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⑥ 在几何加密中，我们也可以选择曲线方程，比如：二次函数$y = ax^2 + bx + c \ (a ≠ 0)$。
请你模仿几何加密的过程，自主设计一个二次函数的加密程序，并说明其加密到解密的过程。
你可能需要借助下面的内容来思考并完成加密。
解方程：$3x^2 + 8x - 3 = 0$。
解：两边同时除以3，得
$x^2 + \frac{8}{3}x - 1 = 0$。
配方，得
$x^2 + \frac{8}{3}x + (\frac{4}{3})^2 - (\frac{4}{3})^2 - 1 = 0$，
$(x + \frac{4}{3})^2 - \frac{25}{9} = 0$。
移项，得
两边开平方，得
$x + \frac{4}{3} = \pm \frac{5}{3}$，
即
$x + \frac{4}{3} = \frac{5}{3}$ 或 $x + \frac{4}{3} = -\frac{5}{3}$。
所以
$x_1 = \frac{1}{3}, \ x_2 = -3$。
请你模仿几何加密的过程，自主设计一个二次函数的加密程序，并说明其加密到解密的过程。
你可能需要借助下面的内容来思考并完成加密。
解方程：$3x^2 + 8x - 3 = 0$。
解：两边同时除以3，得
$x^2 + \frac{8}{3}x - 1 = 0$。
配方，得
$x^2 + \frac{8}{3}x + (\frac{4}{3})^2 - (\frac{4}{3})^2 - 1 = 0$，
$(x + \frac{4}{3})^2 - \frac{25}{9} = 0$。
移项，得
两边开平方，得
$x + \frac{4}{3} = \pm \frac{5}{3}$，
即
$x + \frac{4}{3} = \frac{5}{3}$ 或 $x + \frac{4}{3} = -\frac{5}{3}$。
所以
$x_1 = \frac{1}{3}, \ x_2 = -3$。
答案
解：
1. 选定密钥：选取二次函数 $y=3x^2+8x-3$ 作为加密的公开密钥。
2. 加密过程：
将需要传递的明文数值依次作为自变量$x$的取值，代入密钥二次函数，计算得到对应的函数值$y$，将所有$y$值按顺序排列，得到最终密文。
示例：若明文为 $1,3,5$，代入函数计算：
当$x=1$时，$y=3×1^2+8×1-3=8$；
当$x=3$时，$y=3×3^2+8×3-3=48$；
当$x=5$时，$y=3×5^2+8×5-3=112$；
得到密文：$8,48,112$。
3. 解密过程：
接收方将得到的每一个密文数值$y$，代入方程 $3x^2+8x-3=y$，整理为一元二次方程 $3x^2+8x-(y+3)=0$，使用配方法求解该方程，舍去不符合明文取值规则的负分数无效根，得到对应的明文$x$。
示例：对密文$8,48,112$解密：
① 代入$y=8$，得方程$3x^2+8x-11=0$
两边同除以3：$x^2+\frac{8}{3}x-\frac{11}{3}=0$
配方得：$(x+\frac{4}{3})^2=\frac{49}{9}$
开平方得：$x+\frac{4}{3}=\pm\frac{7}{3}$
解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{11}{3}$，舍去无效根，得明文1。
② 代入$y=48$，得方程$3x^2+8x-51=0$
两边同除以3：$x^2+\frac{8}{3}x-17=0$
配方得：$(x+\frac{4}{3})^2=\frac{169}{9}$
开平方得：$x+\frac{4}{3}=\pm\frac{13}{3}$
解得$x_1=3$，$x_2=-\frac{17}{3}$，舍去无效根，得明文3。
③ 代入$y=112$，得方程$3x^2+8x-115=0$
两边同除以3：$x^2+\frac{8}{3}x-\frac{115}{3}=0$
配方得：$(x+\frac{4}{3})^2=\frac{361}{9}$
开平方得：$x+\frac{4}{3}=\pm\frac{19}{3}$
解得$x_1=5$，$x_2=-\frac{23}{3}$，舍去无效根，得明文5。
最终解密得到完整明文$1,3,5$，解密完成。
