2026年桂壮红皮书暑假天地河北少年儿童出版社八年级数学第21页答案
1. 在$□ ABCD$中,若$∠ A:∠ B=5:4$,则$∠ C$的度数是(
C


A.$80°$
B.$120°$
C.$100°$
D.$110°$

答案

1.C

解析

【分析】
解决本题首先要回忆平行四边形的角的性质:平行四边形邻角互补、对角相等。已知∠A与∠B的度数比,二者是平行四边形的一组邻角,和为180°,因此可以先根据比例关系求出∠A的度数,再根据对角相等的性质得到∠C的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠A=∠C(平行四边形对角相等),且∠A+∠B=180°(平行四边形邻角互补)
设∠A=5x,∠B=4x,代入得:
$5x + 4x = 180°$
$9x = 180°$
解得$x=20°$
∴$∠ A=5×20°=100°$
∴$∠ C=∠ A=100°$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形对角相等;平行四边形邻角互补
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题,解题的核心是熟练掌握平行四边形角的相关性质,结合比例关系计算即可,难度较低。
【难度系数】
0.8
2. 在$□ ABCD$中,$∠ A:∠ B:∠ C:∠ D$可能是(
D


A.$3:1:1:3$
B.$3:3:1:1$
C.$1:3:3:1$
D.$1:3:1:3$

答案

2.D

解析

【分析】
要解这道题,首先回忆平行四边形角的核心性质:平行四边形的两组对角分别相等,即∠A和∠C是一组对角,二者大小相等;∠B和∠D是另一组对角,二者大小相等。因此在四个角的比值中,代表∠A和∠C的份数必须相等,代表∠B和∠D的份数也必须相等,我们只需依据这个特征逐一排查选项即可得出答案。
【解析】
解:
∵四边形ABCD是平行四边形
∴根据平行四边形的性质可得:$\boldsymbol{∠A=∠C}$,$\boldsymbol{∠B=∠D}$
逐一分析选项:
A选项:$∠ A:∠ C=3:1$,二者不相等,不符合要求;
B选项:$∠ A:∠ C=3:1$,二者不相等,不符合要求;
C选项:$∠ A:∠ C=1:3$,二者不相等,不符合要求;
D选项:$∠ A:∠ C=1:1$,$∠ B:∠ D=3:3$,两组对角份数均相等,符合平行四边形的性质。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
1.平行四边形对角相等;2.比的应用
【点评】
本题属于基础类考题,核心考查平行四边形的对角性质,只要熟练掌握该性质就能快速排除错误选项,得出正确答案。
【难度系数】
0.8
3. 在$□ ABCD$中,$∠ BAD$的平分线将BC分成4 cm和5 cm两部分,则此平行四边形的周长为(
C


A.26 cm
B.28 cm
C.26 cm或28 cm
D.30 cm

答案

3.C

解析

【分析】
解决这道题需结合平行四边形性质推导等腰三角形,再分类讨论边长的两种情况。第一步,利用平行四边形对边平行的性质,结合角平分线定义和平行线内错角相等的规律,可推出△ABE为等腰三角形,得到AB=BE;第二步,已知角平分线将BC分为4cm和5cm两部分,需分BE=4cm、BE=5cm两种情况,分别计算平行四边形的周长即可。
【解析】
设∠BAD的平分线交BC于点E。
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,AB=CD,AD=BC,
∴∠DAE=∠AEB(两直线平行,内错角相等)。
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE,
∴∠BAE=∠AEB,
∴AB=BE(等角对等边)。
分两种情况讨论:
①当BE=4cm,EC=5cm时:
BC=BE+EC=4+5=9cm,AB=4cm,
平行四边形周长=2×(AB+BC)=2×(4+9)=26cm;
②当BE=5cm,EC=4cm时:
BC=BE+EC=5+4=9cm,AB=5cm,
平行四边形周长=2×(AB+BC)=2×(5+9)=28cm。
综上,平行四边形的周长为26cm或28cm,故选C。
【答案】C
【知识点】
平行四边形的性质;等腰三角形的判定;分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题,解题核心是结合平行四边形性质和角平分线推导边相等关系,需注意分类讨论分BC为两部分的两种不同情况,避免漏解。
【难度系数】
0.7
4.刘师傅加工了一个平行四边形零件,如图1所示,他需要检查这个零件是否为平行四边形,下列检查方法错误的是(
B



