9. 易错题 已知$\odot O$的直径$CD=10\ \mathrm{cm}$，$AB$是$\odot O$的弦，$AB ⊥ CD$，垂足为$M$，且$AB=8\ \mathrm{cm}$，则$AC$的长为（）

A.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
B.$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
C.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$

9 C 解题思路:

$\because \odot O$ 的直径 $CD = 10\ \mathrm{cm}$,$AB ⊥ CD$,$AB = 8\ \mathrm{cm}$,$\therefore AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4(\mathrm{cm})$,$OD = OC = 5\ \mathrm{cm}$,连接 AO. 当点 C 位置如图 1 所示时,$\because OA = 5\ \mathrm{cm}$,$AM = 4\ \mathrm{cm}$,$CD ⊥ AB$,$\therefore OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3(\mathrm{cm})$,$\therefore CM = OC + OM = 5 + 3 = 8(\mathrm{cm})$,$\therefore AC = \sqrt{AM^2 + CM^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = 4\sqrt{5}(\mathrm{cm})$; 当点 C 位置如图 2 所示时,同理可得 $OM = 3\ \mathrm{cm}$,$\because OC = 5\ \mathrm{cm}$,$\therefore CM = OC - OM = 5 - 3 = 2(\mathrm{cm})$,在 $\mathrm{Rt}△ AMC$ 中,$AC = \sqrt{AM^2 + CM^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}\ (\mathrm{cm})$. 综上, $AC$ 的长为 $2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$.

10. [2026徐州睢宁期中]某数学兴趣小组探究用圆柱形玻璃瓶的内径去测量球的半径.将球置于圆柱形玻璃瓶上,如图,已知玻璃瓶高CD=12 cm,底面内径BC=8 cm,球的最高点E到瓶底的距离为18 cm,则球的半径为cm.

10 $\frac{13}{3}$ 如图,设球的截面圆的圆心为点 O,过点 O 作 $OG ⊥ AD$ 于点 G,则点 E 在 GO 的延长线上,连接 OA. 设 $OE = OA = R\ \mathrm{cm}$. 由题意,得 $AD = BC = 8\ \mathrm{cm}$,$EG = 18 - 12 = 6(\mathrm{cm})$,$EG ⊥ AD$,$\therefore OG = EG - OE = (6 - R)\ \mathrm{cm}$,$AG = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} × 8 = 4(\mathrm{cm})$,$∠ AGO = 90°$,$\therefore OA^2 = OG^2 + AG^2$,即 $R^2 = (6 - R)^2 + 4^2$,解得 $R = \frac{13}{3}$,即球的半径为 $\frac{13}{3}\ \mathrm{cm}$.

11. 教材练习变式 如图,已知$\odot O$的半径为10,$\odot O$的一条弦$AB=16$,若$\odot O$内的一点P恰好在AB上,则线段OP的长度为整数的值有个.

11 4 如图,连接 OA,过点 O 作 $OP' ⊥ AB$ 于点 $P'$,则 $AP' = \frac{1}{2}AB = 8$. 在 $\mathrm{Rt}△ AOP'$ 中,$OA = 10$,$AP' = 8$,$\therefore OP' = \sqrt{OA^2 - AP'^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$,$\therefore 6 ≤ OP ＜ 10$,$\therefore$ 线段 OP 的长度为整数的值有 6,7,8,9,共 4 个.

12. [2025泰州姜堰区期中]如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{BC}$且$BD⊥ OC$,垂足为D.若$AB=8$,$CD=2$,则$\odot O$的半径为.

12 5 如图,过点 O 作 AB 的垂线交 AB 于点 E,交 $\overset{\frown}{AB}$ 于点 F,连接 OB. $\because OF ⊥ AB$,$AB = 8$,$\therefore \overset{\frown}{AF} = \overset{\frown}{BF} = \frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$,$AE = BE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4$. $\because \overset{\frown}{AB} = 2\overset{\frown}{BC}$,$\therefore \overset{\frown}{BC} = \frac{1}{2}\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BF}$,$\therefore ∠ BOC = ∠ BOF$,$\therefore OB$ 是 $∠ COF$ 的平分线,又 $\because BD ⊥ OC$,$BE ⊥ OF$,$\therefore BD = BE = 4$. 设 $\odot O$ 的半径为 r,则 $OB = OC = r$. $\because CD = 2$,$\therefore OD = OC - CD = r - 2$. 在 $\mathrm{Rt}△ BOD$ 中,$BD^2 + OD^2 = OB^2$,即 $4^2 + (r - 2)^2 = r^2$,解得 $r = 5$,$\therefore \odot O$ 的半径为 5.

