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④ 多项式加密有其优点，但有时明文转编码后得到的多项式很难或无法分解.可调整首尾两项的系数后形成密文，再将调整后的数据以约定的方式放在密钥中.
比如：明文“HELP”转换为数字序列H=8，E=5，L=12，P=16，对应的多项式为$8x^3 +5x^2 +12x +16$，将其调整为$x^3 +5x^2 +12x +9$后，可得到密文.
（1）请你写出这种加密方法下，明文“HELP”对应的密文，以及可能产生的密钥的数字.
（2）将“PING、XING”转换为数字序列，构造三次多项式，生成密文，并说明明文、约定密钥，对应的密文的过程.
比如：明文“HELP”转换为数字序列H=8，E=5，L=12，P=16，对应的多项式为$8x^3 +5x^2 +12x +16$，将其调整为$x^3 +5x^2 +12x +9$后，可得到密文.
（1）请你写出这种加密方法下，明文“HELP”对应的密文，以及可能产生的密钥的数字.
（2）将“PING、XING”转换为数字序列，构造三次多项式，生成密文，并说明明文、约定密钥，对应的密文的过程.
答案
4.(1)密文为1，5，12，9，可能产生的密钥的数字为7。
(2)明文PING、XING对应数字序列16，9，14，7，24，9，14，7，转化为三次多项式为：$16x^3+9x^2+14x+7$，$24x^3+9x^2+14x+7$。如果约定密钥为5，即可得密文11，9，14，2，19，9，14，2。
(2)明文PING、XING对应数字序列16，9，14，7，24，9，14，7，转化为三次多项式为：$16x^3+9x^2+14x+7$，$24x^3+9x^2+14x+7$。如果约定密钥为5，即可得密文11，9，14，2，19，9，14，2。
解析
【分析】
解题前首先明确题目给出的加密规则：①4个字符的明文按顺序对应三次多项式的4个系数，依次为$x^3$系数、$x^2$系数、$x$系数、常数项；②加密时仅调整$x^3$系数和常数项，$x^2$、$x$的系数保持不变，调整时$x^3$系数和常数项减去同一个数值，该数值就是密钥，调整后得到的新多项式的4个系数按顺序组成密文。
第（1）题可直接对照例子中调整后的多项式提取密文，用原系数减调整后系数得到密钥；第（2）题先按A=1、B=2……Z=26的规则将字母转为对应数字，得到多项式系数后，约定密钥调整首尾系数即可得到密文。
【解析】
（1）已知明文HELP调整后的多项式为$x^3 +5x^2 +12x +9$，按高次到低次提取系数得密文为1，5，12，9；原多项式首项系数为8、常数项为16，调整后首项系数为1、常数项为9，调整的差值为$8-1=16-9=7$，即密钥为7。
（2）首先按字母顺序转数字：P为第16个字母对应16，I为第9个对应9，N为第14个对应14，G为第7个对应7，X为第24个对应24，因此PING的数字序列为16，9，14，7，对应三次多项式$16x^3+9x^2+14x+7$；XING的数字序列为24，9，14，7，对应三次多项式$24x^3+9x^2+14x+7$。约定密钥为5，将两个多项式的首项、常数项均减5，中间项不变，得到PING调整后系数为11，9，14，2，XING调整后系数为19，9，14，2，组合后得到密文。
【答案】
(1)密文为1，5，12，9，可能产生的密钥的数字为7。
(2)明文PING、XING对应数字序列16，9，14，7，24，9，14，7，转化为三次多项式为：$16x^3+9x^2+14x+7$，$24x^3+9x^2+14x+7$。如果约定密钥为5，即可得密文11，9，14，2，19，9，14，2。
【知识点】
多项式的系数，字母编码，规则应用
【点评】
本题是多项式知识的生活化应用，解题核心是准确提取题目给出的加密规则，按规则逐步转换计算即可，主要考查信息提取和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
解题前首先明确题目给出的加密规则：①4个字符的明文按顺序对应三次多项式的4个系数，依次为$x^3$系数、$x^2$系数、$x$系数、常数项；②加密时仅调整$x^3$系数和常数项，$x^2$、$x$的系数保持不变，调整时$x^3$系数和常数项减去同一个数值，该数值就是密钥，调整后得到的新多项式的4个系数按顺序组成密文。
第（1）题可直接对照例子中调整后的多项式提取密文，用原系数减调整后系数得到密钥；第（2）题先按A=1、B=2……Z=26的规则将字母转为对应数字，得到多项式系数后，约定密钥调整首尾系数即可得到密文。
【解析】
（1）已知明文HELP调整后的多项式为$x^3 +5x^2 +12x +9$，按高次到低次提取系数得密文为1，5，12，9；原多项式首项系数为8、常数项为16，调整后首项系数为1、常数项为9，调整的差值为$8-1=16-9=7$，即密钥为7。
（2）首先按字母顺序转数字：P为第16个字母对应16，I为第9个对应9，N为第14个对应14，G为第7个对应7，X为第24个对应24，因此PING的数字序列为16，9，14，7，对应三次多项式$16x^3+9x^2+14x+7$；XING的数字序列为24，9，14，7，对应三次多项式$24x^3+9x^2+14x+7$。约定密钥为5，将两个多项式的首项、常数项均减5，中间项不变，得到PING调整后系数为11，9，14，2，XING调整后系数为19，9，14，2，组合后得到密文。
【答案】
(1)密文为1，5，12，9，可能产生的密钥的数字为7。
(2)明文PING、XING对应数字序列16，9，14，7，24，9，14，7，转化为三次多项式为：$16x^3+9x^2+14x+7$，$24x^3+9x^2+14x+7$。如果约定密钥为5，即可得密文11，9，14，2，19，9，14，2。
【知识点】
多项式的系数，字母编码，规则应用
【点评】
本题是多项式知识的生活化应用，解题核心是准确提取题目给出的加密规则，按规则逐步转换计算即可，主要考查信息提取和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
⑤ 你和朋友约定了密钥为2，2，根据加密方程回答问题：
（1）根据密钥加密“哪里（NALI）”，确定对应的密文，并说明其加密的过程.
