1. [2025南京金陵中学仙林分校月考]如图，CD是$\odot O$的直径，AB是弦且不是直径，$CD ⊥ AB$，则下列结论不一定正确的是（）

A.$AE = BE$
B.$OE = DE$
C.$AO = CO$
D.$\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD}$

1 B
由垂径定理及其推论可知,如果一条直线具备下列五条性质中的任意两条,那么它一定具备其他三条:①经过圆心;②垂直于弦;③平分弦(不是直径);④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.简称“知二推三”.

2. [2026 盐城阜宁期中] 如图，AB 是$\odot O$的弦，半径$OC ⊥ AB$，垂足为点 E. 设$\odot O$的半径为 4，$CE = 2$，则 AB 的长为（）

A.2
B.4
C.$4\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{5}$

2 C 如图,连接 OA. $\because \odot O$ 的半径为 4,$\therefore OA = OC = 4$.
$\because CE = 2$,$\therefore OE = OC - CE = 4 - 2 = 2$. $\because OC ⊥ AB$,$\therefore AE = \frac{1}{2}AB$,$∠ AEO = 90°$,$\therefore AE = \sqrt{OA^2 - OE^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3}$,
$\therefore AB = 2AE = 4\sqrt{3}$.

3. 如图,在平面直角坐标系,$\odot P$与$x$轴交于点$O$与$A(6,0)$,$\odot P$的半径是$\sqrt{13}$,则点$P$的坐标是.

3 (3,2) 如图,连接 OP,过点 P 作 $PB ⊥ OA$ 于点 B. $\because \odot P$ 的半径是 $\sqrt{13}$,$\therefore OP = \sqrt{13}$. $\because A(6,0)$,$\therefore OA = 6$. 由垂径定理,得 $OB = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{2} × 6 = 3$. 在 $\mathrm{Rt}△ POB$ 中,由勾股定理,得 $PB = \sqrt{OP^2 - OB^2} = \sqrt{(\sqrt{13})^2 - 3^2} = 2$,$\therefore$ 点 P 的坐标为 $(3,2)$.

4. [2026无锡江阴石庄中学月考]如图,在平面直角坐标系中,以原点O为圆心,5为半径的圆内有一点P(0, -3),则经过点P的所有弦中最短的弦长为.

4 8 如图,过点 P 作弦 $AB ⊥ OP$,则 AB 是经过点 P 的所有弦中最短的弦,连接 OB,则 $OB = 5$. $\because P(0, -3)$,$\therefore OP = 3$.
$\because AB ⊥ OP$,$\therefore AB = 2BP$,$∠ OPB = 90°$,$\therefore PB = \sqrt{OB^2 - OP^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$,$\therefore AB = 8$,即经过点 P 的所有弦中最短的弦长为 8.

5. [2025 泰州姜堰区实验初级中学月考] 如图，$\odot O$ 的半径为 2，弦 $AB = 2\sqrt{3}$，$AC = \frac{1}{4}AB$，则 $OC$ 的长为。

5 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ 过点 O 作 $OD ⊥ AB$ 于点 D. $\because AB = 2\sqrt{3}$,$\therefore AD = BD = \frac{1}{2}AB = \sqrt{3}$. $\because AB = 2\sqrt{3}$,$AC = \frac{1}{4}AB$,$\therefore AC = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\therefore CD = AD - AC = \frac{\sqrt{3}}{2}$. 在 $\mathrm{Rt}△ OBD$ 中,由勾股定理,得 $OD = \sqrt{OB^2 - BD^2} = 1$.
在 $\mathrm{Rt}△ OCD$ 中,由勾股定理,得 $OC = \sqrt{OD^2 + CD^2} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

6. [2026徐州四校联考]如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点.
(1)求证:AC = BD.
(2)若AB = 10 cm,CD = 6 cm,大圆半径为7 cm,求小圆的半径.

6 (1)证明:如图,过点 O 作 $OE ⊥ AB$,垂足为 E.
$\because OE ⊥ AB$,$\therefore AE = BE$,$CE = DE$.
$\therefore AE - CE = BE - DE$,即 $AC = BD$.

(2)解:如图,连接 OA,OC.
$\because OE ⊥ AB$,$\therefore AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 10 = 5(\mathrm{cm})$,$CE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} × 6 = 3(\mathrm{cm})$,$∠ AEO = 90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ AEO$ 中,$OE = \sqrt{OA^2 - AE^2} = \sqrt{7^2 - 5^2} = 2\sqrt{6}(\mathrm{cm})$.
在 $\mathrm{Rt}△ CEO$ 中,$OC = \sqrt{CE^2 + OE^2} = \sqrt{3^2 + (2\sqrt{6})^2} = \sqrt{33}(\mathrm{cm})$,
即小圆的半径为 $\sqrt{33}\ \mathrm{cm}$.

7. 新考向·传统文化 [2026 常州花园中学期中]“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞（如图1）。如图2，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5 m，地面入口宽为1 m，则该门洞的半径为 m.

7 1.3 如图,过点 O(门洞的圆心) 作 $OH ⊥ AB$,垂足为 H.
设 $\odot O$ 的半径为 R m,则 $OA = R\ \mathrm{m}$,$OH = (2.5 - R)\mathrm{m}$. $\because OH ⊥ AB$,$\therefore AH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 1 = \frac{1}{2}(\mathrm{m})$,$∠ AHO = 90°$,$\therefore OA^2 = AH^2 + OH^2$,$\therefore R^2 = (\frac{1}{2})^2 + (2.5 - R)^2$,解得 $R = 1.3$,即门洞的半径为 1.3 m.

8. [2025 徐州新沂市钟吾中学月考]一圆柱形排水管的截面如图所示,已知排水管的半径为1 m,水面宽AB为1.6 m.由于天气干燥,水管水面下降,此时排水管水面宽变为1.2 m,求水面下降的高度.

8 解:如图,下降后的水面宽 CD 为 1.2 m,连接 OA,OC,过点 O 作 $ON ⊥ CD$ 于点 N,交 AB 于点 M,则 $∠ ONC = 90°$.
$\because AB // CD$,$\therefore ∠ OMA = ∠ ONC = 90°$.
$\because AB = 1.6\ \mathrm{m}$,$CD = 1.2\ \mathrm{m}$,
$\therefore AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 1.6 = 0.8(\mathrm{m})$,
$CN = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} × 1.2 = 0.6(\mathrm{m})$.
在 $\mathrm{Rt}△ OAM$ 中,$OA = 1\ \mathrm{m}$,
$\therefore OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{1^2 - 0.8^2} = 0.6(\mathrm{m})$.
同理,得 $ON = 0.8\ \mathrm{m}$,
$\therefore MN = ON - OM = 0.2\ \mathrm{m}$.
答:水面下降了 0.2 m.