1. 选定密钥：选取二次函数 $y=3x^2+8x-3$ 作为加密的公开密钥。
2. 加密过程：
将需要传递的明文数值依次作为自变量$x$的取值，代入密钥二次函数，计算得到对应的函数值$y$，将所有$y$值按顺序排列，得到最终密文。
示例：若明文为 $1,3,5$，代入函数计算：
当$x=1$时，$y=3×1^2+8×1-3=8$；
当$x=3$时，$y=3×3^2+8×3-3=48$；
当$x=5$时，$y=3×5^2+8×5-3=112$；
得到密文：$8,48,112$。
3. 解密过程：
接收方将得到的每一个密文数值$y$，代入方程 $3x^2+8x-3=y$，整理为一元二次方程 $3x^2+8x-(y+3)=0$，使用配方法求解该方程，舍去不符合明文取值规则的负分数无效根，得到对应的明文$x$。
示例：对密文$8,48,112$解密：
① 代入$y=8$，得方程$3x^2+8x-11=0$
两边同除以3：$x^2+\frac{8}{3}x-\frac{11}{3}=0$
配方得：$(x+\frac{4}{3})^2=\frac{49}{9}$
开平方得：$x+\frac{4}{3}=\pm\frac{7}{3}$
解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{11}{3}$，舍去无效根，得明文1。
② 代入$y=48$，得方程$3x^2+8x-51=0$
两边同除以3：$x^2+\frac{8}{3}x-17=0$
配方得：$(x+\frac{4}{3})^2=\frac{169}{9}$
开平方得：$x+\frac{4}{3}=\pm\frac{13}{3}$
解得$x_1=3$，$x_2=-\frac{17}{3}$，舍去无效根，得明文3。
③ 代入$y=112$，得方程$3x^2+8x-115=0$
两边同除以3：$x^2+\frac{8}{3}x-\frac{115}{3}=0$
配方得：$(x+\frac{4}{3})^2=\frac{361}{9}$
开平方得：$x+\frac{4}{3}=\pm\frac{19}{3}$
解得$x_1=5$，$x_2=-\frac{23}{3}$，舍去无效根，得明文5。
最终解密得到完整明文$1,3,5$，解密完成。
解析
【分析】
本题需结合配方法解一元二次方程的知识，利用二次函数“正向求值简便、反向求自变量需解方程”的特点设计加密解密程序。首先选定给定的二次函数作为公开密钥，加密时将明文作为自变量x代入函数计算得到函数值y，按序排列y即可得到密文；解密时将密文作为y值代入函数整理为一元二次方程，用配方法求解，结合明文通常为正整数的规则舍去无效根，即可得到对应明文，可通过具体示例清晰展示全过程。
【解析】
1. 选定密钥：选取二次函数 $y=3x^2+8x-3$ 作为加密的公开密钥。
2. 加密过程：
将需要传递的明文数值依次作为自变量$x$的取值，代入密钥二次函数，计算得到对应的函数值$y$，将所有$y$值按顺序排列，得到最终密文。
示例：若明文为 $1,3,5$，代入函数计算：
当$x=1$时，$y=3×1^2+8×1-3=8$；
当$x=3$时，$y=3×3^2+8×3-3=48$；
当$x=5$时，$y=3×5^2+8×5-3=112$；
得到密文：$8,48,112$。
3. 解密过程：
接收方将得到的每一个密文数值$y$，代入方程 $3x^2+8x-3=y$，整理为一元二次方程 $3x^2+8x-(y+3)=0$，使用配方法求解该方程，舍去不符合明文取值规则的负分数无效根，得到对应的明文$x$。
示例：对密文$8,48,112$解密：
① 代入$y=8$，得方程$3x^2+8x-11=0$
两边同除以3：$x^2+\frac{8}{3}x-\frac{11}{3}=0$
配方得：$(x+\frac{4}{3})^2=\frac{49}{9}$
开平方得：$x+\frac{4}{3}=\pm\frac{7}{3}$
解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{11}{3}$，舍去无效根，得明文1。
② 代入$y=48$，得方程$3x^2+8x-51=0$
两边同除以3：$x^2+\frac{8}{3}x-17=0$
配方得：$(x+\frac{4}{3})^2=\frac{169}{9}$