（2）你收到了密文“22，20，4”，请破译密文，并展示过程.
（1）根据密钥加密“哪里（NALI）”，确定对应的密文，并说明其加密的过程.
（2）你收到了密文“22，20，4”，请破译密文，并展示过程.
答案
5.(1)N=14，A=1，L=12，I=9，代入密钥方程$y=2x+2$，可得密文30，4，26，20。
(2)将22，20，4代入密钥方程，可得10，9，1，即字母J、I、A。
(2)将22，20，4代入密钥方程，可得10，9，1，即字母J、I、A。
解析
【分析】
解题前先明确两个核心规则：①26个英文字母按A到Z的顺序依次对应数字1~26；②加密规则为一次函数关系$y=2x+2$，其中$x$是明文字母对应的数字，$y$是密文对应的数字。解第(1)问加密题时，先将明文字母转换为对应数字$x$，代入方程顺推计算出$y$即可得到密文；解第(2)问解密题时，已知密文$y$，先将方程变形逆推出$x=\frac{y-2}{2}$，计算出$x$后对应回英文字母即可得到明文。
【解析】
(1) 加密过程：
先确定“NALI”各字母对应的明文数值：N是第14个字母，对应$x=14$；A是第1个字母，对应$x=1$；L是第12个字母，对应$x=12$；I是第9个字母，对应$x=9$。
将各$x$代入加密方程$y=2x+2$计算：
N对应密文：$y=2×14+2=30$
A对应密文：$y=2×1+2=4$
L对应密文：$y=2×12+2=26$
I对应密文：$y=2×9+2=20$
(2) 解密过程：
由加密方程$y=2x+2$变形得明文计算公式：$x=\frac{y-2}{2}$
将密文依次代入计算：
密文22对应：$x=\frac{22-2}{2}=10$，对应第10个英文字母J
密文20对应：$x=\frac{20-2}{2}=9$，对应第9个英文字母I
密文4对应：$x=\frac{4-2}{2}=1$，对应第1个英文字母A
【答案】
(1) 密文为30，4，26，20，加密过程：N=14，A=1，L=12，I=9，代入密钥方程$y=2x+2$计算可得对应密文；
(2) 破译结果为J、I、A，解密过程：将22，20，4代入密钥方程逆推得到对应明文数值10，9，1，对应字母J、I、A。
【知识点】
一次函数应用，代数式求值，逆运算求解
【点评】
本题结合密码加密解密的趣味场景考查函数的实际运用，解题关键是理清明文、密文和字母序号的对应关系，计算量小，细心运算即可完成。
【难度系数】
0.8
解题前先明确两个核心规则：①26个英文字母按A到Z的顺序依次对应数字1~26；②加密规则为一次函数关系$y=2x+2$，其中$x$是明文字母对应的数字，$y$是密文对应的数字。解第(1)问加密题时，先将明文字母转换为对应数字$x$，代入方程顺推计算出$y$即可得到密文；解第(2)问解密题时，已知密文$y$，先将方程变形逆推出$x=\frac{y-2}{2}$，计算出$x$后对应回英文字母即可得到明文。
【解析】
(1) 加密过程：
先确定“NALI”各字母对应的明文数值：N是第14个字母，对应$x=14$；A是第1个字母，对应$x=1$；L是第12个字母，对应$x=12$；I是第9个字母，对应$x=9$。
将各$x$代入加密方程$y=2x+2$计算：
N对应密文：$y=2×14+2=30$
A对应密文：$y=2×1+2=4$
L对应密文：$y=2×12+2=26$
I对应密文：$y=2×9+2=20$
(2) 解密过程：
由加密方程$y=2x+2$变形得明文计算公式：$x=\frac{y-2}{2}$
将密文依次代入计算：
密文22对应：$x=\frac{22-2}{2}=10$，对应第10个英文字母J
密文20对应：$x=\frac{20-2}{2}=9$，对应第9个英文字母I
密文4对应：$x=\frac{4-2}{2}=1$，对应第1个英文字母A
【答案】
(1) 密文为30，4，26，20，加密过程：N=14，A=1，L=12，I=9，代入密钥方程$y=2x+2$计算可得对应密文；
(2) 破译结果为J、I、A，解密过程：将22，20，4代入密钥方程逆推得到对应明文数值10，9，1，对应字母J、I、A。
【知识点】
一次函数应用，代数式求值，逆运算求解
【点评】
本题结合密码加密解密的趣味场景考查函数的实际运用，解题关键是理清明文、密文和字母序号的对应关系，计算量小，细心运算即可完成。
【难度系数】
0.8