13. [2026常州实验中学期中] 如图,在$\odot O$中,AB,CD是弦,且AB = CD.由此,你能发现什么?小明发现点O到AB,CD的距离相等.小红发现延长AB,CD交于点P,则PA = PC.从小明、小红两位同学所发现的结论中,选择一个完成证明.

13 解:若选择小明的结论.证明如下:
如图,连接 OA,OC,过点 O 作 $OE ⊥ AB$,$OF ⊥ CD$,垂足分别为 E,F.
$\because OE ⊥ AB$,$\therefore AE = \frac{1}{2}AB$.
$\because OF ⊥ CD$,$\therefore CF = \frac{1}{2}CD$.
$\because AB = CD$,$\therefore AE = CF$.
$\because OE ⊥ AB$,$OF ⊥ CD$,$\therefore ∠ AEO = ∠ CFO = 90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ OAE$ 和 $\mathrm{Rt}△ OCF$ 中,$\begin{cases} OA = OC, \\ AE = CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OAE ≌ \mathrm{Rt}△ OCF$,$\therefore OE = OF$.

若选择小红的结论,证明如下:
如图,连接 OA,OC,AC,过点 O 作 $OE ⊥ AB$,$OF ⊥ CD$,垂足分别为 E,F.
同上可证 $\mathrm{Rt}△ OAE ≌ \mathrm{Rt}△ OCF$.
$\therefore ∠ OAE = ∠ OCF$.

$\because OA = OC$,$\therefore ∠ OAC = ∠ OCA$,
$\therefore ∠ OAE + ∠ OAC = ∠ OCF + ∠ OCA$,即 $∠ EAC = ∠ ACF$,
$\therefore PA = PC$.

14. 根据素材解决问题：
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1：图1中有一座圆形拱桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB=16 m，拱顶离水面的距离CD=4 m。
素材2：如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EH=12 m，EF=2.1 m。水深足够，货船可以根据需要运载货物。据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降0.01 m。
问题解决
任务1：确定桥拱半径 求圆形桥拱的半径。
任务2：拟定设计方案 根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？

14 解:任务1 设圆心为点 O,则点 O 在 CD 的延长线上,连接 AO,如图 1.
设桥拱的半径为 r m,则 $OD = (r - 4)\ \mathrm{m}$.
$\because OC ⊥ AB$,$\therefore AD = BD = \frac{1}{2}AB = 8\ \mathrm{m}$.
$\because OD^2 + AD^2 = OA^2$,
$\therefore (r - 4)^2 + 8^2 = r^2$,$\therefore r = 10$,
$\therefore$ 圆形桥拱的半径为 10 m.

任务2 根据题图 3 状态,货船不能通过圆形拱桥,至少要增加 10 吨的货物才能通过. 理由如下:
当 EH 是 $\odot O$ 的弦时,EH 与 OC 的交点为 M,连接 OE,OH,如图 2.

$\because$ 四边形 EFGH 为矩形,$\therefore EH // FG$.
$\because OC ⊥ AB$,$\therefore OM ⊥ EH$,$\therefore EM = \frac{1}{2}EH = 6\ \mathrm{m}$,
$\therefore OM = \sqrt{OE^2 - EM^2} = 8\ \mathrm{m}$.
$\because OD = OC - CD = 6\ \mathrm{m}$,$\therefore DM = 2\ \mathrm{m} ＜ 2.1\ \mathrm{m}$,
$\therefore$ 根据题图 3 状态,货船不能通过圆形拱桥.
$\because$ 货船的载重量每增加 1 吨,则船身下降 0.01 m,
$\therefore$ 船身下降的高度至少为 $2.1 - 2 = 0.1(\mathrm{m})$.
又 $\because 0.1 ÷ 0.01 = 10$(吨),$\therefore$ 至少要增加 10 吨的货物才能通过.