A.$AB// CD,AB=CD$
B.$AB// CD,AD=BC$
C.$∠ A=∠ C,∠ B=∠ D$
D.$AB=CD,BC=AD$

答案

4.B

解析

【分析】
本题考查平行四边形的判定定理,解题时先回忆平行四边形的所有判定规则,再逐一将每个选项的条件和判定规则对应,判断是否能唯一确定该四边形是平行四边形,无法判定的即为错误选项。需注意当条件下可能存在非平行四边形的反例时,该判定方法不成立。
【解析】
我们结合平行四边形判定定理逐一分析选项:
A选项:若$AB// CD$且$AB=CD$,符合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理,可判定该零件是平行四边形,该选项方法正确,不符合题意。
B选项:若$AB// CD$,$AD=BC$,满足该条件的四边形除平行四边形外,还可以是等腰梯形,无法判定一定是平行四边形,该选项方法错误,符合题意。
C选项:若$∠ A=∠ C$,$∠ B=∠ D$,根据四边形内角和为$360°$,可得$∠ A+∠ B=\frac{1}{2}×360°=180°$,能推出$AD// BC$,同理可得$∠ A+∠ D=180°$,能推出$AB// CD$,两组对边分别平行的四边形是平行四边形,可判定该零件是平行四边形,该选项方法正确,不符合题意。
D选项:若$AB=CD$,$BC=AD$,符合“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理,可判定该零件是平行四边形,该选项方法正确,不符合题意。
综上,答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定;四边形内角和;等腰梯形的性质
【点评】
本题属于平行四边形判定的基础题,易错点是混淆判定规则,误将“一组对边平行,另一组对边相等”当做平行四边形的判定条件,做题时可通过举反例的方式快速验证判定方法是否成立。
【难度系数】
0.7
5.若一个平行四边形的一条边长为10,一条对角线长为8,则它的另一条对角线的长x的取值范围为
12<x<28
.

答案

5.12<x<28

解析

【分析】
解题时首先回忆平行四边形的基本性质:平行四边形的对角线互相平分,由此可以将已知对角线、待求对角线分别取一半,和已知的平行四边形边长共同构成一个三角形的三条边,再利用三角形三边关系“两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”列不等式求解,即可得到另一条对角线的取值范围。
【解析】
解:
∵平行四边形的对角线互相平分
∴已知长度为8的对角线的一半为 $ 8÷2=4 $,待求对角线长为$ x $,则它的一半为 $ \frac{x}{2} $
长度为4、$ \frac{x}{2} $、10的三条线段可构成三角形的三边
根据三角形三边关系,可得:
$ 10-4 < \frac{x}{2} < 10+4 $
即 $ 6 < \frac{x}{2} <14 $
不等式两边同时乘2,得 $ 12 < x < 28 $
【答案】
12<x<28
【知识点】
平行四边形的性质;三角形三边关系
【点评】
本题是几何基础综合题,解题的关键是利用平行四边形对角线互相平分的性质,将分散的条件转化到同一个三角形中,再结合三角形三边关系求解,该方法也是解决平行四边形对角线相关范围问题的常用思路。
【难度系数】
0.7
6. 如图2所示,在$□ ABCD$中,对角线AC,BD交于点O,E是BC边的中点。若OE=2,AD=5,则$□ ABCD$的周长为
18

答案

6.18

解析

【分析】
解题时先从平行四边形的性质入手,平行四边形对角线互相平分,可得对角线交点O是AC的中点;结合已知E是BC中点,可判断OE是△ABC的中位线,根据三角形中位线定理即可求出AB的长度;最后利用平行四边形对边相等的性质,代入周长公式计算即可得到结果。
【解析】
解:
∵四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、BD交于点O
∴O是AC的中点,且AB=CD,BC=AD=5

∵E是BC边的中点
∴OE是△ABC的中位线
根据三角形中位线定理,中位线长度等于第三边的一半,可得:
AB=2OE
已知OE=2,
∴AB=2×2=4
∴平行四边形ABCD的周长=2×(AB+AD)=2×(4+5)=18
【答案】
18
【知识点】
平行四边形的性质;三角形中位线定理;平行四边形周长计算
【点评】
本题是基础类题型,解题的关键是结合平行四边形对角线的性质和中点条件,判断出OE为三角形的中位线,熟练掌握相关性质定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7.如图3,在$□ ABCD$中,E,F分别是AD,BC边上的点,若再增加一个条件:
$AE=CF$(答案不唯一)
,就可得四边形BFDE是平行四边形.