开平方得：$x+\frac{4}{3}=\pm\frac{13}{3}$
解得$x_1=3$，$x_2=-\frac{17}{3}$，舍去无效根，得明文3。
③ 代入$y=112$，得方程$3x^2+8x-115=0$
两边同除以3：$x^2+\frac{8}{3}x-\frac{115}{3}=0$
配方得：$(x+\frac{4}{3})^2=\frac{361}{9}$
开平方得：$x+\frac{4}{3}=\pm\frac{19}{3}$
解得$x_1=5$，$x_2=-\frac{23}{3}$，舍去无效根，得明文5。
最终解密得到完整明文$1,3,5$，解密完成。
【答案】
1. 选定密钥：选取二次函数 $y=3x^2+8x-3$ 作为加密的公开密钥。
2. 加密过程：
将需要传递的明文数值依次作为自变量$x$的取值，代入密钥二次函数，计算得到对应的函数值$y$，将所有$y$值按顺序排列，得到最终密文。
示例：若明文为 $1,3,5$，代入函数计算：
当$x=1$时，$y=3×1^2+8×1-3=8$；
当$x=3$时，$y=3×3^2+8×3-3=48$；
当$x=5$时，$y=3×5^2+8×5-3=112$；
得到密文：$8,48,112$。
3. 解密过程：
接收方将得到的每一个密文数值$y$，代入方程 $3x^2+8x-3=y$，整理为一元二次方程 $3x^2+8x-(y+3)=0$，使用配方法求解该方程，舍去不符合明文取值规则的负分数无效根，得到对应的明文$x$。
示例：对密文$8,48,112$解密：
① 代入$y=8$，得方程$3x^2+8x-11=0$
两边同除以3：$x^2+\frac{8}{3}x-\frac{11}{3}=0$
配方得：$(x+\frac{4}{3})^2=\frac{49}{9}$
开平方得：$x+\frac{4}{3}=\pm\frac{7}{3}$
解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{11}{3}$，舍去无效根，得明文1。
② 代入$y=48$，得方程$3x^2+8x-51=0$
两边同除以3：$x^2+\frac{8}{3}x-17=0$
配方得：$(x+\frac{4}{3})^2=\frac{169}{9}$
开平方得：$x+\frac{4}{3}=\pm\frac{13}{3}$
解得$x_1=3$，$x_2=-\frac{17}{3}$，舍去无效根，得明文3。
③ 代入$y=112$，得方程$3x^2+8x-115=0$
两边同除以3：$x^2+\frac{8}{3}x-\frac{115}{3}=0$
配方得：$(x+\frac{4}{3})^2=\frac{361}{9}$
开平方得：$x+\frac{4}{3}=\pm\frac{19}{3}$
解得$x_1=5$，$x_2=-\frac{23}{3}$，舍去无效根，得明文5。
最终解密得到完整明文$1,3,5$，解密完成。
【知识点】
1.配方法解一元二次方程
2.二次函数代入求值
3.一元二次方程求解
【点评】
本题将一元二次方程的解法与实际加密应用结合，既考查了配方法解方程、二次函数求值等基础数学知识，又能让学生感受到数学在实际生活中的应用价值，需要学生在理解加密解密逻辑的基础上，灵活运用所学知识解决问题，兼具实用性和趣味性。
【难度系数】
0.6
本题需结合配方法解一元二次方程的知识，利用二次函数“正向求值简便、反向求自变量需解方程”的特点设计加密解密程序。首先选定给定的二次函数作为公开密钥，加密时将明文作为自变量x代入函数计算得到函数值y，按序排列y即可得到密文；解密时将密文作为y值代入函数整理为一元二次方程，用配方法求解，结合明文通常为正整数的规则舍去无效根，即可得到对应明文，可通过具体示例清晰展示全过程。
【解析】
1. 选定密钥：选取二次函数 $y=3x^2+8x-3$ 作为加密的公开密钥。
2. 加密过程：
将需要传递的明文数值依次作为自变量$x$的取值，代入密钥二次函数，计算得到对应的函数值$y$，将所有$y$值按顺序排列，得到最终密文。
示例：若明文为 $1,3,5$，代入函数计算：
当$x=1$时，$y=3×1^2+8×1-3=8$；
当$x=3$时，$y=3×3^2+8×3-3=48$；
当$x=5$时，$y=3×5^2+8×5-3=112$；
得到密文：$8,48,112$。
3. 解密过程：
