量：
令 $ 800 - 20x ≥ 440 $，解得 $ x ≤ 18 $。
即购买数量≤18时，单价为$ (800-20x) $元；购买数量＞18时，单价固定为440元。
①若 $ x ≤ 18 $，列方程：$ x(800 - 20x) = 7500 $
整理得 $ x^2 - 40x + 375 = 0 $
因式分解得 $ (x-15)(x-25) = 0 $
解得 $ x_1 = 15 $，$ x_2 = 25 $，其中25＞18，不符合范围，舍去。
②若 $ x ＞ 18 $，单价为440元，列方程 $ 440x = 7500 $，解得 $ x \approx 17.05 $，和$ x＞18 $矛盾，舍去。
综上，该单位是在甲公司购买的，数量为15台。
【答案】
（1）去乙公司
（2）甲公司，15台
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 方案决策问题
3. 不等式应用
【点评】
本题结合生活促销场景出题，考查分类讨论思想，解题时要注意题干的限制条件，比如最低单价、购买数量为正整数等，避免产生增根。
【难度系数】
0.65
对于（1），只需分别计算在甲、乙两公司购买6台图形计算器的总花费，比较大小即可得出结论。计算甲公司花费时，先按促销规则算出6台对应的单价，再乘数量得总价；计算乙公司花费时，先算出乙的促销单价，再乘数量得总价。
对于（2），分别假设在甲、乙公司购买，结合总价列方程求解，再结合实际限制条件（购买数量为正整数、甲公司最低单价440元）判断解是否合理，筛选出符合要求的结果即可。
【解析】
（1）计算购买6台时两家公司的花费：
①甲公司：每台单价为 $ 800 - 20×6 = 680 $ 元，总花费为 $ 680×6 = 4080 $ 元。
②乙公司：每台单价为 $ 800×75\% = 600 $ 元，总花费为 $ 600×6 = 3600 $ 元。
因为 $ 4080 ＞ 3600 $，所以去乙公司购买花费更少。
（2）分两种情况讨论：
情况1：在乙公司购买
设购买数量为$ x $台，可列方程：$ 600x = 7500 $
解得 $ x = 12.5 $，购买数量不能为小数，不符合实际，舍去。
情况2：在甲公司购买
先求甲公司单价不低于440元的最大购买数量：
令 $ 800 - 20x ≥ 440 $，解得 $ x ≤ 18 $。
即购买数量≤18时，单价为$ (800-20x) $元；购买数量＞18时，单价固定为440元。
①若 $ x ≤ 18 $，列方程：$ x(800 - 20x) = 7500 $
整理得 $ x^2 - 40x + 375 = 0 $
因式分解得 $ (x-15)(x-25) = 0 $
解得 $ x_1 = 15 $，$ x_2 = 25 $，其中25＞18，不符合范围，舍去。
②若 $ x ＞ 18 $，单价为440元，列方程 $ 440x = 7500 $，解得 $ x \approx 17.05 $，和$ x＞18 $矛盾，舍去。
综上，该单位是在甲公司购买的，数量为15台。
【答案】
（1）去乙公司
（2）甲公司，15台
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 方案决策问题
3. 不等式应用
【点评】
本题结合生活促销场景出题，考查分类讨论思想，解题时要注意题干的限制条件，比如最低单价、购买数量为正整数等，避免产生增根。
【难度系数】
0.65