答案

7.$AE=CF$(答案不唯一)

解析

【分析】
首先回忆平行四边形的性质与判定定理:已知四边形ABCD是平行四边形,可得AD//BC且AD=BC,因此四边形BFDE中已经满足DE//BF这一条件。根据平行四边形的判定,要使四边形BFDE为平行四边形,可补充“DE=BF”、“BE//DF”等条件;若要得到DE=BF,结合AD=BC,只需AE=CF即可,因此可添加的条件不唯一,写出符合要求的一个即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,AD=BC,
若添加条件AE=CF,
则AD - AE = BC - CF,即DE=BF,

∵DE//BF,
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”,可得四边形BFDE是平行四边形。
(注:添加BE//DF、DE=BF等条件也可满足要求)
【答案】
AE=CF(答案不唯一)
【知识点】
平行四边形的性质;平行四边形的判定
【点评】
本题为开放性题目,核心考查平行四边形性质和判定的灵活应用,只要补充的条件符合平行四边形的判定规则即可得分,解题时注意结合已有已知条件推导即可。
【难度系数】
0.8
8. 如图4,已知$□ ABCD$的周长是36 cm,且AB=10 cm,AD与BC间的距离为6 cm,求AB与CD间的距离。

答案

8.4.8 cm

解析

【分析】
解题时首先回忆平行四边形的基本性质:对边相等,且面积可表示为任意一边与其对应高的乘积。首先利用周长和已知的AB边长,求出邻边AD的长度;再用AD和对应的高(AD与BC间的距离)算出平行四边形的面积;最后根据面积不变,用面积除以AB的长度,即可得到AB与CD间的距离。
【解析】
解:
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD,AD=BC
∵平行四边形周长为36 cm,AB=10 cm
∴2(AB + AD) = 36
将AB=10代入得:2×(10 + AD)=36
解得AD = 8 cm
设AB与CD间的距离为h cm
平行四边形面积可表示为:$S = AD ×$(AD与BC间的距离)$= AB × h$
已知AD与BC间的距离为6 cm,代入得:
$8×6 = 10×h$
解得 $h = 48÷10 = 4.8$
【答案】
4.8 cm
【知识点】
1. 平行四边形对边相等
2. 平行四边形面积计算
【点评】
本题核心是利用平行四边形面积的不同表示方法建立等量关系求解,需要熟练掌握平行四边形的基本性质,理解同一图形面积不变的特点,是平行四边形相关计算的典型基础题。
【难度系数】
0.7
9.如图5,在平行四边形ABCD中,BD=DC,∠C=70°,AE⊥BD于点E,则∠DAE等于(
A


A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$

答案

9.A

解析

【分析】
解题思路如下:第一步,先根据BD=DC可知△BDC是等腰三角形,利用等腰三角形等边对等角的性质求出∠DBC的度数;第二步,结合平行四边形对边平行的性质,由AD//BC得到内错角∠ADB与∠DBC相等,求出∠ADB的度数;第三步,根据AE⊥BD可知△AED是直角三角形,利用直角三角形两锐角互余的性质,用90°减去∠ADB的度数即可得到∠DAE的度数。
【解析】
解:
∵BD=DC,∠C=70°,
∴△BDC为等腰三角形,根据等边对等角得∠DBC=∠C=70°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,
根据“两直线平行,内错角相等”得∠ADB=∠DBC=70°,

∵AE⊥BD,
∴∠AED=90°,即△AED是直角三角形,
根据直角三角形两锐角互余可得:
∠DAE=90°-∠ADB=90°-70°=20°。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质;平行四边形的性质;直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题,核心是通过平行线的性质实现角度的转化,将已知角的度数和所求角关联到同一个直角三角形中求解,解题时要注意各几何图形性质的准确应用。
【难度系数】
0.8