接收方将得到的每一个密文数值$y$，代入方程 $3x^2+8x-3=y$，整理为一元二次方程 $3x^2+8x-(y+3)=0$，使用配方法求解该方程，舍去不符合明文取值规则的负分数无效根，得到对应的明文$x$。
示例：对密文$8,48,112$解密：
① 代入$y=8$，得方程$3x^2+8x-11=0$
两边同除以3：$x^2+\frac{8}{3}x-\frac{11}{3}=0$
配方得：$(x+\frac{4}{3})^2=\frac{49}{9}$
开平方得：$x+\frac{4}{3}=\pm\frac{7}{3}$
解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{11}{3}$，舍去无效根，得明文1。
② 代入$y=48$，得方程$3x^2+8x-51=0$
两边同除以3：$x^2+\frac{8}{3}x-17=0$
配方得：$(x+\frac{4}{3})^2=\frac{169}{9}$
开平方得：$x+\frac{4}{3}=\pm\frac{13}{3}$
解得$x_1=3$，$x_2=-\frac{17}{3}$，舍去无效根，得明文3。
③ 代入$y=112$，得方程$3x^2+8x-115=0$
两边同除以3：$x^2+\frac{8}{3}x-\frac{115}{3}=0$
配方得：$(x+\frac{4}{3})^2=\frac{361}{9}$
开平方得：$x+\frac{4}{3}=\pm\frac{19}{3}$
解得$x_1=5$，$x_2=-\frac{23}{3}$，舍去无效根，得明文5。
最终解密得到完整明文$1,3,5$，解密完成。
【答案】
1. 选定密钥：选取二次函数 $y=3x^2+8x-3$ 作为加密的公开密钥。
2. 加密过程：
将需要传递的明文数值依次作为自变量$x$的取值，代入密钥二次函数，计算得到对应的函数值$y$，将所有$y$值按顺序排列，得到最终密文。
示例：若明文为 $1,3,5$，代入函数计算：
当$x=1$时，$y=3×1^2+8×1-3=8$；
当$x=3$时，$y=3×3^2+8×3-3=48$；
当$x=5$时，$y=3×5^2+8×5-3=112$；
得到密文：$8,48,112$。
3. 解密过程：
接收方将得到的每一个密文数值$y$，代入方程 $3x^2+8x-3=y$，整理为一元二次方程 $3x^2+8x-(y+3)=0$，使用配方法求解该方程，舍去不符合明文取值规则的负分数无效根，得到对应的明文$x$。
示例：对密文$8,48,112$解密：
① 代入$y=8$，得方程$3x^2+8x-11=0$
两边同除以3：$x^2+\frac{8}{3}x-\frac{11}{3}=0$
配方得：$(x+\frac{4}{3})^2=\frac{49}{9}$
开平方得：$x+\frac{4}{3}=\pm\frac{7}{3}$
解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{11}{3}$，舍去无效根，得明文1。
② 代入$y=48$，得方程$3x^2+8x-51=0$
两边同除以3：$x^2+\frac{8}{3}x-17=0$
配方得：$(x+\frac{4}{3})^2=\frac{169}{9}$
开平方得：$x+\frac{4}{3}=\pm\frac{13}{3}$
解得$x_1=3$，$x_2=-\frac{17}{3}$，舍去无效根，得明文3。
③ 代入$y=112$，得方程$3x^2+8x-115=0$
两边同除以3：$x^2+\frac{8}{3}x-\frac{115}{3}=0$
配方得：$(x+\frac{4}{3})^2=\frac{361}{9}$
开平方得：$x+\frac{4}{3}=\pm\frac{19}{3}$
解得$x_1=5$，$x_2=-\frac{23}{3}$，舍去无效根，得明文5。
最终解密得到完整明文$1,3,5$，解密完成。
【知识点】
1.配方法解一元二次方程
2.二次函数代入求值
3.一元二次方程求解
【点评】
本题将一元二次方程的解法与实际加密应用结合，既考查了配方法解方程、二次函数求值等基础数学知识，又能让学生感受到数学在实际生活中的应用价值，需要学生在理解加密解密逻辑的基础上，灵活运用所学知识解决问题，兼具实用性和趣味性。
【难度系数】
0.6
